高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題(附答案)

高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題(附答案)

高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題一．選擇題（共16小題）1.若a＞b＞0，且ab=1，則下列不等式成立的是（）A.a+log2（a+b）＜2aB.log2（a+b）＜a+bC.a+log2（a+b）＜a+bD.log2（a+b）＜a+b＜2a2.設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（）A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z3.若x＋2y＝k，且k＜5，則x＋2y的最大值為（）A.1B.3C.5D.94.設(shè)x＋y＝1，且z＝2x＋y，則z的最小值是（）A.﹣15B.﹣9C.1D.95.已知x＋2y＝3，且z＝x＋2y，則z的最大值是（）A.3B.4C.5D.66.設(shè)x＋y＝1，且z＝x＋y，則z的最大值為（）A.1B.2C.3D.47.設(shè)x＋y＝2，且x﹣y＜3，則z＝x﹣y的取值范圍是（）A.[﹣3，3]B.[﹣3，2]C.[2，3]D.[3，+∞)8.已知變量x，y滿足約束條件x＋y＜1，則z＝x﹣y的最小值為（）A.﹣3B.﹣1C.1D.39.若變量x，y滿足約束條件x＋y＜1，則目標(biāo)函數(shù)z＝﹣2x＋y的最大值為（）A.1B.﹣1C.﹣2D.﹣310.若a，b∈R，且ab＞0，則a＋b＋2/（1/a+1/b）的最小值是（）A.1B.2C.3D.411.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A.ca＞cbB.ac＜bcC.logac＞logbcD.logbc＞logac的最小值是（）12.已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，則xy的最小值是（）A.2B.4C.8D.1613.設(shè)a＞2，b＞2，且a＋b＝3，則a2＋b2的最小值是（）A.6B.8C.9D.1014.已知x，y∈R，x2＋y2＋xy＝315，則x2＋y2﹣xy的最小值是（）A.35B.105C.140D.21015.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x＞1，y＞1，不等式（x＋1/y）（y＋1/x）≥m恒成立，則m的最小值為（）A.2B.4C.8D.1616.已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝x2﹣xy＋y2的最大值為（）A.1/4B.1/3C.1/2D.3/4二．解答題（共10小題）17.已知不等式|2x﹣3|＜x與不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n，求a＋b＋c的最小值．（Ⅰ）解不等式|2x﹣3|＜x，得到x＞3/4或x＜0．再解不等式x2﹣mx+n＜0，得到x∈（0，3/4）或x∈（3/2，+∞)．由于兩個(gè)解集相同，所以x∈（0，3/4）．當(dāng)x＝0時(shí)，不等式|2x﹣3|＜x不成立，故x＞0，即x∈（0，3/4)．因此，m﹣n＝0﹣（﹣9/16）＝9/16．（Ⅱ）由于a、b、c∈（0，1），所以ab＜a，bc＜b，ac＜a，因此ab＋bc＋ac＜2a＜2．又因?yàn)閍b＋bc＋ac＝m﹣n，所以m﹣n＜2．又因?yàn)閙﹣n＝9/16，所以a＋b＋c的最小值為9/32．18.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為A，不等式x2＋x﹣6＜0的解集為B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為A，不等式dx2＋ex＋f＜0的解集為B，求不等式（a＋d）x2＋（b＋e）x＋（c＋f）＜0的解集．（Ⅰ）解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得到x∈（﹣1，3）．解不等式x2＋x﹣6＜0，得到x∈（﹣3，2）．因此，A∩B＝（﹣1，2）．（Ⅱ）由于ax2＋bx＋c＜0的解集為A，所以x∈（﹣∞，α）∪（β，＋∞），其中α、β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根．由于dx2＋ex＋f＜0的解集為B，所以x∈（γ，δ），其中γ、δ為方程dx2＋ex＋f＝0的兩個(gè)實(shí)根．當(dāng)x∈（α，β）時(shí)，ax2＋bx＋c＞0；當(dāng)x∈（β，γ）時(shí)，ax2＋bx＋c＜0，dx2＋ex＋f＞0；當(dāng)x∈（δ，+∞）時(shí)，ax2＋bx＋c＞0．因此，不等式（a＋d）x2＋（b＋e）x＋（c＋f）＜0的解集為（β，γ）．19.設(shè)不等式x^2+ax+b<的解集為A∩B，求不等式ax^2+x+b<的解集。解：由于x^2+ax+b<的解集為A∩B，所以x^2+ax+b≥0在A∪B中沒有解。因此，ax^2+x+b<在A∪B中也沒有解，即其解集為空集。20.已知不等式ax^2+x+c>的解集為{x|1<x<3}。（1）求a，c的值；（2）若不等式ax^2+2x+4c>的解集為A，不等式3ax+c<的解集為B，且A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）由已知不等式ax^2+x+c>的解集為{x|1<x<3}，可得：a>0，且c>a(3^2)+3a+1=a(3-a)+1。（2）不等式ax^2+2x+4c>的解集為A，不等式3ax+c<的解集為B，且A?B，即：{x|ax^2+2x+4c>}=A?B={x|3ax+c<}，即3ax+c<ax^2+2x+4c，解得：x^2-\frac{2}{3}x-\frac{c}{3a}-\frac{4}{3}>0。