高三數(shù)列應(yīng)用題專項(xiàng)練習(xí)

數(shù)列應(yīng)用題專題訓(xùn)練一、積蓄問題對于這種問題的求解，重點(diǎn)是要搞清：(1)是單利仍是復(fù)利；(2)存幾年。單利是指本金到期后的利息不再加入本金計(jì)算。設(shè)本金為P元，每期利率為r，經(jīng)過n期，按單利計(jì)算的本利和公式為Sn=P(1+nr)。復(fù)利是一種計(jì)算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一同做本金，再計(jì)算下一期的利息。設(shè)本金為P，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，則復(fù)利函數(shù)式為y=P(1+r)x。例1、（積蓄問題）某家庭為準(zhǔn)備孩子上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，每年6月30日在銀行中存入2000元，連續(xù)5年，有以下兩種存款的方式：假如按五年期零存整取計(jì)，即每存入a元按a(1+n·6.5%)計(jì)本利(n為年數(shù))；假如按每年轉(zhuǎn)存計(jì)，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a計(jì)算本利(n為年數(shù))。問用哪一種存款的方式在第六年的7月1日到期的所有本利較高？剖析：這兩種存款的方式差別在于計(jì)復(fù)利與不計(jì)復(fù)利，但因?yàn)槔什灰粯?，所以最后的本利也不同。解：若不?jì)復(fù)利，5年的零存整取本利是2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)++2000(1+0.065)=11950；若計(jì)復(fù)利，則2000(1+5%)5+2000(1+5%)4++2000(1+5%)≈11860元。所以,第一種存款方式到期的所有本利較高。二、等差、等比數(shù)列問題等差、等比數(shù)列是數(shù)列中的基礎(chǔ)，若能轉(zhuǎn)變成一個(gè)等差、等比數(shù)列問題，則能夠利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解。例2、（分期付款問題）用分期付款的方式購置家用電器一件，價(jià)錢為1150元。購置當(dāng)日先付150元，此后每個(gè)月這天都交托50元，并加付欠款的利息，月利率為1%。若交托150元此后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一日，問分期付款的第10個(gè)月該交托多少錢？所有貨款付清后，買這件家電實(shí)質(zhì)花了多少錢？解：購置時(shí)付出150元，余欠款1000元，按題意應(yīng)分20次付清。設(shè)每次所付欠款按序構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1=50+1000×0.01=60元，1a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，an=60-(n-1)·0.5所以{an}是以60為首項(xiàng)，-0.5為公差的等差數(shù)列，故a10=60-9×0.5=55.5元20次分期付款總和S20=6050.5×20=1105元，實(shí)質(zhì)付款1105+150=1255(元)2答：第10個(gè)月該付55.5元，所有付清后實(shí)質(zhì)共付額1255元。例3、（疾病控制問題）流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒惹起的急性呼吸道傳得病。某市昨年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料記錄，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每日的新感染者均勻比前一天的新感染者增添50人。因?yàn)樵撌嗅t(yī)療部門采納舉措，使該種病毒的流傳獲取控制，從某天起，每日的新感染者均勻比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾天，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這天的新患者人數(shù)。剖析：設(shè)11月n日這天新感染者最多，則由題意可知從11月1日到n日，每日新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列；從n+1日到30日，每日新感染者構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列。這兩個(gè)等差數(shù)列的和即為這個(gè)月總的感染人數(shù)。略解：由題意，11月1日到n日，每日新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人數(shù)an=50n—30；從n+1日到30日，每日新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人數(shù)為b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人數(shù)為：(2050n30)n[50n60(20n570)](30n)=8670，化簡得：22n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日這天感染者人數(shù)最多，為570人。例4（住宅問題）某城市1991年終人口為500萬，人均住宅面積為62m，假如該城市每年人口均勻增添率為1%，每年均勻新增住宅面積為2，求2000年終該城市人均住宅面積為多30萬m2少m？(精準(zhǔn)到0.01)解：1991年、1992年、2000年住宅面積總數(shù)成AP22×30=3270a1=6×500=3000萬m，d=30萬m，a10=3000+91990年、1991年、2000年人口數(shù)成GPb1=500,q=1%,b105001.019500∴2000年終該城市人均住宅面積為：

32705.98m2546.82評論：實(shí)質(zhì)問題中提煉出等差、等比數(shù)列。例5（濃度問題）從盛有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，而后加入1kg水，此后每次都倒出1kg鹽水，而后再加入1kg水，問：1.第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多少g？經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？解：1.每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{an}，則：1=0.2kg,2=1×0.2kg,3=(1)2×0.2kgaa2a2因而可知：a=(1n1kg,15114×0.2=0.0125kg)×0.2a5=()×0.2=()n2222.由1.得{an}是等比數(shù)列a1=0.2,q=121S6a1(1q6)0.2(126)0.39375kg1q1120.40.393750.006250.0062520.003125評論：掌握濃度問題中的數(shù)列知識(shí)。例6．（減員增效問題）某工廠在1999年的“減員增效”中對部分人員推行分流，規(guī)定分流人員第一年能夠到原單位領(lǐng)取薪資的100％，從第二年起，此后每年只好在原單位按上一年的2領(lǐng)取3薪資，該廠依據(jù)分流人員的技術(shù)專長，計(jì)劃創(chuàng)立新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體估計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲取b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞加50％，假如某人分流前薪資的收入每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為an元，1）求{an}的通項(xiàng)公式；2）當(dāng)b8a時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？27（3）當(dāng)b3a時(shí)，能否必定能夠保證這個(gè)人分流一年后的收入永久超出分流前的年收入？823解：（1）由題意得，當(dāng)n1時(shí)，a1a，當(dāng)n2時(shí)，ana()n1b()n2，a(n1)32∴ana(2n13)n2(n2)．)