就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模課件

第2章光學(xué)諧振腔理論§2.1光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)§2.2光學(xué)諧振腔的損耗§2.3光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件

§2.1光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成和分類在激活介質(zhì)兩端適當(dāng)?shù)姆胖脙蓚€(gè)反射鏡，可構(gòu)成最簡(jiǎn)單的光學(xué)諧振腔。由兩個(gè)或多個(gè)反射鏡按一定方式組合，可以構(gòu)成不同種類的光學(xué)諧振腔。根據(jù)結(jié)構(gòu)，性能和機(jī)理等方面的不同，諧振腔有不同的分類方式：開(kāi)腔和閉腔穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔球面腔和非球面腔簡(jiǎn)單腔和復(fù)合腔駐波腔和行波腔端面反饋腔和分布反饋腔兩鏡腔和多鏡腔

---------最簡(jiǎn)單，最常用本章討論：由兩個(gè)球面鏡構(gòu)成的開(kāi)放式光學(xué)諧振腔2.1.2光學(xué)諧振腔的作用（1）提供軸向光波模的光學(xué)正反饋；（2）控制振蕩模式的特性。光學(xué)正反饋?zhàn)饔弥饕Q于腔鏡的反射率，幾何形狀以及之間的組合方式。有效控制腔內(nèi)實(shí)際振蕩的模式數(shù)目使大量光子集中在少數(shù)幾個(gè)狀態(tài)中，從而提高光子簡(jiǎn)并度獲得單色性和方向性好的相干光激光模式的特性由光腔結(jié)構(gòu)決定，可通過(guò)改變腔參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)光波模特性的控制。腔的模式在激光技術(shù)術(shù)語(yǔ)中，通常將光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁波的本征態(tài)稱為腔的模式。腔的模式也就是腔內(nèi)可區(qū)分的光子的狀態(tài)。同一模式內(nèi)的光子，具有完全相同的狀態(tài)（如頻率、偏振等）。2.1.3腔模模式：在腔內(nèi)可能存在的穩(wěn)定光場(chǎng)的本征態(tài)，包括縱模和橫模?？v模：沿腔軸線方向電磁場(chǎng)的本征態(tài)。縱模數(shù)表示激光振蕩頻率數(shù)，縱模數(shù)多，單色性差。單一縱模單色性最好。橫模：在腔中垂直腔軸方向的電磁場(chǎng)的本征態(tài)。不同的橫模，光場(chǎng)分布不同，光束的發(fā)散角不同?；鶛M模光強(qiáng)是高斯形，光場(chǎng)分布均勻，發(fā)散角最小。為了改善激光的方向性，必須選出基橫模。

改善激光的方向性，提高單色性是實(shí)際應(yīng)用的要求。模式的基本特征包括：每一種模式的電磁場(chǎng)分布，特別是在腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布；諧振頻率；在腔內(nèi)往返一次經(jīng)受的相對(duì)功率損耗；相對(duì)應(yīng)的激光束的發(fā)散角。

光學(xué)諧振腔理論研究目的：弄清楚激光模式的基本特征及其與腔的結(jié)構(gòu)之間的具體依賴關(guān)系。只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地確定模式的基本特征。縱模

以平行平面腔為例說(shuō)明光學(xué)諧振腔的縱模。對(duì)于平行平面腔（簡(jiǎn)稱平平腔）來(lái)說(shuō)，當(dāng)滿足條件時(shí)，可近似認(rèn)為均勻平面波是它的一種本征模。式中，代表腔的橫向尺寸，如圓形反射鏡的半徑；為諧振腔的腔長(zhǎng)；為激光波長(zhǎng)。利用均勻平面波討論開(kāi)腔中傍軸傳播模式的諧振條件考察均勻平面波在腔中沿軸線方向往返傳播的情形。當(dāng)波在腔鏡上反射時(shí)，入射波和反射波將會(huì)發(fā)生干涉，多次往復(fù)反射時(shí)就會(huì)發(fā)生多光束干涉。為了能在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振蕩，要求波能因干涉而得到加強(qiáng)。發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件是：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來(lái)位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)波同相（即相差是2的整數(shù)倍）。

