金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中文課件fe第4章之一

第4章均值——方差分析本章大綱仍然接著上一章個體的借貸和消費(fèi)選擇、效用最大化的問題講。進(jìn)一步了解當(dāng)效用函數(shù)u是二次函數(shù)或者證券收益率（也叫回報率、利率）服從正態(tài)分布時，證券組合回報率的均值和方差就可以完全用于刻畫經(jīng)濟(jì)主體的偏好。掌握均值－方差模型描述的證券投資組合前沿理論，它是期望利率的決定，也就是CAPM的基礎(chǔ)。4.1

一些基本定義證券收益在時期0有N個證券在交易，它們的收益在時期1實現(xiàn)，證券i

在時期1的收益記為向量。其中有多種可能的狀況），因此，X其實是一個矩陣。用下面的向量同時表示N個證券的隨機(jī)收益

x1

x

2

X

=

N

為含有多個元素的行向量（假定時期1

x

xixi證券回報如果證券i在時期0的價格為Si

，則證券i

的總回報為Ri

=xi/Si

，回報率ri為Ri-1，用下面的向量r?同時表示N個證券的隨機(jī)回報率

r?1

r?

2

r?

=

r?

N

字母上方有彎的符號，表示它是隨機(jī)取值的數(shù)

例：假設(shè)時期1的經(jīng)濟(jì)有3種可能性狀況，有2只證券的收益為x1=(1,1,1)，x2=(1,2,2)，則證券收益矩陣為是2行（2只證券）、3列（3種可能性狀況）的矩陣。如果2只證券現(xiàn)在的價格分別為S1

=0.8，S2

=1.25，則證券回報率矩陣x

X

=

1

=

1

1 1

1

2

2

x2

0.6r?

=

r?1

=

0.25

0.25

0.250.6r?

-0.2

2

N證券組合portfolio的總回報:

R?p

=

wi

R?ii=1其中

wi

表示組合中證券

i

的投資比例。若一個證券組合中證券1的數(shù)量為30，證券2的數(shù)量為70，則其價格為30?0.8+70?1.25=111.5,其中證券1所占的比例為30?0.8/111.5=21.5%，證券2所占的比例為70

?1.25/111.5=78.5%。證券組合的回報該證券組合的收益為30?

(1,

1,

1)+

70

?(1,

2,2)=(100,170,170)。則上例中R?p

=(100,170,170)/111.5

，也等于用投資比例表示的R?p

=

21.5%

1.25

1.25

1.25

+

79.5%

0.8

1.6

1.6維的權(quán)重向量w（列向量）wi

為證券在證券組合中所占的比例，它們形成N??

?證券組合的回報率同樣有NTpi

ir=w

·

r”

w

ri=1例如，在有3只證券的經(jīng)濟(jì)中，投資者的r?p

=

w1r?1

+

w2

r?2

+

w3r?3

w1

w

=

wN

證券及證券組合的期望回報率單個證券的期望回報率定義為：E

(r?i

)

=

P(w

)ri

(w

)w

?W式中：E(r?i

)－回報率期望值；ri

(w

)

－ω狀態(tài)下該證券的回報率；P(ω)－ω狀態(tài)發(fā)生的概率例如，則該證券的E(r)=22%ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.20.2r(ω)5%10%20%30%50%為N只風(fēng)險證券回報率均值組成的列向rNTpi

=

1E

(

r?

)

=其中，量。w

i

E

(

r?i

)

”

w

r證券組合的期望回報率：是其所含證券的期望回報率的加權(quán)平均，以各證券在組合中的比例為權(quán)重.1

E(r?

)

E(r?N

)r

=

例如，證券A

、B

期望回報率分別16.2%和24.6%，在組合中的比例為0.75和0.25，則組合的期望回報率為(?TpE(r)

=

w

r=

0.750.25

16.2%

=18.3%)

24.6%單個證券回報率的方差一個證券的期望回報率描述了以概率為權(quán)數(shù)的平均回報率。但是這是不夠的，我們還需要一個有用的風(fēng)險測度，風(fēng)險或者說不確定性是以某種方式估計實際結(jié)果與期望結(jié)果之間可能的偏離程度，方差就是這樣一個測度，因為它估計實際回報率與期望回報率之間的可能偏離。(2