由于A為不等式ax^2+2x+4c>的解集，所以上式的解集也應(yīng)該是A的子集，即：{x|x^2-\frac{2}{3}x-\frac{c}{3a}-\frac{4}{3}>0}?{x|ax^2+2x+4c>}。由于A?B，所以A的解集也應(yīng)該是B的子集，即：{x|ax^2+2x+4c>}?{x|3ax+c<}，即ax^2+2x+4c<3ax+c，解得：ax^2-x+4c-c<0，即ax^2-x<0，即x(ax-1)<0。當(dāng)a>0時(shí)，x<0或x>\frac{1}{a}。因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<-\frac{1}{3}或m>\frac{4c}{3a}。21.（1）已知實(shí)數(shù)x，y均為正數(shù)，求證：x^2+y^2≥\frac{(x+y)^2}{2}；（2）解關(guān)于x的不等式x^2-2ax+a^2-1<(a∈R)。解：（1）根據(jù)平均值不等式，有：\frac{x+y}{2}≤\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}，即x+y≤2\sqrt{x^2+y^2}，兩邊平方得：x^2+y^2≥\frac{(x+y)^2}{2}。（2）將x^2-2ax+a^2-1<(a∈R)移項(xiàng)并配方得：(x-a)^2<2。因?yàn)槠椒礁瘮?shù)單調(diào)遞增，所以：-\sqrt{2}<x-a<\sqrt{2}，即a-\sqrt{2}<x<a+\sqrt{2}。22.已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}>0。解：根據(jù)分式的通分公式，有：\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}。由于a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，所以a-b，b-c，c-a都不為0，因此：(a-b)(b-c)(c-a)>0，所以分母為正數(shù)，只需證明分子大于0即可。由于a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，所以：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>0，所以分子大于0，原不等式得證。23.設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2。（1）求a^2+b^2的最小值；（2）若(a-b)^2≥4(ab)^3，求ab的值。解：（1）由平均值不等式，有：\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}≥\frac{a+b}{2}=1，即a^2+b^2≥2。當(dāng)a=b=1時(shí)，有a^2+b^2=2，所以最小值為2。（2）將(a-b)^2≥4(ab)^3移項(xiàng)并配方得：(a+b)^3-27(ab)^2≥0，即8-27(ab)^2≥0，即(ab)^2≤\frac{8}{27}，因此ab的取值范圍為0<ab≤\frac{2\sqrt{2}}{3}。24.已知x，y∈(0，+∞)，x^2+y^2=x+y。（1）求x+y的最小值；（2）是否存在x，y，滿足(x+1)(y+1)=5？并說明理由。解：（1）由平均值不等式，有：\sqrt{\frac{x+y}{2}}≤\frac{x+y}{2}，即\frac{x+y}{2}≥\frac{1}{\sqrt{2}}，所以x+y≥2\sqrt{2}。當(dāng)x=y=\frac{1}{2}時(shí)，有x^2+y^2=x+y=\frac{1}{2}，所以最小值為\frac{1}{\sqrt{2}}。（2）將(x+1)(y+1)=5展開得：xy+x+y=3，將x^2+y^2=x+y代入得：xy+\frac{1}{2}(x^2+y^2)=3，即xy+\frac{1}{2}(x+y)^2=3，由平均值不等式，有：\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}，即xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}，所以：3=xy+\frac{1}{2}(x+y)^2\leq\frac{5}{4}(x+y)^2，即x+y\geq\sqrt{\frac{12}{5}}。因此，不存在滿足(x+1)(y+1)=5的正實(shí)數(shù)x，y。25.某車間計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸。已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用x，y表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)。（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（Ⅱ）每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤最大？并求出此最大利潤。解：（Ⅰ）根據(jù)題意，有以下限制條件：6x+3y≤240，4x+12y≤400，4x+6y≤240，x≥0，y≥0。因?yàn)樯a(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的噸數(shù)必須為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以x≥0，y≥0。因?yàn)槊刻煸系氖褂孟揞~有限，所以6x+3y≤240，4x+12y≤400，4x+6y≤240。