結(jié)論：一定的諧振腔只對(duì)一定波長(zhǎng)和一定頻率的光波才能提供正反饋，使之諧振。（1）式和（2）式就是平平腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件。稱為腔的諧振波長(zhǎng)，稱為腔的諧振頻率，諧振頻率是分立的。（1）（2）腔內(nèi)形成穩(wěn)定的駐波場(chǎng)，腔的光學(xué)長(zhǎng)度為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍。特點(diǎn)：腔內(nèi)光強(qiáng)沿z軸的分布不是均勻的，而是強(qiáng)弱相間地分布著。光強(qiáng)最強(qiáng)的明亮區(qū)，稱為波腹；最弱的黑暗區(qū)，稱為波節(jié)。通常將由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向光場(chǎng)的分布稱為腔的縱模，不同的q相應(yīng)于不同的縱模，或相應(yīng)于駐波場(chǎng)波腹的個(gè)數(shù)。腔的兩個(gè)相鄰縱模頻率之差與無(wú)關(guān)，只與腔長(zhǎng)和腔內(nèi)介質(zhì)的折射率有關(guān)，腔長(zhǎng)和折射率越小，縱模間隔越大。腔的兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔，簡(jiǎn)稱縱模間隔。橫模

穩(wěn)定場(chǎng)經(jīng)一次往返后，鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)的振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這種在腔反射鏡面上形成的經(jīng)過(guò)一次往返傳播后能自再現(xiàn)的穩(wěn)定場(chǎng)分布稱為自再現(xiàn)?；驒M模。理論分析表明，經(jīng)過(guò)足夠多次的往返傳播之后，腔內(nèi)形成一種穩(wěn)定場(chǎng)，其分布不再受衍射影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“自再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場(chǎng)分布。激光的橫模，實(shí)際上就是諧振腔所允許的（在腔內(nèi)往返傳播，能保持相對(duì)穩(wěn)定不變的）光場(chǎng)的各種橫向穩(wěn)定分布?？钻@傳輸線

為了更形象的理解開(kāi)腔中自再現(xiàn)模的形成過(guò)程，用光波在孔闌傳輸線中的傳播來(lái)模擬光波在平行平面腔中的往返傳播過(guò)程。不同的橫模用橫模序數(shù)m，n描述。對(duì)于方形鏡諧振腔，m，n分別表示腔鏡面直角坐標(biāo)系的水平和垂直坐標(biāo)軸的光場(chǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)。對(duì)于圓形鏡諧振腔，m，n分別表示腔鏡面極坐標(biāo)的角向和徑向的光場(chǎng)節(jié)線數(shù)。一個(gè)激光模對(duì)應(yīng)三個(gè)獨(dú)立的模序數(shù)，用符號(hào)表示?！?.2光學(xué)諧振腔的損耗光學(xué)諧振腔一方面具有光學(xué)正反饋?zhàn)饔?另一方面也存在各種損耗。損耗的大小是評(píng)價(jià)諧振腔質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，決定了激光振蕩的閾值和激光的輸出能量。損耗類型：1、幾何損耗2、衍射損耗3、輸出腔鏡的透射損耗4、非激活吸收，散射等其他損耗2.2.1光腔的損耗及其描述光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)，從腔的側(cè)面偏折逸出的損耗。取決于腔的類型和幾何尺寸幾何損耗的高低依模式的不同而異，高階橫模損耗大于低階橫模損耗是非穩(wěn)腔的主要損耗1、幾何損耗

腔鏡具有有限大小的孔徑，光波在鏡面上發(fā)生衍射時(shí)形成的損耗與腔的菲涅爾數(shù)（）有關(guān)，N愈大，損耗愈小（a:腔鏡半徑）與腔的幾何參數(shù)有關(guān)與橫模階次有關(guān)2、衍射損耗通常穩(wěn)定腔至少有一個(gè)反射鏡是部分透射，以獲得必要的輸出耦合。這部分有用損耗稱為光腔的透射損耗，它與輸出鏡的透射率有關(guān)。3、輸出腔鏡的透射損耗這類損耗是因?yàn)榧す馔ㄟ^(guò)諧振腔的反射鏡以及其中所有光學(xué)元件時(shí)，發(fā)生非激活吸收，散射等而引起的，也稱為內(nèi)損耗。4、非激活吸收，散射等其他損耗幾何損耗和衍射損耗稱為選擇損耗，不同模式的幾何損耗和衍射損耗各不相同。后兩種損耗稱為非選擇損耗，通常情況下它們對(duì)各個(gè)模式大體一樣。平均單程損耗因子不論損耗的起源如何，均可用“平均單程損耗因子”（簡(jiǎn)稱單程損耗因子）來(lái)定量描述。

