高中數(shù)學(xué)選修4-4-極坐標與參數(shù)方程-知識點與題型

/選做題部分極坐標系與參數(shù)方程一、極坐標系1．極坐標系與點的極坐標<1>極坐標系：如圖4－4－1所示.在平面內(nèi)取一個定點O.叫做極點.自極點O引一條射線Ox.叫做極軸；再選定一個長度單位.一個角度單位<通常取弧度>及其正方向<通常取逆時針方向>.這樣就建立了一個極坐標系．<2>極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫.這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對<ρ.θ>稱為點M的極坐標．其中ρ稱為點M的極徑.θ稱為點M的極角．2．極坐標與直角坐標的互化點M直角坐標<x.y>極坐標<ρ.θ>互化公式題型一極坐標與直角坐標的互化1、已知點P的極坐標為.則點P的直角坐標為〔A.〔1.1B.〔1.-1C.〔-1.1D.〔-1.-12、設(shè)點的直角坐標為.以原點為極點.實軸正半軸為極軸建立極坐標系.則點的極坐標為〔A．B．C．D．3．若曲線的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ.以極點為原點.極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.則該曲線的直角坐標方程為________．4．在極坐標系中.過點<1,0>并且與極軸垂直的直線方程是<>A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝15．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.以原點為極點.x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.則曲線C的極坐標方程為________．6.在極坐標系中.求圓ρ＝2cosθ與直線θ＝eq\f<π,4><ρ>0>所表示的圖形的交點的極坐標．題型二極坐標方程的應(yīng)用由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時.如果不能直接用極坐標解決.可先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.然后求解．1.在極坐標系中.已知圓C經(jīng)過點P<eq\r<2>.eq\f<π,4>>.圓心為直線ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,3>>>＝－eq\f<\r<3>,2>與極軸的交點.求圓C的直角坐標方程．2.圓的極坐標方程為ρ＝4cosθ.圓心為C.點P的極坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<4,\f<π,3>>>.則|CP|＝________.3.在極坐標系中.已知直線l的極坐標方程為ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝1.圓C的圓心的極坐標是Ceq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1,\f<π,4>>>.圓的半徑為1.<i>則圓C的極坐標方程是________；<ii>直線l被圓C所截得的弦長等于________．4.在極坐標系中.已知圓C：ρ＝4cosθ被直線l：ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,6>>>＝a截得的弦長為2eq\r<3>.則實數(shù)a的值是________．二、參數(shù)方程1．參數(shù)方程和普通方程的互化<1>曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地.可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．<2>如果知道變數(shù)x.y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系.例如x＝f<t>.把它代入普通方程.求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g<t>.那么.eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝ft,,y＝gt>>就是曲線的參數(shù)方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα<x－x0>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝x0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα>><t為參數(shù)>圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝rcosθ,y＝rsinθ>><θ為參數(shù)>橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝acosφ,y＝bsinφ>><φ為參數(shù)>題型一參數(shù)方程與普通方程的互化[例1]把下列參數(shù)方程化為普通方程：<1>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝3＋cosθ,,y＝2－sinθ；>><2>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋\f<1,2>t,,y＝5＋\f<\r<3>,2>t.>>題型二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用1、已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋t,,y＝4－2t>><參數(shù)t∈R>.圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2cosθ＋2,,y＝2sinθ>><參數(shù)θ∈[0,2π]>.求直線l被圓C所截得的弦長．2、曲線C的極坐標方程為：ρ=acosθ〔a＞0.直線l的參數(shù)方程為：〔1求曲線C與直線l的普通方程；〔2若直線l與曲線C相切.求a值．3、在直角坐標系xoy中.曲線C1的參數(shù)方程為.〔α為參數(shù).以原點O為極點.x軸正半軸為極軸.建立極坐標系.曲線C2的極坐標方程為．〔Ⅰ求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；〔Ⅱ設(shè)P為曲線C1上的動點.求點P到C2上點的距離最小值．綜合應(yīng)用1、曲線與坐標軸的交點是〔ABCD3、參數(shù)方程〔為參數(shù)化為普通方程為〔A．B．C．D．3．判斷下列結(jié)論的正誤．<1>平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)關(guān)系.在極坐標系中點與坐標也是一一對應(yīng)關(guān)系<><2>若點P的直角坐標為<1.－eq\r<3>>.則點P的一個極坐標是〔2.－eq\f<π,3><><3>在極坐標系中.曲線的極坐標方程不是唯一的<><4>極坐標方程θ＝π<ρ≥0>表示的曲線是一條直線<>4.參數(shù)方程為表示的曲線是〔A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線5．與參數(shù)方程為等價的普通方程為〔A．B．C．D．15.參數(shù)方程所表示的曲線是〔A．直線B．兩條射線C．線段D．圓16.下列參數(shù)方程〔t是參數(shù)與普通方程表示同一曲線的方程是：<>A．B．C．D．3.由參數(shù)方程給出曲線在直角坐標系下的方程是。4.若直線的參數(shù)方程是〔t是參數(shù).則過點〔4.－1且與l平行的直線在y軸上的截距是。5.方程〔t是參數(shù)表示的是過點.傾斜角為直線。8.在極坐標系有點M<3,>.若規(guī)定極徑＜0,極角[0,2].則M的極坐標為；若規(guī)定極徑＜0.極角<-,>.則M的極坐標為.9.的一個頂點在極點O.其它兩個頂點分別為.則的面積為。6．<2013·北京高考>在極坐標系中.點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2,\f<π,6>>>到直線ρsinθ＝2的距離等于________．7、平面直角坐標系中,將曲線為參數(shù)>上的每一點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€,以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立的極坐標系中,曲線的方程為<Ⅰ>求和的普通方程:<Ⅱ>求和公共弦的垂直平分線的極坐標方程.8、已知曲線的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點.極軸為軸的正半軸.建立平面直角坐標系.直線的參數(shù)方程是〔t為參數(shù).〔1求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；〔2若直線與曲線交于兩點.求的值.7、已知圓C：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋cosθ,,y＝sinθ>><θ為參數(shù)>和直線l：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2＋tcosα,,y＝\r<3>＋ts