b(22）由已知b8a，2728a328a318a要使得上式等號成立，當(dāng)n2時(shí)，ana()n1()n22[a()n1()n2]23272327293當(dāng)且僅當(dāng)a(2)n18a(3)n2，即(2)2n2(2)4，解得n3，所以這個(gè)人第三年收入最少為3272338a元．9（3）當(dāng)n2時(shí)，ana(2)n1b(3)n2a(2)n13a(3)n22a(2)n13a(3)n2a，32382382上述等號成立，須b3a且n1log211log222所以等號不可以取到，83233當(dāng)b3a時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永久超出分流前的年收入．8例7．（等差等比綜合問題）銀行按規(guī)定每經(jīng)過必定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后馬上利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．此刻有某公司進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬元，第一年即可獲取收益1萬元，此后每年比上年增添30％的收益；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲取收益1萬元，此后每年比前一年多贏利5000元．兩種方案的限期都是10年，到期一次行送還本息．若銀行貸款利息均以年息10％的復(fù)利計(jì)算，試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲取存收益更多？（計(jì)算精準(zhǔn)到千元，參照數(shù)據(jù)：1010）1.12.594,1.313.796解：甲方案10年獲收益是每年收益數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和：1(130%)(130%)2(130%)91.310142.62（萬元）1.31到期時(shí)銀行的本息和為10(110%)1010（萬元）∴甲方案扣除本息后的凈贏利為：42.6225.9416.7（萬元）乙方案：逐年贏利成等差數(shù)列，前10年共贏利：1(10.5)(120.5)(190.5)10(15.5)（萬元）232.50貸款的本利和為：1.1[1(110%)(110%)9]1.11.110117.53（萬元）1.11∴乙方案扣除本息后的凈贏利為：32.50（萬元）所以，甲方案的贏利許多．三、an-an-1=f(n),f(n)為等差或等比數(shù)列有的應(yīng)用題中的數(shù)列遞推關(guān)系，an與an-1的差（或商）不是一個(gè)常數(shù)，可是所得的差f(n)本身構(gòu)成一個(gè)等差或等比數(shù)列，這在必定程度上增添了遞推的難度。例8、（廣告問題）某產(chǎn)品擁有必定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場檢查可知，在不作廣告宣傳且每件贏利a元的前提下，可賣出b件。若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時(shí)比廣告費(fèi)為b*（n-1）千元時(shí)多賣出件，（n∈N）。2n（1）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；4（2）當(dāng)a=10,b=4000時(shí)廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能贏利最大？剖析：對于(1)中的函數(shù)關(guān)系，設(shè)廣告費(fèi)為n千元時(shí)的銷量為sn,則sn-1表示廣告費(fèi)為(n-1)元時(shí)的銷量，由題意，sn——sn-1=b，可知數(shù)列{sn}不可等差也不可等比數(shù)列，可是二者的差b構(gòu)2n2n成等比數(shù)列，對于這種問題一般有以下兩種方法求解：解法一、直接列式：由題，s=b+b+b+b++b=b(2-1)222232n2n+b（廣告費(fèi)為1千元時(shí)，s=b+b；2千元時(shí)，s=b+b+b；n千元時(shí)s=b+b+b++222222223b）2n解法二、（累差疊加法）設(shè)s0表示廣告費(fèi)為0千元時(shí)的銷售量，s1bs02s2bbbbbs12，相加得Sn-S0=,由題：22+2+3++n222snsn1b2n即s=b+b+b+b++b=b(2-1)。222232n12n1（2）b=4000時(shí)，s=4000(2-2n),設(shè)贏利為t,則有t=s·10-1000n=40000(2-2n)-1000n欲使Tn最大，則：TnTn1，得n5，故n=5,此時(shí)s=7875。TnTn1n5即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使贏利最大。四、an=C·an-1+B，此中B、C為非零常數(shù)且C≠1例9、（公司生產(chǎn)規(guī)劃問題）某公司投資1千萬元于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可贏利25%，因?yàn)楣鹃g競爭強(qiáng)烈，每年終需要從收益中拿出資本200萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的收益增添率，問經(jīng)過多少年后，該項(xiàng)目的資本能夠達(dá)到或超出翻兩番（4倍）的目標(biāo)？（lg2=0.3）。剖析：設(shè)經(jīng)過n年后，該項(xiàng)目的資本為an萬元，則簡單獲取前后兩年an和an-1之間的遞推關(guān)系：an=an-1（1+25%）-200（n≥2），對于這種問題的詳細(xì)求解，一般可利用“待定系數(shù)法”：5解：由題，an=an-1（1+25%）-200（n≥2），即an=5an-1-200，設(shè)an+λ=5（an-1+λ），展44開得an=5an-1+1λ，1λ=-200，λ=-800，∴an-800=5（an-1-800），即{an-800}成一個(gè)等4444比數(shù)列，a1=1000(1+25%)-200=1050,a1-800=250，∴an-800=250（5）n-1，an=250（5）n-441+800，令an≥4000，得（5）n≥16，解得n≥12,即起碼要過12年才能達(dá)到目標(biāo)。4例10（分期付款問題）某人年初向銀行貸款10萬元用于買房：假如他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆借錢分10次等額送還(不計(jì)復(fù)利)，每年一次，并從借后次年年初開始送還，問每年應(yīng)還多少元？(精準(zhǔn)到一元)；(2)假如他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算(即今年的利息計(jì)入次年的本金生息)，仍分10次等額送還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？(精準(zhǔn)到一元)。解：(1)設(shè)每年還款x元，依題意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)++x(1+9×5%)=100000×(1+5%)，x≈12245元設(shè)每年還款x元，依題意得x+x(1+4%)+x(1+4%)2++x(1+4%)9=100000(1+4%)10，x≈12330元答：(1)當(dāng)年利率為5%，按單利計(jì)算，每年應(yīng)送還12245元；(2)當(dāng)年利率為4%，按復(fù)利計(jì)算時(shí)，每年還款12330元。評注：上述例題是與數(shù)列有關(guān)的分期付款問題，兩問所用公式各異。(1)中的利率是單利(即當(dāng)年的利息不計(jì)入次年的本金)，故所用的公式是等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；(2)中的利率是復(fù)利(即利滾利)，故所用公式是等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，致使這種區(qū)分的原由是付款形式不一樣。例11．（環(huán)保問題）（2002年全國高考題）某城市2001年終汽車保有量為30萬輛，估計(jì)此后每年報(bào)廢上年終汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)目相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超出60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)目不該超出多少輛？剖析：由“每年報(bào)廢上年終汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)目相同”易得某城市每年末汽車保有量與上年終汽車保有量的關(guān)系，于是可結(jié)構(gòu)數(shù)列遞推關(guān)系來求解。