的定義：光在腔內(nèi)單程渡越時(shí)光強(qiáng)的平均衰減百分?jǐn)?shù)。初始光強(qiáng)為，在無(wú)源腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為，光強(qiáng)的平均衰減百分?jǐn)?shù)為平均單程損耗因子為損耗參數(shù)：當(dāng)損耗很小時(shí)，<<1另一種指數(shù)定義形式：如果初始光強(qiáng)為I0，在無(wú)源腔內(nèi)往返一周后光強(qiáng)衰減到I1，則------兩種定義形式是一致的。每種因素引起的單程損耗因子用i來(lái)表示，則總的單程損耗是=∑i

。一、諧振腔失調(diào)時(shí)的幾何損耗設(shè)光線在腔內(nèi)往返m次后逸出腔外，則有式中，D為平平腔鏡面的橫向尺寸（反射鏡的直徑）。由于光在腔內(nèi)經(jīng)過(guò)m次往返后逸出腔外，因此往返一次的損耗為1/m，可得相應(yīng)的單程損耗為二、衍射損耗

按照單程損耗因子的定義，相應(yīng)的單程衍射損耗應(yīng)為射到圓孔之外的光能與到達(dá)第二個(gè)孔的總能量之比。式中，為衍射角，根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射公式，式中

N為菲涅耳數(shù)，它是從一個(gè)鏡面中心看到另一個(gè)鏡面上可以劃分的菲涅耳半波帶數(shù)，也是衍射光在腔內(nèi)的最大往返次數(shù)。三、透射損耗以r1和r2分別表示腔的兩個(gè)鏡面的反射率，則初始光強(qiáng)為I0的光在腔內(nèi)往返一周經(jīng)兩個(gè)鏡面反射后，其強(qiáng)度I1應(yīng)為按的定義，四、吸收損耗諧振腔的品質(zhì)因數(shù)平均單程損耗因子腔內(nèi)光子的平均壽命描述諧振腔損耗的參數(shù)：2.2.2光子在腔內(nèi)的平均壽命光在腔內(nèi)通過(guò)單位距離后光強(qiáng)衰減的百分?jǐn)?shù)為將代入上式，得解得式中-------腔的時(shí)間常數(shù)（也稱為腔的壽命）的物理意義：經(jīng)過(guò)時(shí)間后，腔內(nèi)的光強(qiáng)衰減為初始值的1/e。愈大，愈小腔的損耗愈大，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減愈快。求證：腔的時(shí)間常數(shù)等于光子在腔內(nèi)的平均壽命設(shè)t時(shí)刻腔內(nèi)光子數(shù)密度為n(t)，n0表示t=0時(shí)刻光子數(shù)密度腔的品質(zhì)因數(shù)表示光腔的儲(chǔ)能與損耗的特征。損耗愈小，Q值愈大，光腔的儲(chǔ)能性愈好，腔內(nèi)光子壽命愈長(zhǎng)。2.2.3無(wú)源腔的品質(zhì)因數(shù)Q平均單程損耗因子光子在腔內(nèi)的平均壽命R無(wú)源諧振腔的品質(zhì)因數(shù)Q小結(jié)：三者之間的關(guān)系：§2.3光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件若光線在諧振腔內(nèi)往返任意多次也不會(huì)橫向逸出腔外，將這種諧振腔稱為穩(wěn)定諧振腔，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定腔。利用矩陣光學(xué)分析方法，討論共軸球面腔中光線往返傳播的規(guī)律。諧振腔的穩(wěn)定性條件2.3.1光線傳播的矩陣表示一、光線矩陣列陣稱為光線在某一截面處的光線矩陣。二、光線變換矩陣稱為該光學(xué)系統(tǒng)的光線變換矩陣，它描述了光學(xué)系統(tǒng)對(duì)傍軸光線的變換作用。推導(dǎo)一些光學(xué)系統(tǒng)的光線變換矩陣：1.一段自由空間的光線變換矩陣三、光線在腔內(nèi)往返傳播的矩陣1.往返傳播一次的光線變換矩陣3.往返傳播n次的光線變換矩陣2.3.2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件諧振腔的穩(wěn)定性條件為：滿足條件：的諧振腔為非穩(wěn)腔。臨界腔的判定條件為：2.3.3穩(wěn)區(qū)圖

由坐標(biāo)軸，和雙曲線的兩支圍城的區(qū)域?qū)儆谇坏姆€(wěn)定工作區(qū)域。作業(yè)2：由凸面鏡和凹面鏡組成的球面腔，如果凸面鏡曲率半徑為2m，凹面鏡曲率半徑為3m，腔長(zhǎng)L為1m，腔內(nèi)介質(zhì)折射率為1，此球面鏡腔是何種腔（穩(wěn)定腔，臨界腔，非穩(wěn)腔）？作業(yè)1：試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔(腔的中心為兩個(gè)鏡面的公共焦點(diǎn),)為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無(wú)限多次，而且兩次往返即自行閉合。52第二章光學(xué)諧振腔理論2.4諧振腔的衍射積分理論2.5平行平面腔的自再現(xiàn)模2.6對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模53

