流體力學(xué)部分知識

第四章流體動力學(xué)的基本原理本章學(xué)習(xí)目標(biāo):掌握流體動力學(xué)的基本方程，即質(zhì)量守恒方程，動量定理，動量矩定理，能量守恒方程，重點(diǎn)是關(guān)于控制體的歐拉型方程。質(zhì)量守恒，牛頓第二定律和能量守恒原理都是對包含確定物質(zhì)的“系統(tǒng)”寫出來的，而流體力學(xué)問題的實(shí)際研究中，更多地采用“控制體”的概念，這中間存在一個變換。研究流體和運(yùn)動物體的相互作用，常運(yùn)用動量定理。伯努利方程是能量守恒關(guān)系的一種表現(xiàn)形式。質(zhì)量守恒常用以給出物理參數(shù)的相互關(guān)系式，配合方程求解。步進(jìn)教程：第一節(jié) 質(zhì)量守恒原理----連續(xù)方程一.積分形式連續(xù)方程.在流場中任取一有限體積?，作為控制體，如圖示，控制體的邊界以 A表示。在運(yùn)動流場中，流體不斷地流進(jìn)流出控制體，控制體中所包含的質(zhì)量也可能隨時間變化。但總體上說質(zhì)量不能產(chǎn)生，也不能消滅。質(zhì)點(diǎn)守恒原理：單位時間內(nèi)通過控制面靜流入的流體質(zhì)量之和等于單位時間控制體中的質(zhì)量的增量.三川Pdi=JfnVPdA—J[n2VPdA忍； AA 丿A> 丿n-i是流入表n-i是流入表A為圭寸閉控制面A的內(nèi)法線單位向量； n2是流出表面A2的外法線單位向量。上式可寫成4IfJPE=-對nVPdA式中n為外法線單位向量,面。上式稱為質(zhì)量守恒方程，又稱連續(xù)方程。對于定常流動，厶=0,故連續(xù)方程為:對于不可壓流體，由于 二const，故有:此式既適用于定常流動，也適用于非定常流。T T A A二?微分形式連續(xù)方程。由三出=—幻nVPdA;有川—山=—聊nVPdA孜； AI丿；戲 aI丿根據(jù)高斯定理，只要在.區(qū)域內(nèi)V-連續(xù)并一階可導(dǎo)，則：TiinVdA：ii「'iV^d.A于是連續(xù)方程可寫成：「V'd=0X以上方程應(yīng)對任選的控制體 .均成立，所以■—-vV-ct這就是微分形式的連續(xù)方程。:.? d.?上式可寫成' 、―宀-V=0,或 :、7=0徨 Dt對于定常運(yùn)動，厶=0,故有■■-|!V=0；et對于不可壓流體， 『=const,故有iV=0IV=0的限制條件為不可壓，無論定常非定常均成立。在直角坐標(biāo)系中，有：亠,；l：ryL門J:W=0TOC\o"1-5"\h\z.<-W L、 L、 L'、\o"CurrentDocument"zt :x :y ；z在柱坐標(biāo)系內(nèi)，有：+丄上"r丄亠V上M=0\o"CurrentDocument".t rrr r z在球坐標(biāo)系中，有：訊+=心（PVrR2）+ 1心（p^esin日）+.:t R2;:RRRsin「T第二節(jié)管流連續(xù)方程對于均勻管流（即同一截面上物理量均勻的一元流動）可以取微元管段作為控制體,對于寫出質(zhì)量連續(xù)方程。如圖示，以軸線為坐標(biāo)軸，其長度I為坐標(biāo)自變量，則面積A是I的函數(shù)，物理量B為l,t的函數(shù)。即：A二A(l),B=B(l,t)