22?iiiiP(w

)[r

(w

)s

=

sr

=-

E(r

)]w

?W單個證券回報率的方差一個證券回報率的方差是未來回報率可能值

對期望回報率的偏離（通常稱為離差）的平

方的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是相應(yīng)的可能值的概率。記方差為s2，即有第i個證券的例如，則該證券的σ=16.5%。這個數(shù)字有什么經(jīng)濟(jì)意義呢？ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.20.2r(ω)5%10%20%30%50%兩個證券形成的組合的回報率的方差s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

sP

1

1

2

2

1

2

12方差分別為

s1

與

s

2

的兩個資產(chǎn)以w1與w2的權(quán)重構(gòu)成一個資產(chǎn)組合的方差為，協(xié)方差協(xié)方差是兩個隨機(jī)變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計測度，即它測度兩個隨機(jī)變量，如證券1和2的回報率之間的互動性。s12

=

cov(r?1

,

r?2

)

=

E(r?1

-

E(r?1

))(r?2

-

E(r?2

))協(xié)方差為正值表明兩個證券的回報率傾向于向同一方向變動——例如，一個證券高于期望回報率的情形很可能伴隨著另一個證券的高于期望回報率的情形。一個負(fù)的協(xié)方差則表明證券與另一個證券相背變動的傾向——例如，一種證券的高于期望回報率的情形很可能伴隨著另一個證券的低于期望回報率的情形。一個相對小的或者0值的協(xié)方差則表明兩種證券之間只有很小的互動關(guān)系或沒有任何互動關(guān)系。相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個概念是相關(guān)系數(shù)。事實上，兩個隨機(jī)變量間的協(xié)方差等于這兩

個隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的

標(biāo)準(zhǔn)差的積。證券1與2的相關(guān)系數(shù)為121

2rs

s=

s12r測量兩種股票回報共同變動的程度:-1.0

￡

r

￡

+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0完全負(fù)相關(guān)會使風(fēng)險消失完全正相關(guān)不會減少風(fēng)險在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險，但不是全部例如，證券A

、B標(biāo)準(zhǔn)差分別12.1%和29.2%，在組合中的比例為0.75和0.25，則利用s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

rs

sP

1

1

2

2

1

2

1

2組合的標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)r

=-1時為1.73%；當(dāng)r

=0時為11.64%；當(dāng)r

=1時為16.37%?？梢詫⑵鋽U(kuò)展到更多的證券形成的組合。P

1

1

2

2

1

2

12也可以寫成s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

s(21122Pss

sss

2

w

=

ww

)12

1

w2

21

2

20.2512.1%2

00

29.2%0.75比如上例中，11.64%

=

(0.750.25)

N個證券的組合的回報率的方差N

N2pi

j i

ji

=1

j

=1=

w

TV

ws

=

w

w

s2122s1,

Nssss1,

N

-1

s11

s12

s2,

N

-1

V

=

N1

s

N

-1,2

s

N

,

N

-1

s

N

,

NV為方差協(xié)方差矩陣,w為組合的權(quán)重列向量,wT表示w這個向量的轉(zhuǎn)置（列向量轉(zhuǎn)為行向量）。這樣表示很方便。其中，4.2

二次效用函數(shù)和服從正態(tài)分布的金融資產(chǎn)回報率本節(jié)概要：

以前學(xué)過，所投資的證券組合的期望回報率越大越好，回報率的方差越小越好。

一般地，僅僅用證券組合的期望回報率和回報率的方差并不能包含經(jīng)濟(jì)行為主體投資行為所需的全部信息。但是馬可維茨通過效用函數(shù)和投資回報率的分布作了相應(yīng)假設(shè)之后證明，經(jīng)濟(jì)行為主體的期望效用能夠僅僅表示為證券組合的期望回報率和回報率的方差的函數(shù)。注意：對于任意的分布和效用函數(shù)，期望效用并不能僅僅由證券組合的期望回報率和方差這兩個元素來描述。所以均值－方差分析的運(yùn)用是存在限制條件的。首先注意：我們的經(jīng)濟(jì)主體分為籌資者和投資者，現(xiàn)在僅研究投資者的效用最大化問題?；I資者的效用最大化類似。max

u(c0

,

c1

)為了分析的方便，我們將做兩個假設(shè)：（1）投資者的效用僅取決于時期1消費(fèi)的效用；（2）時期1的稟賦為0。由假設(shè)（1），U（C0，C1）=U（C1），可以推出投資者在時期0必然不消費(fèi)，而會將時期0的收入w0

全部用于投資；由假設(shè)（2），時期1的消費(fèi)取決于投資的收益。在時期0用w0買第i個證券，在時期1的收益為

W0

·(1+

r?i

)

W?