解：設(shè)每年新增汽車為b萬輛，該城市第n年終的汽車保有量為an，則簡單獲取an和an－1的遞推關(guān)系：an(16%)an1b0.94an1b(n2)即an50b＝0.94（an150b）33∴｛an50b｝是以0.94為公比，以3050b為首項(xiàng)的等比數(shù)列。33∴an50b＝（3050b）·0.94n－1，即an50b+（3050b）·0.94n－13333(1)當(dāng)3050b≥0即b≤1.8時(shí)，an≤an-1≤≤a1=3036(2)當(dāng)3050b<0即b<1.8時(shí)3liman＝lim［50b+（3050b）·0.94n－1］＝50bnn333并且數(shù)列｛an｝為遞加數(shù)列，能夠隨意靠近50b，所以，假如要求汽車保有量不超出60萬輛，3即an≤60（n=1,2,3），則50b≤60，即b≤3.6（萬輛）。3綜上，每年新增汽車不該超出3.6萬輛。例12．用磚砌墻，第一層用去了所有磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依此類推，每一層都用去了上一次剩下磚塊的一半多一塊，到第10層恰巧把磚塊用完，則此次砌墻一共用了多少塊磚？剖析：因每一層都用去了上一次剩下磚塊的一半多一塊，即每一層剩下磚塊是上一次剩下磚塊的一半少一塊，于是可用數(shù)列的遞推關(guān)系求解。解：設(shè)此次砌墻一共用了S塊磚，砌好第n層后剩下磚塊為an塊（1≤n≤10，n∈N*）則anan11，即an112)∴｛an+2｝為等比數(shù)列，且公比為122(an22又由題意得：a1＝s－1∴a1＋2＝s＋1∴a1＋2＝s＋1∴an＋2＝(s＋1)·(1)n－122222即an＝(s1)n－1＋1)·(－222∵a10＝0∴（s＋1）·（122

）9－2＝0解得：s＝211－2＝2046例13．（生態(tài)問題）某地域叢林原有木材存量為a，且每年增添率為25％，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年終要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地域叢林木材的存量，（1）求an的表達(dá)式；（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防備水土流失，該地域每年的叢林木材存量許多于7a，假如b19a，972那么該地域此后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？（參照數(shù)據(jù)：lg20.3）解：（1）設(shè)第一年的叢林的木材存量為a1，第n年后的叢林的木材存量為an，則a1a(11)b5ab，a25a1b(5)2a(51)b，44444a5ab(5)3a[(5)251]b，342444an(5)na[(5)n1(5)n21](5)na4[(5)n1]b(nN*)．444447（2）當(dāng)b19a時(shí)，有an7a得(5)na4[(5)n1]19a7a即(5)n5，729447294所以，nlg51lg27.2．lg52lg213lg2答：經(jīng)過8年后該地域就開始水土流失．五、二個(gè)（或多個(gè)）不一樣數(shù)列之間的遞推關(guān)系有的應(yīng)用題中還會(huì)出現(xiàn)多個(gè)不一樣數(shù)列互相之間的遞推關(guān)系，對于該類問題，要正確處罰沒數(shù)列間的互相聯(lián)系，整體考慮。例14、（濃度問題）甲乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500ml，同時(shí)從甲乙兩個(gè)容器中拿出100ml溶液，快要倒入對方的容器攪勻，這稱為是一次調(diào)解，記a1==10%,b1=20%,經(jīng)（n-1）次調(diào)解后甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度為an、bn，（1）試用an-1、bn-1表示an、bn；（2）求證數(shù)列{an-bn}是等比數(shù)列，并求出an、bn的通項(xiàng)。剖析：該問題波及到兩個(gè)不一樣的數(shù)列an和bn，且這二者互相之間又有限制關(guān)系，所以不可以單獨(dú)地考慮某一個(gè)數(shù)列，而應(yīng)當(dāng)把兩個(gè)數(shù)列互相聯(lián)系起來。解：（1）由題意400an1100bn141bn1；b400bn1100an141an=5an1n=bn1an1500550055（2）an-bn=3an13bn1=3（an1bn1）（n≥2），∴{an-bn}是等比數(shù)列。又a1-b1=-10%,555∴an-bn=-10%(3)n-1.（1）5又∵anbn=an1bn1==a1+b1=30%，（2）聯(lián)立（1）、（2）得an=-(3)n-1·5%+15%；bn=(3)n-1·5%+15%。55例15．現(xiàn)有流量均為300m2/s的兩條河流A、B會(huì)集于某處后，不?；煜鼈兊暮沉糠謩e為2kg/m3和0.2kg/m3．假定從集合處開始，沿岸設(shè)有若干個(gè)觀察點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀察點(diǎn)的過程中，其混淆成效相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)互換100m3的水量，即從A股流入8B股100m3水，經(jīng)混淆后，又從B股流入A股100m3水并混淆．問：從第幾個(gè)觀察點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3（不考慮泥沙積淀）？解說：此題的不等關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3”．但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難．為表達(dá)方便，我們分別用an,bn來表示河水在流經(jīng)第n個(gè)觀察點(diǎn)時(shí)，A水流和B水流的含沙量．則a1＝2kg/m3，b1＝0.2kg/m3，且100an300bn13100bn1200an12bn11003004an4bn,an1100200，3bn13an．（＊）因?yàn)轭}目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不如直接考慮數(shù)列anbn．由（＊）可得：1122bnb1n12222113311ana1n1bnb1n1bnb1n1ananananbnb1n1ananananbnbnananbnbn33333333444422所以，數(shù)列anbn是以a1b11.8為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列．2所以，anbn1.8

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n1．bn<0.01，得1n1由題，令an1．所以，n1lg180log2180．2180lg2由2718028得7log21808，所以，n8．即從第9個(gè)觀察點(diǎn)開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01kg/m3．評論：此題為數(shù)列、不等式型綜合應(yīng)用問題，難點(diǎn)在于對題意的理解．六、數(shù)列乞降綜合問題例16某單位為了員工的住宅問題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為30000m2的宿舍樓（每層的建筑面積相同）。已知土地的征用費(fèi)為2250元/m2，土地的征用面積為第一層的1.5倍。經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一層的建筑花費(fèi)為400元/m2，此后每增高一層，該層建筑花費(fèi)就9增添30元/m2。試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總花費(fèi)最少，并求出其最少花費(fèi)。（總花費(fèi)為建筑花費(fèi)和征地花費(fèi)之和）。解：設(shè)樓高為n層，總花費(fèi)為y萬元，則征地面積為1.530000(m2)n，征地花費(fèi)為22501.53[400nn(n1)30]3n萬元，各樓層建筑花費(fèi)和為2n萬元，總花費(fèi)為y[400nn(n1)30]322501.532nn15(3n67577)15(26752505n3n77)n（萬元）3n675n即n15時(shí)上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)∴這幢宿舍樓樓高層數(shù)為15時(shí)，總花費(fèi)最少為2505萬元例17某公司2003年的純收益為500萬元，因設(shè)施老化等原由，公司的生產(chǎn)能力將逐年降落.