因此，滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：6x+3y≤240，4x+12y≤400，4x+6y≤240，x≥0，y≥0。畫出相應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：（Ⅱ）設(shè)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的利潤分別為L1和L2，則：L1=900x，L2=600y，總利潤L=L1+L2=900x+600y。要使總利潤最大，需要使L1和L2分別最大，即需要最大化x和y的值。由于限制條件為不等式，所以可以采用線性規(guī)劃法求解。將目標(biāo)函數(shù)L=900x+600y和限制條件6x+3y≤240，4x+12y≤400，4x+6y≤240表示成標(biāo)準(zhǔn)形式：L=900x+600y，6x+3y+s1=240，4x+12y+s2=400，4x+6y+s3=240，x≥0，y≥0，其中s1，s2，s3分別為松弛變量。構(gòu)造初始單純形表如下：由于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)都為正數(shù)，所以可以采用單純形法求解。進(jìn)行單純形法的迭代計(jì)算，得到最優(yōu)解為x=20，y=20，L=30000。因此，每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各20噸，可以使得利潤最大，最大利潤為30000元。由可行域可知目標(biāo)函數(shù)z=2x+y經(jīng)過可行域的A時(shí)，取得最小值，由A（﹣3，﹣9），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：2(﹣3)+（﹣9）=﹣15．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，畫出可行域判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵．【解答】解：∵x＞，y＞1，∴∴即∴當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)，即x=y=√2．故時(shí)取等號(hào)，故m的最大值為8．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，需要將不等式轉(zhuǎn)化為求最大值的形式，屬于中檔題?！窘獯稹拷猓海á瘢┊?dāng)2x-3≥0，即x≥3/2時(shí)，不等式|2x-3|＜x可化為2x-3＜x，解得x＜3，∴x≤3/2；當(dāng)2x-3＜0，即x＜3/2時(shí)，不等式|2x-3|＜x可化為3-2x＜x，解得x＞1，∴x＞3/2；綜上，不等式的解集為{x|1＜x＜3/2}；∴不等式x^2-mx+n＜0的解集為{x|1＜x＜3/2}，∴方程x^2-mx+n=0的兩實(shí)數(shù)根為1和3/2，∴m-n=1×3/2=3/2；（Ⅱ）由a+b+c的取值范圍可知，a^2+b^2+c^2≤(a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)，即1≤a+b+c≤√3；又ab+bc+ac=m-n=3/2，故(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2≥0，即(a+b+c)^2≥4(ab+bc+ac)=6，故a+b+c≥√6；綜上，a+b+c的最小值為√6。故選D。（2）由一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系可知，對于不等式ax2+x+c＞，其對應(yīng)的方程為ax2+x+c=0，而其解集為{x|1＜x＜3}，即方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和3。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：$$\begin{cases}1+3=-\frac{a}{1}=-a\\1\times3=\frac{c}{a}\end{cases}$$解得$a=2$，$c=-6$。因此，不等式為$2x^2+x-6>0$。（2）根據(jù)題意，不等式ax2+2x+4c＞的解集為A，不等式3ax+cm＜的解集為B，且A?B。根據(jù)（1）可知，不等式ax2+2x+4c＞對應(yīng)的方程為$2x^2+x-6=0$，解得其兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$x=1$和$x=-3/2$。因此，A的解集為$x<-3/2$或$x>1$。對于不等式3ax+cm＜，其解集為$x>\frac{-cm}{3a}$。因?yàn)锳?B，所以對于A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)$x$，都有$x>\frac{-cm}{3a}$成立。因此，$\frac{-cm}{3a}<1$和$\frac{-cm}{3a}>-\frac{3}{2}$均成立。解得$m\in(-\infty,-\frac{27}{4})\cup(0,\infty)$。b的關(guān)系可得出ab的范圍，再根據(jù)不等式（a-b）2≥4(ab)3，化簡得ab≤1/4，結(jié)合前面的結(jié)果，可以解出ab的值．【解答】（1）由基本不等式得，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以a2+b2≥，最小值為．…（5分）（2）由+=2得a+b=2√ab，所以，ab≤1，又因?yàn)椋╝-b）2≥4(ab)3，化簡得ab≤1/4，結(jié)合ab≤1，得ab=1/4，…（10分）【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式在最值問題和不等式求解中的應(yīng)用．