在流管的任一部位I上截取一微元段dl作為控制體。若I截面參數(shù)以A,V,亍表示;則丨?dl截面參數(shù)為AdA,VdV^d-.微元控制體的質(zhì)量守恒關(guān)系式為:竺Adi=APV—(A+dA(P+蘭dlpV+理dl;

a Jaa創(chuàng)丿簡化，得:1 2仁「簡化，得:1 2仁「1：N1dA = r r ■V：：tr；:lV；:lAdl對于定常流動， 0,則d,有:TOC\o"1-5"\h\z盤 cl dl1d- 1dV1dA小0rdlVdlAdl前drdV dA 門即 0P V A積分可得：ln；亠lnVlnA二const,即「AV二const即通過流管任一截面的質(zhì)量流量不變，這一結(jié)論是明顯的。dPEP對于不可壓流體， t=const，故： 0dl 徨連續(xù)方程為：1N 1dA 門V；:l Adl積分，得：VA=c(t),c(t)可以是時間t的函數(shù)，但同一時刻是常數(shù)。第三節(jié)動量定理動量定理是牛頓第二定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)形式。.積分形式動量定理如圖，在流場中任取一有限體積?作為控制體，可建立積分形式動量方程：作用于控制體上的外力(質(zhì)量力與表面力)之合力再加上單位時間內(nèi)凈流入控制體的動量之和等于單位時間內(nèi)控制體中流體動量的增量。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：infinfd PndA..E A &n1VVdA11n2V / A2I質(zhì)量力表面力*單位時間"，單位時間"’單位時間內(nèi)質(zhì)量力表面力*單位時間"，單位時間"’單位時間內(nèi)攬入動量丿 I流出動量丿I劇量的增量式中n1是內(nèi)法線，n2是外法線.上式可寫成：in'fd.：pndA0nV：、VdA V-dT A A Q￡這就是積分形式動量方程.對于定常流動：?0,上式可寫成：-:thifd"亠IipndAH(nVdA方程右邊是單位時間凈流出控制體的動量。

二.微分形式的動量方程?已知積分形式動量方程為：HJPfdi+q扌pndA—q*|nVpLdA= )di式中的Pn可用應(yīng)力張量的形式I?I?I? I?I? I?I? I WVV,?XTOC\o"1-5"\h\zT A Al 丿 T Ct表示為pn=nP，上式可寫為：\o"CurrentDocument"111:fd.?n卩dAijin^VdA —dt A A I員由高斯定理知，在域內(nèi)P及VV連續(xù)一階可微，則有：\o"CurrentDocument"nPdA：ii〔nV^VdA：ill Pd丿 VVdA A X X于是動量方程可寫成：f乎d=。式中積分域.可任意選取，則滿足上式的條件必為::V.:tTOC\o"1-5"\h\z:?V /!■=展開左邊： V V^ VV\V=f''卩\o"CurrentDocument"連續(xù)方程，曾有：「 V=0;故簡化可得：工w人V二廠丄—P醴 P這就是微分形式動量方程，若將上式寫成:DV1、=f PDtP其物理意義更加明確，加速度等于單位質(zhì)量的力，這就是牛頓第二定律。在直角坐標(biāo)系中，即為：-U-：u ：：u ：：uu-U-：u ：：u ：：uu十V 十w =.:t.:x :y :z:vu-：V ：：v ：：v—■v—■w—二4.:x ；V :z第四節(jié) 伯努利方程它是流體力學(xué)中最重要的方將動量定理應(yīng)用于微元流管可以得到沿流線的伯努利方程,它是流體力學(xué)中最重要的方程之一，在工程中運(yùn)用廣泛。dl作為控制體。沿流管中心dl作為控制體。沿流管中心軸線物理量是I和t的函數(shù)，即B=BIt。若I截面參數(shù)以A,V,P表示；則l+dl處的參數(shù)為A?d代VdV;pdp.這里我們僅限于理想流體討論， 故控制面上不存在切向力，只有法向力。對于連續(xù)方程可這樣建立：a i a丿控制體內(nèi)質(zhì)量對時間的變化率=流入質(zhì)量流量-減出質(zhì)量流量:"AV出口截面流量與進(jìn)口截面流量相比，差 A^dl，同一時刻的質(zhì)量流量是I的函數(shù).clAV簡化連續(xù)方程，得：、A—a cl沿流線的動量方程：-;?gAdlcosr■pA-衛(wèi)dl.:-;?gAdlcosr■pA-衛(wèi)dl.:lp^Adl「AV2dl左端面壓力右端面壓力側(cè)面壓力流入動量重力嗚J=Adl.:l.:t流出動量注意到重力沿流出動量注意到重力沿-z方向,上式可化簡：控制體內(nèi)動量變化率dz二dlcos:-一QgAdz一QgAdz一浮dl二Adict適當(dāng)展開上式：:gA^ ^Adl ；適當(dāng)展開上式：:gA^ ^Adl ；:ldA用連續(xù)方程， A二ct_p少yS「AV丄「AV^-A「空dl ；:l ；:l ；:t ；:t::?AV「l代入，化簡:-Jd-Jd，將上式積分，得:dlTOC\o"1-5"\h\z對于定常流動， 0，說\o"CurrentDocument"1 V2 1 1 V2 11_d!_ __dp亠idz=0;即——一_dpz=Ho\o"CurrentDocument"g2 g ， 2g g