若不可以進(jìn)行技術(shù)改造，展望從今年起每年比上一年純收益減少20萬元，今年初該公司一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，展望在未扣除技術(shù)改造資本的狀況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+1)萬元（n為正整數(shù)）.2nn年，若該公司不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收益為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改（Ⅰ）設(shè)從今年起的前造后的累計(jì)純收益為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資本），求An、Bn的表達(dá)式；（Ⅱ）依上述展望，從今年起該公司起碼經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收益超出不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收益？.解：（Ⅰ）依題設(shè)，An=(500－20)+(500－40)++(500－20n)=490n－10n2；Bn=500[(1+1)+(1+1)++(1+1)]－600=500n－500－100.2225002n2n－10n2)（Ⅱ）Bn－An=(500n－2n－100)－(490n50050=10n2+10n－2n－100=10[n(n+1)－2n－10].因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)－50－10在（0，+∞）上為增函數(shù)，2x50－10≤12－50－10<0；當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n(n+1)－2n8當(dāng)n≥4時(shí)，n(n+1)－50－10≥20－50－10>0.2n16∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，Bn>An.10答：起碼經(jīng)過4年，該公司進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收益超出不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收益.評論：.本小題主要考察成立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列乞降、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問題的能力．1、甲、乙兩人于同一天賦別攜款1萬元到銀行積蓄，甲存五年期按期積蓄，年利率為2.88%乙存一年期按期積蓄，年利率為2.25%，并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期按期積蓄按規(guī)定每次計(jì)息時(shí)，儲(chǔ)戶須繳納利息的20%作為利息稅，若存滿五年后兩人同時(shí)從銀行拿出存款，則甲與乙所得本息之和的差為__________元（假定利率五年內(nèi)保持不變，結(jié)果精準(zhǔn)到1分）219.012.（04年）某市2003年共有1萬輛燃油型公交車。有關(guān)部門計(jì)劃于2004年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增添50%，試問：該市在2010年應(yīng)當(dāng)投入多少輛電力型公交車？(2)到哪一年終，電力型公交車的數(shù)目開始超出該市公交車總量的1？3解.（專）(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)目構(gòu)成等比數(shù)列{a}，此中a1128,q1.5,n則在2010年應(yīng)當(dāng)投入的電力型公交車為a7a1q61281.561458（輛）。（專）(2)記Sna1a2an，依照題意，得Sn31。于是Sn128(11.5n)5000（輛），即10000S11.5n1.5n65732，則有n7.5,所以n8。所以，到2011年終，電力型公交車的數(shù)目開始超出該市公交車總量的1。33．（05年）假定某市2004年新建住宅面積400萬平方米，此中有250萬平方米是中廉價(jià)房.估計(jì)在此后的若干年內(nèi)，該市每年新建住宅面積均勻比上一年增添8%.此外，每年新建住宅中，中低價(jià)房的面積均比上一年增添50萬平方米.那么，到哪一年終，（1）該市歷年所建中廉價(jià)層的累計(jì)面積（以2004年為累計(jì)的第一年）將初次許多于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建筑的中廉價(jià)房的面積占該年建筑住宅面積的比率初次大于85%？解：（專）（1）設(shè)中廉價(jià)房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，此中1，，則Sn250nn(n1)5025n2225,a=250d=502n令2522254750,即n29n1900,而n是正整數(shù),n10.nn∴到2013年終，該市歷年所建中廉價(jià)房的累計(jì)面積將初次許多于4750萬平方米.（專）（2）設(shè)新建住宅面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，此中b1=400，q=1.08，則bn=400·(1.08)n－1由題意可知an0.85bn有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由計(jì)算器解得知足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，∴到2009年終，當(dāng)年建筑的中廉價(jià)房的面積占該年建筑住宅面積的比率初次大于85%.114.（05年）某市2004年終有住宅面積1200萬平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆掉20萬平方米的舊住宅.假定該市每年新建住宅面積是上年年終住宅面積的5%.（1）分別求2005年終和2006年終的住宅面積；（2）求2024年終的住宅面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精準(zhǔn)到0.01）[解]（專）（1）2005年終的住宅面積為1200(15%)201240（萬平方米）,2006年終的住宅面積為1200(15%)220(15%)201282（萬平方米）∴2005年終的住宅面積為1240萬平方米，2006年終的住宅面積約為1282萬平方米.6分（專）（2）2024年終的住宅面積為1200(15%)2020(15%)1920(15%)1820(15%)2010分1200(15%)20201.052012522.64（萬平方米）0.05∴2024年終的住宅面積約為2522.64萬平方米.14分某地本來每年耗費(fèi)木材20萬立方米，每立方米木材的價(jià)錢為900元．為了減少木材的耗費(fèi)保護(hù)生態(tài)環(huán)境，該地政府決定向花費(fèi)者加收育林費(fèi)．經(jīng)展望每加收木材價(jià)錢t%的育林費(fèi)，每年的木材耗費(fèi)量就減少t萬立方米．為了既減少木材耗費(fèi)，又保證育林收入每年許多于2400萬元，則3t的取值范圍是（A）[10,30]（B）[20,40]（C）[30,50]（D）[40,60]36.某廠在一個(gè)空間容積為2000m的密封車間內(nèi)生產(chǎn)某種化學(xué)藥品，開始生產(chǎn)后，每滿60分鐘一次性開釋出有害氣體3，并快速擴(kuò)散到室內(nèi)空氣中。每次開釋有害氣體后，車間內(nèi)的凈化設(shè)am備隨即自動(dòng)工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內(nèi)原有有害氣體含量的r%，而后停止工作，待下一次有害氣體開釋后再連續(xù)工作。（1）求第n次開釋出有害氣體后（凈化以前）車間內(nèi)共有有害氣體量為多少？（2）安全生產(chǎn)規(guī)定：只有當(dāng)車間內(nèi)的有害氣體總量不超出1.25am3時(shí)才能正常生產(chǎn)。當(dāng)r=20時(shí)，該車間可否連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時(shí)？請說明原由。