圓錐擺及其變形

錐擺”及其變形江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)（215101）郁建石細(xì)線(xiàn)一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線(xiàn)在空中劃出一個(gè)圓錐面，這樣的裝置叫做“圓錐擺”，如圖［1］所示?！皥A錐擺”是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中一個(gè)典型的實(shí)例，如果真正地搞清了圓錐擺的有關(guān)問(wèn)題，那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)中不少常用的分析和處理方法也就基本掌握了。下面就“圓錐擺”問(wèn)題著重談三個(gè)方面的問(wèn)題。一、受力分析m圖[1]如圖［1］所示的圓錐擺，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，共受到重力G和懸線(xiàn)上拉力T兩個(gè)力作用，這兩個(gè)力的合力F沿水平方向指向圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O'，它作為小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。若懸線(xiàn)長(zhǎng)為1，小球的質(zhì)量為m，懸線(xiàn)與豎直方向的夾角為a，則向心力m圖[1]二、角速度根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其合外力提供向心力，可以得到：mgtana=m?2r，其中r=1sina，代入整理，得到其角速度：3=，—g一。根據(jù)這一表達(dá)式，進(jìn)lcosa行如下討論：當(dāng)懸線(xiàn)長(zhǎng)度1一定時(shí)，3x=L，即懸線(xiàn)與豎直方向的夾角a隨著小球角■Vcosa速度3的增大而增大。若懸線(xiàn)的長(zhǎng)度1和懸線(xiàn)與豎直方向的夾角a均不相同，但是1和cosa的乘積1cosa相同，則角速度3就相同，乘積1cosa實(shí)際上就等于小球到懸點(diǎn)在豎直方向上的距離。即：如果有若干圓錐擺，即使小球質(zhì)量m和懸線(xiàn)長(zhǎng)度1各不相同，水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)；如果SV、；'g水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)；如果SV、；'g,小球不會(huì)在水平面內(nèi)做圓圖[2]只要小球做圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面到懸點(diǎn)的距離相同，那么它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度3就一定相同。小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的角速度有一個(gè)最小值。當(dāng)懸線(xiàn)與豎直方向的夾角a=0時(shí)，得到角速度3時(shí)，得到角速度3o角速度的最小值。即只有當(dāng)3>；'g時(shí)，懸線(xiàn)才會(huì)被拉直，小球在\l錐擺運(yùn)動(dòng)（這種情況下，如果懸線(xiàn)上端是固定的一根旋轉(zhuǎn)的豎直桿上的話(huà)，懸線(xiàn)將會(huì)纏繞在豎直桿上，然后小球隨桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖［2］所示）。三、變形根據(jù)圓錐擺的受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可以將其進(jìn)行如下幾種變形:1、小球沿一個(gè)倒置的光滑圓錐面的內(nèi)壁在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖［3］所示。受力分析：這時(shí)小球在重力G和圓錐面對(duì)它的支持力N（相當(dāng)于圓錐擺中懸線(xiàn)的拉力T）的合力F提供小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。與圓錐擺比較：由于圓錐面的頂角。為一定值，根9 9據(jù)F=mgctg=ma，得小球的向心'力速度a=gctg，2 2可知所有在此圓錐面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球，都具有相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a=^2=32rr道半徑r越大（即離開(kāi)圓錐頂點(diǎn)O越遠(yuǎn)），線(xiàn)速度v越大，3、細(xì)線(xiàn)一端系一小球，另一端固定于光滑圓錐面的頂點(diǎn)，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖［4］所示。受力分析：小球共受到三個(gè)力的作用：小球的重力，G、細(xì)線(xiàn)對(duì)它的拉力T和圓錐面對(duì)它的支持力N。這三

，個(gè)力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。與圓錐擺比較：當(dāng)角速度3較小時(shí)，小球?qū)⒀貓A錐面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)分別將N和T分解到水平方向和豎直方向，列出方程：水平方向TsinZ—NcosZ=m32r，豎直方向Tcos2+Nsin?—mg=0。2 2 2 2不難看出，隨著角速度3的增大，圓錐面對(duì)小球的支持力N將減??；當(dāng)角速度3增大到3=時(shí)，圓錐面對(duì)小球的支持力N將減小到0,這是一個(gè)臨界狀態(tài)；如lcos—2果繼續(xù)增大角速度3,小球?qū)⒚撾x圓錐面運(yùn)動(dòng)，如果將這種情況中的圓錐面去掉，而緊貼著小球的運(yùn)動(dòng)平面加一個(gè)光滑水平面，如圖［5］所示。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況以及臨界狀態(tài)的分析，都同這種情況相似；所不同的是將原來(lái)的圓錐面對(duì)果繼續(xù)增大角速度3,小球?qū)⒚撾x圓錐面運(yùn)動(dòng)，如果將這種情況中的圓錐面去掉，而緊貼著小球的運(yùn)動(dòng)平面加一個(gè)光滑水平面，如圖［5］所示。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況以及臨界狀態(tài)的分析，都同這種情況相似；所不同的是將原來(lái)的圓錐面對(duì)小球斜向上的支持力，改成現(xiàn)在水平面對(duì)小球豎直向上的支持力而已。3、用兩根細(xì)線(xiàn)，其一端系著一個(gè)小球，另一端系在一根勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的豎直桿上的兩點(diǎn)上，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖［6］所示。受力分析：小球共受到三個(gè)力的作用：小球的重力G、細(xì)線(xiàn)AB對(duì)它的拉力T1和細(xì)線(xiàn)BC對(duì)它的拉力“。這三個(gè)力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。與圓錐擺比較：①當(dāng)角速度3較小，即當(dāng)3V,‘g時(shí)，小球不會(huì)在水平面內(nèi)做I圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)兩根細(xì)線(xiàn)小球?qū)⒕p繞在豎直桿上，小球隨桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖［7］所示。②當(dāng)角速度3②當(dāng)角速度3在下列范圍：<3<\?嘉，細(xì)線(xiàn)AB將被拉緊，而細(xì)線(xiàn)BC則處于松弛狀態(tài)，這時(shí)情形與原始的圓錐擺相同，如圖［8］所示。③當(dāng)角速度3>jW-lcosa時(shí)，兩根細(xì)線(xiàn)都將被拉緊，也就是象圖［6］中的情形了。有興趣的同學(xué)還可以進(jìn)一步討論：這時(shí)細(xì)線(xiàn)AB和BC哪根線(xiàn)上拉力較大？如果兩根細(xì)線(xiàn)的規(guī)格是相同的