諧振腔的幾何光學(xué)理論利用“光線”概念描述腔內(nèi)光的傳播，推導(dǎo)出了諧振腔的穩(wěn)定性條件。但要定量描述腔內(nèi)輻射場(chǎng)的振幅和相位分布以及無(wú)源開(kāi)腔的其他一些主要特征，必須用更為嚴(yán)格的衍射理論進(jìn)行討論。2.4諧振腔的衍射積分理論本節(jié)從菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式出發(fā)，建立諧振腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程，并討論該方程解的物理意義。542.4.1菲涅爾-基爾霍夫衍射積分波前上每一點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定。空間光場(chǎng)是各子波干涉疊加的結(jié)果。

惠更斯－菲涅耳原理（光的衍射理論基礎(chǔ)）利用基爾霍夫積分定理，并作菲涅爾近似處理，可得到該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式，即菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式。該積分公式表明，如果知道光波場(chǎng)在任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場(chǎng)在其他任意位置處的振幅和相位分布。55已知空間某一曲面S上光波場(chǎng)的振幅和相位分布函數(shù)，求它在空間任一觀察點(diǎn)P處產(chǎn)生的光場(chǎng)分布。

一.菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式為波矢的模，：源點(diǎn)與觀察點(diǎn)之間的距離；：源點(diǎn)處的波面法線與上述連線的夾角；

：源點(diǎn)處的面元，積分沿整個(gè)S面進(jìn)行。

56二.衍射積分公式在諧振腔中的應(yīng)用經(jīng)過(guò)j次渡越后生成的場(chǎng)與產(chǎn)生它的場(chǎng)之間應(yīng)滿足類似的迭代關(guān)系：對(duì)于一般諧振腔而言，通常滿足和57自再現(xiàn)模概念特點(diǎn)1：當(dāng)反射次數(shù)足夠多時(shí)（大約三百多次反射）光束的橫向場(chǎng)分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影響。特點(diǎn)2：場(chǎng)分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)”出來(lái)，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光的強(qiáng)度分布。這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這個(gè)穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模。2.4.2自再現(xiàn)模滿足的積分方程式58

考慮對(duì)稱開(kāi)腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，應(yīng)能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來(lái)，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：

59602.4.3積分方程解的物理意義一個(gè)本征函數(shù)就描述腔的一個(gè)自再現(xiàn)模或橫模。本征函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，其模描述開(kāi)腔鏡面上光場(chǎng)的振幅分布，輻角則描述鏡面上光場(chǎng)的相位分布。61

損耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為單程損耗、單程相移和本征值本征值的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗.自再現(xiàn)模在對(duì)稱開(kāi)腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為（由于）622.5平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的優(yōu)點(diǎn)：光束方向性極好（發(fā)散角?。?、模體積大、比較容易獲得單橫模；平行平面腔的缺點(diǎn)：調(diào)整精度要求極高，損耗也較大；平行平面腔振蕩模所滿足的自再現(xiàn)積分方程至今尚得不到精確的解析解。632.5.1平行平面腔的模式積分方程64652.5.2平行平面腔的數(shù)值迭代解法首先，假定在某鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布u1，將它代入上式，計(jì)算u2、u3、u4等。如此反復(fù)運(yùn)算經(jīng)過(guò)足夠多次后，判斷能否滿足下述關(guān)系式66便是自再現(xiàn)模積分方程式的本征函數(shù)，也是腔的自再現(xiàn)模或橫模。和的比值即是相應(yīng)的本征值。67腔的具體數(shù)據(jù)：68隨N的增大而減小。對(duì)于同一N值，隨模階次的增大而增大，其中基模的最低。692.6對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模當(dāng)構(gòu)成諧振腔的兩個(gè)球面鏡的曲率半徑相等且等于腔長(zhǎng)時(shí)，兩個(gè)鏡面的焦點(diǎn)重合且位于腔的中心。這類諧振腔稱為對(duì)稱共焦諧振腔，簡(jiǎn)稱共焦腔。70方形鏡面共焦腔模式積分方程的解析解

(1)設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為2a，共焦腔的腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，光波波長(zhǎng)為λ，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以(x，y)來(lái)表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：2.6.1方形球面鏡共焦腔模式積分方程及其解71一.振幅分布:令,則有圖(3-5