解（1）∵第一次開釋有害氣體am3，第二次開釋有害氣體后（凈化以前），車間內(nèi)共有有害氣體(aar%)m3，2分第三次開釋有害氣體后（凈化以前），車間內(nèi)共有有害氣體a(aar%)r%aar%a(r%)2m3，3分第n次開釋出有害氣體后（凈化前）車間內(nèi)共有有害氣體12[aar%(%)2(%)n1]m3.5分arar即a1(r%)nm36分r%2）由題意，要使該車間能連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時(shí)，須在第6次開釋出有害氣體后（凈化之前），車間內(nèi)有害氣體總量不得超1.25am3，即一定要有a1(r%)61.25a.10分1r%611當(dāng)r1（0.2）20時(shí)，0.210.21.25,10.8∴當(dāng)r=20時(shí)，該車間能連續(xù)生產(chǎn)6.5小時(shí).12分7.一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)進(jìn)口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列n(n1)中的各數(shù)挨次輸入A口，從B口獲取輸出的數(shù)列an，結(jié)果表示：①從A口輸入n1時(shí)，從B口得a11；3②當(dāng)n2時(shí)，從A口輸入n，從B口獲取的結(jié)果an是將前一結(jié)果an1先乘以自然數(shù)列n中的第n1個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列an中的第n1個(gè)奇數(shù)。試問：1）從A口輸入2和3時(shí)，從B口分別獲取什么數(shù)？2）從A口輸入100時(shí)，從B口獲取什么數(shù)？并說明原由。解（1）a2a1151a3a21153735（2）先用累乖法得an(2n1(nN*)1)(2n1)得a100111001)(21001)39999(28.公民在就業(yè)的第一年就繳納養(yǎng)老貯備金a1，此后每年繳納的數(shù)目均比上一年增添d(d0)，歷年所繳納的貯備金數(shù)目a1，，a2是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國家賜予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不單采納固定利率，并且計(jì)算復(fù)利．假如固定年利率為r(r0)，那么，在第n年終，第一年所繳納的貯備金就變成a1(1r)n1，第二年所繳納的貯備金就變成a2(1r)n2，．以Tn表示到13第n年終所累計(jì)的貯備金總數(shù)．求證：TnAnBn，此中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列．解:T1a1，對n≥2頻頻使用上述關(guān)系式，得TT(1r)anT(1r)2a(1r)ann1n2n1na1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，①在①式兩頭同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)②②①，得rTna1(1r)nd[(1r)n1(1r)n2(1r)]and[(1r)n1r]a1(1r)nan．r即Tna1rdr)ndna1rdr2(1rr2．a(chǎn)1rd(1a1rddn，假如記Anr)n，Bnr2r2r則TnAnBn．此中An是以a1rd(1r)為首項(xiàng)，以1r(r0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以r2a1rdd為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列．r2rr9.一場特大狂風(fēng)雪嚴(yán)重破壞了某鐵路干線供電設(shè)施，抗災(zāi)指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)達(dá)成搶險(xiǎn)工程．經(jīng)測算，工程需要15輛車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)才能達(dá)成，現(xiàn)有21輛車可供指揮部分配．（1）若同時(shí)投入使用，需要多長時(shí)間能夠達(dá)成工程？（精準(zhǔn)到0.1小時(shí)）（2）現(xiàn)只有一輛車能夠立刻投入施工，其他20輛車需要從各處緊迫抽調(diào)，每隔40分鐘有一輛車能夠抵達(dá)并投入施工，問：24小時(shí)內(nèi)可否達(dá)成搶險(xiǎn)工程？說明原由．[解]（1）15輛車同時(shí)工作24小時(shí)可達(dá)成所有工程，每輛車每小時(shí)的工作效率為1．360設(shè)21輛車同時(shí)投入使用需要x小時(shí)竣工，則：211x1，x17.14360所以需要17.2小時(shí)達(dá)成任務(wù)．（2）解法一：設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，2，,21小時(shí)aa依題意它們構(gòu)成公差d2（小時(shí)）的等差數(shù)列，且a124314則有a1a2a211即1(a1a21)21360，3603603602化簡可得1(2a120d)360.即a110(-2)120，解得12317,2317221372121可見a1的工作時(shí)間能夠知足要求，即工程能夠在24小時(shí)內(nèi)達(dá)成.-解法二：設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，,a21小時(shí)，依題意它們構(gòu)成公差d2（小時(shí)）的等差數(shù)列，不如設(shè)a124，3由a1a2a21a1a2a211a21)21360360360360(a1720=1(2120d)21911720a90即能在24小時(shí)內(nèi)達(dá)成搶險(xiǎn)任務(wù)．?dāng)?shù)列的應(yīng)用題【復(fù)習(xí)要求】1．閱讀與數(shù)列有關(guān)的實(shí)質(zhì)問題，并能夠從中概括、提煉出數(shù)列問題模型.2．能靈巧應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，求出數(shù)列問題的解.3．加強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)質(zhì)問題的能力.【基礎(chǔ)知識(shí)】1．某種細(xì)菌在培育過程中，每20分種分裂一次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由一個(gè)能夠生殖成（）A．511個(gè)B．512個(gè)C．1023個(gè)D．1024個(gè)2．彈子跳棋共有60顆大小相同球形彈子，此刻棋盤大將它疊成正四周體形球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么節(jié)余的彈子共有（）A．0顆B．4顆C．5顆D．11顆3．西部某廠在國家踴躍財(cái)政政策的推進(jìn)下，從1999年1月起，到2001年12月止的36個(gè)月中，月產(chǎn)值不停遞加且構(gòu)成等比數(shù)列{an}，若逐月累計(jì)的產(chǎn)值Sn=a1+a2++an知足關(guān)系Sn=101an－36，則該廠的年遞加率為（精準(zhǔn)到萬分位）( )A．12.66%B．12.68%C．12.69%D．12.70%4．夏天山上的溫度從山底起，每高升100m降低0.7C，已知山頂處溫度是14.8C，山底處溫15度是26C，則該山相對于山底處的高度為______5．在制造純凈水的過程中，假如每增添一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，那么要使水中雜質(zhì)減少到本來的5%以下，則起碼需要過濾的次數(shù)為______[基礎(chǔ)知識(shí)m5.14【經(jīng)典題析】例1．在一次人材招聘會(huì)上，有A、B兩家公司分別開出了它們的薪資標(biāo)準(zhǔn)：A公司許諾第一個(gè)月薪資為1500元，此后每年代薪資比上一年代薪資增添230元；B公司許諾第一年代薪資數(shù)為2000元，此后每年代薪資在上一年的月薪資基礎(chǔ)上遞加5％，設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時(shí)錄取.試問：(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月薪資收入分別是多少？該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從薪資收入總量許多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不記其他要素），該人應(yīng)當(dāng)選擇哪家公司，為何？