八年級(jí)最短路徑問題課件

最短路徑問題人教版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)上冊第1課時(shí)知識(shí)回顧如圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B有四條路線可選，哪一條是最近的？容易得出，路徑（3）是最近的.依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”.如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？容易得出，（2）是最短的.依據(jù)“垂線段最短”.l┐（1）（2）（3）?A如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是直線l上任意一點(diǎn)，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？容易得出，AC=BC.依據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”.ABlC1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2、體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想.思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題.這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.lBA這是個(gè)實(shí)際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將A，B

兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線.??Bl那你能用數(shù)學(xué)語言說明這個(gè)問題所表達(dá)的意思嗎？A如圖：點(diǎn)A，B分別在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置的時(shí)候，AC+BC的值最小？如果點(diǎn)A，B在直線l的兩側(cè)，這時(shí)該如何求解？??ABl??ABl解析：連接A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.如圖：點(diǎn)A，B分別在直線l的兩側(cè)，點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置的時(shí)候，AC+BC的值最?。磕隳芾脙牲c(diǎn)分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點(diǎn)在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點(diǎn)B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時(shí)使得對直線上任意一點(diǎn)C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點(diǎn)應(yīng)該怎么找呢？??ABl如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點(diǎn)C均滿足BC=B′C.此時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AB+B′C的值最小？?B′容易得出：連接AB′交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.??ABlC你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？?證明：在直線l上任意取一點(diǎn)C′（不與點(diǎn)C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′.由點(diǎn)C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點(diǎn)C的位置符合要求.l??AB?B′CC′1、直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題.知識(shí)點(diǎn)1如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C使得AC+BC的值最小，此時(shí)點(diǎn)C就是線段AB與直線l的交點(diǎn).??BlAC2、直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題.如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C使得AC+BC的值最小，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)C（也可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)C），此時(shí)點(diǎn)C就是所求作的點(diǎn).??ABlCB′知識(shí)點(diǎn)2如圖，A，B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個(gè)自來水廠分別向兩個(gè)鎮(zhèn)供水，如何選擇自來水廠的位置，可使用的水管最短？解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于河邊a的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交河邊a于點(diǎn)P，則點(diǎn)P所在的位置為所求的自來水廠的位置.??ABa??B′P跟蹤訓(xùn)練隨堂練習(xí)如圖，點(diǎn)A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；②連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn).在解決這個(gè)問題時(shí)沒有用到的知識(shí)或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點(diǎn)之間，線段最短D.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角??ABlCB′如圖，點(diǎn)A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；②連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn).在解決這個(gè)問題時(shí)沒有用到的知識(shí)或方法是（）D分析：上述題目中應(yīng)用了軸對稱把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決，該過程用到了“轉(zhuǎn)化思想”，“兩點(diǎn)之間，線段最短”，驗(yàn)證是否為最短距離時(shí)利用了三角形兩邊之和大于第三邊.??ABlCB′兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點(diǎn)A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時(shí)，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點(diǎn)的位置.解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，連接DC′交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求.也可作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′同樣交AB于點(diǎn)E的位置，則點(diǎn)E即為所求.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，要使EC+ED最小，請找點(diǎn)E的位置.分析：上述題目可以描述為，點(diǎn)C，D為線段AB同側(cè)的兩點(diǎn)，在線段AB上找到一點(diǎn)E使得CE+DE的值最小.ACDBE解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于線段AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交線段AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，要使EC+ED最小，請找點(diǎn)E的位置.課堂小結(jié)最短路徑問題直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD中點(diǎn)距離為600，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）

A.900B.1200C.1500D.1800ACDB分析：“牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離”可以轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)A，B均在河邊CD的同側(cè)，請?jiān)诤舆匔D上找一點(diǎn)E，使得AE+BE的值最小”.根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，點(diǎn)E比較容易找出，那AE+BE的值應(yīng)該是多少呢？ACDB解：延長AC至點(diǎn)A′，使得A′C=AC，連接A′B交CD于點(diǎn)E，連接AE.則點(diǎn)E即為所求的點(diǎn).分析：如圖，A′C=AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD.猜測E是CD的中點(diǎn)，則AE=600，所以AE+BE=1200.ACDBEA′.解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.∵A′C=AC=BD，在△A′CE和△BDE中，

∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，