式中H。是積分常數(shù)，不同流線可以是不同數(shù)。上式稱作沿流線的伯努利方程。適用于理想流體，定常流動。V2對于不可壓流體，；二const,上式可寫成：一-—?z=H02gPg動量方程沿流線積分，得到的是能量關(guān)系式。第一項(xiàng)是單位重量的動能；第二項(xiàng)是單位重量的壓力能；第三項(xiàng)是單位重量的重力勢能。三項(xiàng)之和 H0是單位重量的總機(jī)械能。上式可寫成流體上任意兩點(diǎn)間總機(jī)械能關(guān)系式：2pi;2pi;g2g2g2g右流線在冋一水平面內(nèi)，則乙=Z2,機(jī)械能守恒關(guān)系式可寫成：22Pi.Vi P2V2■g2g -g2g此時，顯然同一條流線上速度越大， 則壓力越小；反之速度越小，則壓力越大；速度等于0，則壓力達(dá)最大，此時壓力稱為滯止壓力或駐點(diǎn)壓力。實(shí)際上，沿流線機(jī)械能有損失，通常用 hf表示兩截面間單位重量流體的機(jī)械能損失，即:也2g~丿即:也2g~丿壓2g2丿第五節(jié)柯西-拉格朗日方程在推導(dǎo)伯努利方程的過程中，我們曾有沿流線的動量方程:、g^o?；:idi、g^o?；:idi.:t ：l2 '它的積分形式為:對于不可壓流體,2|i 21它的積分形式為:對于不可壓流體,2|i 21g：:t可得：Vdi 11'Pdldz=0J；:l?衛(wèi)px/2Vi+Pi+ “、gz gzi=ci(t)2g上式稱為柯西-拉格朗日積分，它與伯努利方程的區(qū)別在于存在一個積分項(xiàng)這是非定常導(dǎo)致的?？挛?拉格朗日積分可用于求解某些非定常流動。尺代、尺代、.一H-弟八節(jié)沿流線的主法線方向的動量方程伯努利方程表達(dá)了沿流線方向的壓力，速度等的變化規(guī)律，現(xiàn)在我們討論垂直于流