(3)在A公司工作比在B公司工作的月薪資收入最多能夠多多少元?（精準(zhǔn)到1元），并說明原由.剖析：（1）A公司的薪資增添為等差數(shù)列，B公司的薪資增添為等比數(shù)列；（2）比較兩種數(shù)列10年薪資總和的大小,即分別求兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,再比較大小；（3）即求兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的差對于n的函數(shù)的最值.解：(1)在A公司連續(xù)工作n年，則第n年的月薪資為an＝1500＋230(n－1)＝230n＋1270(元)5在B公司連續(xù)工作n年，則第n年的月薪資為bn＝2000(1＋100)n－1＝2000×1.05n－1(元)在A公司連續(xù)工作10年，則其薪資總收入為1S10＝2[12×(1500＋1500＋9×230)×10]＝304200(元)在B公司連續(xù)工作10年，則其薪資總收入為12×2000(1－1.05)10S'10＝1－1.05＝30420(元)S10＞S'10,故僅從薪資收入總量來看，該人應(yīng)當(dāng)選擇A公司.(3)an－bn＝230n＋1270－2000×1.05n－1記為f(n)要使得f(n)最大，需知足f(n)＞f(n－1)且f(n)＞f(n＋1)于是f(n)－f(n－1)＞01.05n－2＜2.3；f(n＋1)－f(n)＜01.05n－1＞2.316解得：1＋log1.052.3＜n＜2＋log1.052.3經(jīng)計(jì)算得lg2.3＝0.3617,lg1.05＝0.0212進(jìn)而得：18.07＜n＜19.07，n＝19∴f(n)max＝f(19)＝230×19＋1270－2000×1.0518≈826(元)例2。某一電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時(shí)段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條和余下的y1條的1，第2次播放了2條以及余下的1，第3次播放了3條以及余下的1，此后888每次按此規(guī)律插播廣告，在第x次播放了余下最后的x條（x1），（1）設(shè)第k次播放后余下ak條，這里a0y，ax0，求ak與ak1的遞推關(guān)系式；（2）求這家電視臺(tái)這天播放廣告的時(shí)段x與廣告的條數(shù)y.剖析：第k次播放了：k1ak1k1ak17k，所以aa1a7kak8a888kk18k18k17k解：（1）依題意有第k次播放了：k1ak1k1ak17k，888所以akak11ak17kak1k8ak887（2）因?yàn)閍018a11828a27778821a2277183828x18x27x7ax77882x1因?yàn)閍x0，所以y123x87778x用錯(cuò)位相減法乞降得y49x7x17因?yàn)?,81，故7x1,8x1，而x77x1,yN，則x70，即x7y49演變：某運(yùn)動(dòng)會(huì)開了n天（n1)，共發(fā)出m枚獎(jiǎng)牌：第一天發(fā)出1枚加上余下的1，次日發(fā)7出2枚加上余下的1；這樣連續(xù)了(n1)天，第n天發(fā)出n枚.該運(yùn)動(dòng)會(huì)開了多少天？共發(fā)了多少7枚獎(jiǎng)牌？演變：6和3617例3．如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)裝置表示圖，J1，J2是數(shù)據(jù)進(jìn)口處，C是計(jì)算機(jī)結(jié)果的出口，計(jì)算過程是由J1，J2分別輸入自然數(shù)m和n，經(jīng)過計(jì)算后得自然數(shù)由C輸出．此nm種計(jì)算裝置達(dá)成的計(jì)算知足以下三個(gè)性質(zhì)：J1J2①若J1，J2分別輸入1，則輸出結(jié)果為1；計(jì)算機(jī)裝置②若J1輸入任何固定自然數(shù)不變，J2輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果C比本來增大2；③若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為本來的2倍．試問：（1）若J1輸入1，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？2）若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)m，輸出結(jié)果為多少？3）若J1輸入自然數(shù)m，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？剖析：此題的信息量大，粗看不知怎樣下手，若認(rèn)真察看裝置的構(gòu)成，我們發(fā)現(xiàn)能夠把條件寫成二元函數(shù)式，并把它看作某一變量的函數(shù)，抽象出等比數(shù)列或等差數(shù)列的模型．解：設(shè)f(m，n)=k，由題意，f(1，1)=1，f(m，n+1)=f(m，n)+2，f(m+1，1)=2f(m，1)．（1）在f(m，n+1)=f(m，n)+2中，令m=1，則f(1，n+1)=f(1，n)+2，由此可知：f(1，1)，f(1，2)，f(1，3)，，f(1，n)，，構(gòu)成以f(1，1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以有f(1，n)=f(1，1)+2(n-1)=2n-1．（2）因?yàn)閒(m+1，1)=2f(m，1)，于是f(1，1)，f(2，1)，，f(m，1)，，構(gòu)成以f(1，1)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以有f(m，1)=f(1，1)?2m-1=2m-1．3）因?yàn)閒(m，n+1)=f(m，n)+2，所以f(m，1)，f(m，2)，f(m，3)，，f(m，n)，，組成以f(m，1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以有f(m，n)=f(m，1)+2(n-1)=2m-1+2n-2．演變：（2001年上海高考題）對隨意函數(shù)f(x),xD，可按圖示結(jié)構(gòu)一個(gè)數(shù)列發(fā)生器其工作原理以下：輸入①輸入數(shù)據(jù)x0D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1f(x0)；輸出f打?、谌魓1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1D，則將x1反應(yīng)回輸入端，再輸出x2f(x1)，并挨次規(guī)律連續(xù)下去.現(xiàn)定義4x2xiDf(x).NoYes49，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列x1（1）若輸入x0{xn}.請寫出數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)；65結(jié)束18（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無量的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；（3）若輸入x0時(shí)，產(chǎn)生的無量數(shù)列{xn}知足：對隨意正整數(shù)n，均有xnxn1，求x0的取值范圍.演變：（1）數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)僅有三項(xiàng)，它們是x111,x21,x31，195（2）當(dāng)x01時(shí)，xn1；當(dāng)x02時(shí)，xn2.（3）1x02.例4.某人年初向銀行貸款10萬元用于購房.（Ⅰ）假如他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額送還（不計(jì)復(fù)利），每年一次，并從借后次年年初開始送還，問每年對付多少元？（Ⅱ）假如他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算（即今年的利息計(jì)入次年的本金生息），仍分10次等額送還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？