橢圓與雙曲線知識(shí)點(diǎn)集合

橢圓與雙曲線知識(shí)點(diǎn)集合

橢圓和雙曲線是平面內(nèi)的兩種點(diǎn)的軌跡。橢圓是指與兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1，F(xiàn)2|）的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)點(diǎn)被稱為橢圓的焦點(diǎn)。雙曲線是指與兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于且小于|F1，F(xiàn)2|）的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)點(diǎn)被稱為雙曲線的焦點(diǎn)。橢圓和雙曲線的定義中，參數(shù)2a的范圍限制符號(hào)不同。對(duì)于橢圓，焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；對(duì)于雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。標(biāo)準(zhǔn)方程是表示橢圓和雙曲線的一種方式。在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要考慮焦點(diǎn)位置，即焦距|F1F2|=2c。橢圓和雙曲線的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度關(guān)系為a2=b2+c2和c2=a2+b2。幾何含義是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，橢圓沒有漸近線，雙曲線有兩條漸近線。橢圓和雙曲線的頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)度可以通過求解標(biāo)準(zhǔn)方程得到。長(zhǎng)軸和短軸分別被稱為實(shí)軸和虛軸，實(shí)軸的長(zhǎng)度為2a，虛軸的長(zhǎng)度為2b。離心率是描述橢圓和雙曲線形狀的一個(gè)參數(shù)，其取值范圍為c∈(0,1)和c∈(1,∞)。離心率越大，橢圓或雙曲線越扁，離心率越小，橢圓或雙曲線越圓（橢圓）或開口越?。p曲線）。在平面內(nèi)，對(duì)于一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e。這是第一定義。第二定義是，對(duì)于平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為（<e<1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中F在l外。F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，而l是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線。同樣地，當(dāng)常數(shù)（ee1）時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線。F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，而l是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線。焦點(diǎn)可以在x軸上或y軸上。橢圓的準(zhǔn)線在兩側(cè)，而雙曲線的準(zhǔn)線在兩支之間。準(zhǔn)線方程如下：左準(zhǔn)線xa2/c，右準(zhǔn)線xa2/c下準(zhǔn)線yc2/b，上準(zhǔn)線yc2/b左焦半徑|PF1|aex，右焦半徑|PF2|aex下焦半徑|PF1|aey，上焦半徑|PF2|aey左焦半徑|PF1||aex|，右焦半徑|PF2||aex|下焦半徑|PF1||aey|，上焦半徑|PF2||aey|焦準(zhǔn)距pb2/c焦半徑公式是焦半徑取值范圍[a-c,a+c]左焦點(diǎn)弦|AB|2ae(x1x2)，右焦點(diǎn)弦|AB|2ae(x1x2)下焦點(diǎn)弦|AB|2ae(y1y2)，上焦點(diǎn)弦|AB|2ae(y1y2)左|AB||2ae(x1x2)|，右|AB||2ae(x1x2)|下|AB||2ae(y1y2)|，上|AB||2ae(y1y2)|焦點(diǎn)弦為長(zhǎng)軸時(shí)最長(zhǎng)，長(zhǎng)為2a；焦點(diǎn)弦為通徑時(shí)最短，長(zhǎng)為2b2/a；同側(cè)焦點(diǎn)弦為通徑時(shí)最短，長(zhǎng)為2b2/a；異側(cè)焦點(diǎn)弦為實(shí)軸時(shí)最短，長(zhǎng)為2a。焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)為2a2c，面積為Sb2tan(F1PF2)/2或Sb2cot(F1PF2)/2。已知點(diǎn)（Px,y）和橢圓C：x2/a2+y2/b2=1，其中F1,F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，則點(diǎn)的位置關(guān)系如下：已知點(diǎn)（Px,y）和雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1，其中F1,F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，則點(diǎn)的位置關(guān)系如下：1.當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的兩支之間時(shí)，有公式|PF1|-|PF2|<2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)部。2.當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上時(shí)，有公式|PF1|-|PF2|=2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在雙曲線上。3.當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的兩支外部時(shí)，有公式|PF1|-|PF2|>2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在雙曲線外部。4.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)部時(shí)，有公式|PF1|+|PF2|<2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)部。5.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上時(shí)，有公式|PF1|+|PF2|=2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在橢圓C上。6.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C外部時(shí)，有公式|PF1|+|PF2|>2a^2b^2/x^2+y^2=1。這表示點(diǎn)P在橢圓C外部。7.已知直線l：Ax+By+C=0和橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，聯(lián)立方程并消元，得到一個(gè)一元二次方程。計(jì)算其Δ：Δ<0時(shí)，直線l與橢圓C相離；Δ=0時(shí)，直線l與橢圓C相切；Δ>0時(shí)，直線l與橢圓C相交。8.已知直線l：Ax+By+C=0和雙曲線C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)，聯(lián)立方程并消元：若得到一個(gè)一元一次方程，表示直線l與雙曲線C相交于一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線l與雙曲線C的漸近線平行；若得到一個(gè)一元二次方程，計(jì)算Δ：Δ<0時(shí)，直線l與雙曲線C相離；Δ=0時(shí)，直線l與雙曲線C相切；Δ>0時(shí)，直線l與雙曲線C相交（兩個(gè)交點(diǎn)）。9.直線l與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（x1,y1）和B（x2,y2）。根據(jù)弦長(zhǎng)公式，若直線l的斜率k存在，則|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[1+k^2][(x1+x2)^2-4x1x2]；若直線l的斜率k存在且不為無窮大，則|AB|=√[(y1-y2)^2+(x1-x2)^2/k^2]=√[1+1/k^2][(y1+y2)^2-4y1y2]。10.已知點(diǎn)（Px,y）在橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)上，則過點(diǎn)（Px,y