線方向的壓力速度變化關(guān)系問題。 為此我們換一種思考問題途徑， 即直接對流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律建立方程。這里我們只討論定常流動， 對于定常流動，流線和跡線是相同的。如圖示，在流線BB'上M點(diǎn)取一圓柱形流體微團(tuán)，其柱軸與流線主法線相重合， M點(diǎn)曲率半徑為r,微元圓柱兩端面積為dA，微元柱長度為dr,則對于流體微團(tuán)在r方向動量方程為：:drdAV：=pdpdA-pdAdW:drdAV：=pdpdA-pdAdWcost,dW二】gdrdA,簡化,dry2grdr_P_Pg丿這就是沿流線的主法線方向的微分形式的動量方程，它適于定常，理想不可壓流動。此時，若再補(bǔ)充］一個伯努利常數(shù)（即V2+p+z）在各條流線上是同一個常數(shù)的2g電條件，即：d l'V\p+zLo,即:dr(2gPg)djP「VdV+z=— drJPg 丿gdr聯(lián)合沿法線的動量方程，有：dV+V=0；drr積分之，得：y二C,c是積分常數(shù).r作為一種應(yīng)用，在彎曲管道中，內(nèi)側(cè)流速較高，外側(cè)流速較低，就是例證。第七節(jié). 非慣性坐標(biāo)系中的動量方程一.積分形式的動量方程.如圖示，最一般的非慣性坐標(biāo) 0''''相對于慣性坐標(biāo)系OXYZ作下列運(yùn)動；坐標(biāo)原點(diǎn)0'的平移運(yùn)動，r。,是t的函數(shù)；坐標(biāo)系繞某軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，而且可能是變角速度的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動， -是t的函數(shù).非慣性坐標(biāo)系問題與慣性坐標(biāo)系問題相比，關(guān)鍵在于質(zhì)量力不同.在慣性坐標(biāo)系中質(zhì)量力用f表示，比較簡單，如重力場中.f=「gk在慣性系中，質(zhì)量力應(yīng)包括附加慣性力：f=f-a。”_屮:泊r'?門■Zr'-2V'帶負(fù)號的四項(xiàng)依次是：平移慣性力，旋轉(zhuǎn)切向慣性力，旋轉(zhuǎn)向心慣性力和哥氏慣性力。單位質(zhì)量的慣性力是加速度的量綱。所以，我們可以寫出o'x''坐標(biāo)系中的動量方程：

ffffV Pf-ao’一coxr—⑷匯（⑷汽r）-2⑷xVdi+TOC\o"1-5"\h\zct匚 ；i 丿V V：i：ipndA-nV「VdAA' A'式中v'是動系中的相對速度，r'是動系中向徑，',A'是動系中的控制體和控制面。二?繞固定軸等角速度旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中沿流線的動量方程。這類問題在透平機(jī)械（風(fēng)機(jī)，泵，氣輪機(jī)等）中經(jīng)常遇到的。其推導(dǎo)過程與慣性系中大體相同，關(guān)鍵是質(zhì)量力要附加上慣性力。這里，推導(dǎo)時會遇到離心力與哥氏力。離心力為：河’3'er，其流線方向的分量:（PAdl'舸2r'cos（er‘，dl）=（PAdl'加2r'dr哥氏力與V'垂直，在流線方向的分量為零。所以定常不可壓理想流體的伯努利方程中會有212■r'dr'的積分項(xiàng) 212■r'dr'的積分項(xiàng) r'存在。結(jié)論是：2V'2p-■2rz' H。；\o"CurrentDocument"2g 「g 2g沿流線任意兩點(diǎn)間，有 ：V'l2十Pi十'國2門2_V；2+P2+2g :?gZi2g2g :?g三.直線等加速運(yùn)動坐標(biāo)系中沿流線的動量方程，在此非慣性系中，質(zhì)量力需附加慣性力,2,2Z2-■2r'222gao'項(xiàng)，其在流線方向的分量可由下式得到:a。，二a%，i'ayj'azk';dl'=i'dx'j'dy'dl'=i'dx'j'dy'k'dz';dl' dx'dy'dz'所以ao' ax' ay' az' ,dl'dl'ydl'dl'在沿流線的動量方程推導(dǎo)中，對于定常不可壓理想流體，含有:f2、丄dp V_2」?dl'dl'dz' dx' dy' dz'g ax' ay' az' 0dl' dl' dl'dl'pv'2積分可得： gz''ax'x'ay'y''az'Z'二const第八節(jié) 動量矩定理積分形式動量矩方程

動量矩定理：作用于控制體上的外力矩之和與單位時間內(nèi)通過控制面凈流入的動量矩之和等于單位時間內(nèi)控制體中流體動量矩的增量。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：■hi卜rfd.rpndAiiFinVrVdA r'VdA 盤；質(zhì)量力之矩 表面力之矩 凈流入動量矩動量矩增量質(zhì)量力之矩 表面力之矩 凈流入動量矩動量矩增量動量矩方程是動量方程的發(fā)展。第九節(jié) 能量守恒定理一.積分形式的能量方程.對于流場中任選的有限體積.的控制體，單位時間內(nèi)外界給予控制體的熱量， 功及流入能量之和等于