解：（Ⅰ）若向建設(shè)銀行貸款，設(shè)每年還款x元，則105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋＋x105×1.5即：105×1.5＝10x＋45×0.05元，解得x＝12.25≈12245(元)（Ⅱ）若向工商銀行貸款，每年需還y元，則：105×(1＋4%)10＝y(tǒng)(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋＋y(1＋4%)＋y1.0410－1即105×1.0410＝1.04－1·y此中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044＋≈1.4802.105×1.4802×0.04∴y≈1.4802≈12330(元)答：向建設(shè)銀行貸款，每年對付12245元；若向工商銀行貸款，每年對付12330元.演變1.用分期付款的方式購置家電一件，價(jià)為1150元，購置當(dāng)日先付150元，此后每個(gè)月這天都交托50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交托150元后的每一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月該交托多少錢？所有貸款付清后，買這件家用電器實(shí)質(zhì)花銷多少錢？解：購置時(shí)付出150元后，余欠款1000元，按題意應(yīng)分20次付清，因?yàn)槊看味家欢ń?0元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交托欠款的數(shù)額順月次構(gòu)成一數(shù)列設(shè)每次交款數(shù)額挨次為a1，a2，，a20則：a1＝50＋1000×1%＝60元，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元即第10個(gè)月對付款55.5元.19因?yàn)閧an}是以60為首項(xiàng)，以－0.5為公差的等差數(shù)列，所以有：60＋（60－19×0.5）S20＝2×20＝1105(元)即所有付清后實(shí)質(zhì)付款（1105＋150）＝1255（元）.演變2.某員工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推進(jìn)住宅制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算（馬上今年的本金與收益的總和計(jì)為次年的本金），若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始送還，問每年應(yīng)還多少元？剖析：逐年剖析，找尋規(guī)律，成立適合數(shù)學(xué)模型.解：設(shè)貸款額為a0元，貸款年利率為α，次年等額送還x元，第n年還清，則一年后的欠款數(shù)為：a1＝(1＋α)a0－x二年后的欠款數(shù)為：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[（1＋α）＋1]三年后的欠款數(shù)為：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[（1＋α）2＋(1＋α)＋1]年后的欠款數(shù)為：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋＋(1＋α)＋1]因?yàn)閍n＝0，貸款還清，1－(1＋α)nα(1＋α)na0∴(1＋α)na0＝x·1－(1＋α)，∴x＝(1＋α)n－1將α＝0.1，a0＝20000，n＝10代入，得2000×0.1×1.1102000×2.5937x＝1.110－1≈1.5937≈3255元.演變3.某人于1997年7月1日在銀行按一年按期積蓄的方式存入a元，1998年7月1日，他將到期存款的本息拿出后添上a元再按一年按期積蓄存入銀行，此后他每年7月1日依照相同相同的方法在銀行取款和存款，設(shè)銀行按期積蓄的年利率r不變，問到2002年7月1日他的本息共有多少？剖析：逐年剖析，找尋規(guī)律，成立數(shù)學(xué)模型.解：由題意得：1998年本息總數(shù)為a(1＋r)，1999年本息總數(shù)為a(1＋r)2＋a(1＋r),2002年本息總數(shù)為：a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)(1＋)[1－(1＋r)5]aar即1－(1＋r)＝r[(1＋r)6－(1＋r)]評論：解決等比數(shù)列應(yīng)用題的重點(diǎn)是認(rèn)真審題抓特色，認(rèn)真察看找規(guī)律，一般地，等比數(shù)列的特點(diǎn)是增添或減少的百分?jǐn)?shù)相同，為了剖析數(shù)列的規(guī)律，一般需先寫出數(shù)列的一些項(xiàng)加以考察.演變4.某地域荒山2200畝，從1995年開始每年春天在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，此后每一年比上一年多植樹50畝.（1）若所植樹所有都成活，則到哪一年可將荒山所有綠化?（2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增添率為20%，那么所有綠化后的那一年年終，該山木材總量為S，求S的表達(dá)式.（3）若1.28≈4.3，計(jì)算S(精準(zhǔn)到1立方米).剖析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100，150，200，成等差數(shù)列20n（n－1）解：(1)設(shè)植樹n年可將荒山所有綠化，則：100n＋2×50＝2200解之得n＝8或n＝－11(舍去)(2)1995年所植樹，春天木材量為200m3，到2002年終木材量則增為200×1.28m3.1996年所植樹到2002年終木材量為300×1.27m3.2002年所植樹到年終木材量為900×1.2m3，則：到2002年終木材總量為：S＝200×1.28＋300×1.27＋400×1.26＋＋900×1.2(m3)(3)S＝900×1.2＋800×1.22＋700×1.23＋＋200×1.281.2S＝900×1.22＋800×1.23＋＋300×1.28＋200×1.29，兩式相減得：0.2S＝200×1.29＋100(1.22＋1.23＋＋1.28)－900×1.21.22（1.27－1）＝200×1.29＋100×1.2－1－900×1.2＝1812S＝9060(m3)【方法總結(jié)】解數(shù)列應(yīng)用題第一要認(rèn)真閱讀和剖析題意，學(xué)會(huì)翻譯，將實(shí)質(zhì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化.其次再考慮用熟習(xí)的知識(shí)成立數(shù)學(xué)模型，求出問題的解。最后，經(jīng)常還需考證求得的結(jié)果能否切合實(shí)質(zhì)意義.【課后作業(yè)】1.依據(jù)市場檢查結(jié)果,估計(jì)某種家電商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量Sn(萬件)近似地滿足Snn(21nn25)(n1,2,3,,12).按此展望,在今年度內(nèi),需求量超出1.5萬件的月90份是(C)A.5月和6月B.6月和7月C.7月和8月D.8月和9月2.一幢n層大樓,各層均可招集n個(gè)人開會(huì),現(xiàn)每層指定一人到第k層開會(huì),為使n位開會(huì)人員上下樓梯所走行程總和最短,則k應(yīng)取(D)A.1B.11)C.11)n(n(n222D.n為奇數(shù)時(shí),k1(n1)或k1(n1),n為偶數(shù)時(shí),k1n.2223.某漁場將100kg魚苗投入池塘放養(yǎng),估計(jì)一年后魚重的增添率為6(即600%),此后每年的增添率為上一年的1,則三年后魚的總重量為_______3500kg34.用磚砌墻第一層(基層)用去了所有磚塊的一半多一塊,第二層用去了剩下磚塊的一半多一塊,21,挨次類推,每一層都用去了剩下磚塊的一半多一塊,到第10層恰巧用完整部磚塊,則共用了_______塊磚.11,可解得a11024,2(a11)20464.2046提示:an12(an2)1,即an2an1(n2).5.某地域因?yàn)榻ǚ?、修路、毀林等原由，林地面積不停減少．已知1996年終的林地面積為100萬公頃，從1997年起該林區(qū)進(jìn)行開荒造林，每年年終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果以下：時(shí)間該林區(qū)原有林地減少后的面積該年開荒造林面積1997年終99.8000萬公頃0.3000萬公頃1998年終99.6000萬公頃0.3000萬公頃1999年終99.4001萬公頃0.2999萬公頃2000年終99.1999萬公頃0.3001萬公頃2001年終99.0002萬公頃0.2998萬公頃試依據(jù)此表所給數(shù)據(jù)進(jìn)行展望（表中數(shù)據(jù)能夠按精準(zhǔn)到0.1萬公頃考慮）（1）假如不進(jìn)行1997年開始的開荒造林，那么到2010年終，該林區(qū)的林地面積大概變成多少萬公頃？