注意在使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)取不取得到，以及如何得到最小值．25．（2017?天津一模）某車間計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸。已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用$x$，$y$表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)。（Ⅰ）用$x$，$y$列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；甲種產(chǎn)品每噸消耗的$A$原料、$B$原料、$C$原料分別為6噸、4噸、4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗的$A$原料、$B$原料、$C$原料分別為3噸、12噸、6噸，每天原料的使用限額為$A$原料240噸、$B$原料400噸、$C$原料240噸，因此有以下不等式：$$\begin{cases}6x+3y\leq240\\4x+12y\leq400\\4x+6y\leq240\\x,y\geq0\end{cases}$$其中$x$，$y$為每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)。將以上不等式化簡可得：$$\begin{cases}2x+y\leq80\\x+3y\leq100\\x+1.5y\leq60\\x,y\geq0\end{cases}$$畫出相應(yīng)的平面區(qū)域：\begin{figure}[htbp]\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/TJ2017_1.png}\end{figure}（Ⅰ）每天分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤最大？并求出此最大利潤。設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別$x$噸、$y$噸，則總利潤為$900x+600y$元。要使利潤最大，需要求解以下優(yōu)化問題：$$\begin{aligned}\max\quad&900x+600y\\\text{s.t.}\quad&2x+y\leq80\\&x+3y\leq100\\&x+1.5y\leq60\\&x,y\geq0\end{aligned}$$將以上問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到：$$\begin{aligned}\min\quad&-900x-600y\\\text{s.t.}\quad&2x+y\leq80\\&x+3y\leq100\\&x+1.5y\leq60\\&x,y\geq0\end{aligned}$$利用單純形法求解上述線性規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解為$x=20$，$y=26.67$，最大利潤為$900\times20+600\times26.67=32002$元。某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲、乙，每天生產(chǎn)量分別為x噸、y噸。已知生產(chǎn)每噸甲、乙產(chǎn)品的利潤分別為900元、600元。根據(jù)原材料的供應(yīng)情況，每天最多可以使用150噸原材料，其中甲、乙產(chǎn)品所需的原材料分別為3噸、4噸和2噸、3噸。現(xiàn)在需要確定每天生產(chǎn)多少噸甲、乙產(chǎn)品才能使得利潤最大，并求出最大利潤。解：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的噸數(shù)分別為x、y，則利潤為Z=900x+600y。又因?yàn)槊刻焓褂玫脑牧峡偭坎怀^150噸，所以有3x+2y≤150和4y+3x≤150，即約束條件為3x+2y≤1504y+3x≤150將約束條件化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到二元一次不等式組3x+2y≤1503x+4y≤200解這個(gè)不等式組，得到可行域?yàn)橐粋€(gè)四邊形，如下圖所示：設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z=900x+600y，所以y=?3/2x+75和y=?3/4x+50是在可行域內(nèi)的一族平行直線。由于要求利潤最大，所以應(yīng)該選擇截距最大的直線，即y=?3/2x+75。此時(shí)，該直線與可行域的交點(diǎn)就是最優(yōu)解點(diǎn)M。解方程組，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（30，20），因此最大利潤為zmax=900×30+600×20=39000。所以每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品30噸，乙種產(chǎn)品20噸時(shí)利潤最大，且最大利潤為39000元。某公司每月生產(chǎn)兩種布料A和B，所有原料是三種不同顏色的羊毛。已知生產(chǎn)每匹每種布料所需的羊毛量和可供使用的每種顏色的羊毛的總量。設(shè)每月生產(chǎn)布料A、B的匹數(shù)分別為x、y，利潤為Z元。已知生產(chǎn)每匹布料A、B的利潤分別為60元、40元。如何安排生產(chǎn)才能使得利潤最大？并求出最大的利潤。解：設(shè)每月生產(chǎn)布料A、B分別為x匹、y匹，則利潤為Z=60x+40y。根據(jù)生產(chǎn)條件和原材料供應(yīng)情況，列出約束條件：3x+4y≤10504x+2y≤12002x+6