2）假如從1997年起，該林區(qū)向來堅(jiān)持開荒造林，那么到哪一年終該林區(qū)的林地總面積達(dá)102萬公頃？析：（1）97.2萬公頃(自1997年終的林區(qū)原有林地減少后的面積至2010年終的林區(qū)原有林地減少后的面積計(jì)14個(gè)數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個(gè)以99.8為首項(xiàng)，-0.2為公差的等差數(shù)列，故2010年終的林區(qū)原有林地減少后的面積為99.8+(14-1)(-0.2)=97.2萬公頃)（2）到2016年終，林區(qū)總面積達(dá)102萬公頃(每年進(jìn)行開荒造林0.3萬公頃，每年減少0.2萬公頃，故實(shí)質(zhì)每年增添0.1萬公頃，進(jìn)而an=99.8+0.3+0.1(n-1)=100+0.1n≥102，解得n≥20．)某鐵路指揮部接到預(yù)告，24小時(shí)后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為保證十拿九穩(wěn)，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪吞沒正在緊張施工的遂道工程.經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí).可是，除了有一輛車能夠立即投入施工外，其他車輛需要從各處緊迫抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車抵達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車.問24小時(shí)內(nèi)可否達(dá)成防洪堤壩工程？并說明原由.22析：由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可達(dá)成所有工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為1，設(shè)從480第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，,a25小時(shí)，依題意它們構(gòu)成公差1（小時(shí)）的等差數(shù)列，且3a24,則有a1a2a251,即1(aa25)25480，化簡可得218192.148048048021a5解得a1231,23124.5因?yàn)?可見a1的工作時(shí)間能夠知足要求，即工程能夠在24小時(shí)內(nèi)達(dá)成.7.某人向銀行貸款2萬元用于購房，約定年利率為10％，按復(fù)利計(jì)算（即今年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若從借后次年年初開始，每年還4千元，試問，十年時(shí)間可否還清貸款？析：第一年后欠款：R1200001.14000第二年后欠款：R2R11.14000第三年后欠款：R3R21.14000假定10年還清欠款，則R100，故得：[[[[200001.1-4000]1.1-4000]]1.1-4000]1.1-4000≤0（共含10個(gè)4000），兩邊同除以1.110，可得：(1111)4000200001.11012101.11.121.131.1100.11.110事實(shí)上，2(1.1101)1.1101.11021.110(10.1)101C1010.1C1020.122所以假定成立，即十年后能還清貸款.8.一列火車自A城駛往B城,沿途有n個(gè)車站(包含起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B),車上有一郵政車廂,每?？恳徽颈阋兜羟懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋各一個(gè),同時(shí)又要裝上該站發(fā)今后邊各站的郵袋各一個(gè).設(shè)從第k站出發(fā)時(shí),郵政車廂內(nèi)共有郵袋ak個(gè)(k1,2,,n)，試求(1)數(shù)列{ak}的通項(xiàng)公式；(2)k為何值時(shí),ak最大?求出ak的最大值.析：akknk2(k1,2,,n)23若n為偶數(shù),則當(dāng)kn時(shí),ak的最大值為n2；若n為奇數(shù),則當(dāng)kn1或kn1時(shí),2422ak的最大值為n21；49.某城市2001年終汽車保有量為30萬輛，估計(jì)此后每年報(bào)廢上一年終汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)目相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超出60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)目不該超出多少輛?析：設(shè)2001年終汽車保有量為b1萬輛，此后各年終汽車保有量挨次為b2萬輛，b3萬輛，，每年新增汽車x萬輛，則b130，bn10.94bnx所以，當(dāng)n2時(shí)，bn0.94bn1x，兩式相減得：bn1bn0.94bnbn1（1）明顯，若b2b10，則bn1bnbnbn10，即bnb130，此時(shí)x30300.941.8.（2）若b2b10，則數(shù)列bn1bn為以b2b1x0.06b1x1.8為首項(xiàng)，以0.94為公比的等比數(shù)列，所以，bn1bn0.94nx1.8.（i）若b2b10，則對于隨意正整數(shù)n，均有bn1bn0，所以，bn1bnb130，此時(shí)，x30300.941.8.（ii）當(dāng)x1.8萬時(shí)，b2b10，則對于隨意正整數(shù)n，均有bn1bn0，所以，bn1bnb130，由bn1bn0.94nx1.8，得bnbnbn1bn1bn2b2b1b2b110.94n130b110.9424x1.810.94n1，0.0630要使對于隨意正整數(shù)n，均有bn60恒成立，即n130600.06對于隨意正整數(shù)n恒成立，解這個(gè)對于x的一元一次不等式,得x1.81.8,0.94n1上式恒成立的條件為：x1.81.8，因?yàn)閷τ趎的函數(shù)10.94n在nN上的最小值1.81.8單一遞減，所以，x3.6.fn10.94n10.某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每日準(zhǔn)時(shí)開放健身房和娛樂室.據(jù)檢查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)可否趨于穩(wěn)固？析.設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，則anbn150.an9an12bn19an12(150an1)7an130即an7an130.101010101010an1007(an1100)，于是an100(a1100)(7)n11010即an100(7)n1(a1100).10liman100.故跟著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)固在100人左右.n數(shù)列的實(shí)質(zhì)應(yīng)用題常有題型解題思路：審題---建模---研究模型---返回實(shí)質(zhì)審題：（1）量（多個(gè)量）；（2）量間的關(guān)系（規(guī)律）：等差、等比規(guī)律；遞推關(guān)系；其他規(guī)律---由特別到一般---概括總結(jié)；（3）與通項(xiàng)公式an有關(guān)或與前n項(xiàng)和sn有關(guān)等例題穩(wěn)固：251.等差、等比數(shù)列種類（通項(xiàng)公式an型或前n項(xiàng)和sn型）例1從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資本進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅行家產(chǎn)，依據(jù)規(guī)劃，今年度投入800萬元，此后每年投入將比上年減少1，今年度當(dāng)?shù)芈眯袠I(yè)收入估計(jì)為4005萬元，因?yàn)樵擁?xiàng)建設(shè)對旅行業(yè)的促使作用，估計(jì)此后的旅行業(yè)收入每年會(huì)比上年增添1.4(1)設(shè)n年內(nèi)(今年度為第一年)總投入為an萬元，旅行業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；起碼經(jīng)過幾年，旅行業(yè)的總收入才能超出總投入？解.(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－1)萬元，5第n年投入為800×(1－1)n－1萬元，5所以，