，一般地，用w0買證券組合p，在時期1的收益為W0

·(1+r?p

)

W?

。補(bǔ)充內(nèi)容：泰勒公式-----高階導(dǎo)數(shù)的作用泰勒公式的由來：來看函數(shù)求值的一個近似方法。根據(jù)函數(shù)的微分f￠(x0)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)(當(dāng)|x-x0|很小時)，得到求f(x)的近似公式f(x)?f(x0)+f

￠(x0)(x-x0) (當(dāng)|x-x0|很小時)，其誤差為f(x)-f(x0)-f

￠(x0)(x-x0)。該近似公式的不足：精確度不高。泰勒公式如果函數(shù)f(x)在含有x0

的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)的高階導(dǎo)數(shù)存在，則當(dāng)x

在(a，b)內(nèi)時，f(x)可以表示為：+nn!2!+

0

(x-x0) +f

(n)(x

)20f

"(x0)f

(x)

=

f

(x0)+

f

'(x0)(x-x0)+

(x-x

)稱為f(x)

在x0的泰勒展開。++

+2!

n!e

=1+

x

+例 求函數(shù)f(x)＝ex在x0＝0點的泰勒展開式解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1于是，ex在x0

＝0點的泰勒展開式為：x2

xnx在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式e

=

1

+

1

+

1

+

+

1

+

2!

n!效用函數(shù)的泰勒展開式個體的初始財富為W0

全部用于投資證券組合，時(

)231??

?2!1?

?

?n(

n)(

n)])

Wn!￥(期望的財富)周圍展開可得u(W?

)

=

u(E[W?

])

+u￠(E[W?

])(W?

-

E[W?

]￠+

u

(E[W-

E[W]

+

R3

(W

-E[W]),u

表示u的第n階導(dǎo)數(shù)。其中R

=

u

(E[W])n=3?期1的稟賦為零，他通過投資來最大化時期1的財富W帶來的期望效用（字母上方有彎的符號，表示它是隨機(jī)取值的數(shù)）,效用函數(shù)

u(W?

)

在

W?

的期望值

E(W?)類似地可以計算9000的效用，自己練一下。(

)(

)2323??

1

2!12!例如：初始財富為10000，投資帶來的結(jié)果是

11000或9000，概率各為1/2，因此時期1期望的財富為10000，而11000的效用等于：u(11000)

=

u(E[W?

])

+

u￠(E[W?

])

11000

-

E[W?

]￠+u

(E[W

])

11000

-

E[W

]+

R=

u(10000)

+

u￠(10000)

(11000

-10000)￠+

u

(10000) 11000

-10000+

R兩邊取數(shù)學(xué)期望，得到經(jīng)濟(jì)主體期望效用函數(shù)為其中，E[R3

]項表示經(jīng)濟(jì)行為主體的期望效用并不能僅僅由對時期1財富的均值和方差這兩個元素完全刻畫的部分?？梢姡ㄟ^泰勒展開式發(fā)現(xiàn)運(yùn)用均值－方差有局限性。23221??2!

1?

?(n)nn=3

n!E[u(W?

)]

=

u(E[W?

])

+

u

￠(E[W])s

(W

)

+

E[R

]s

=

E(W

-

E[W

])

,

E[R3

]

=u

(E[W?

])E(W?

-

E[W?

])￥其中u(E[W?

])為常數(shù),u￠(E[W?

])(E[W?

]-E[W?

])=0,我們把方差稱為二階中心矩，因為是隨機(jī)變量偏離均值這個中心的二次方的期望值。而把E(W?

-E[W?

])n

稱為n階中心矩。

可見經(jīng)濟(jì)行為主體的期望效用并不能僅僅由對時期1財富的均值和方差這兩個元素完全刻畫，而應(yīng)該包括泰勒展開式的高階中心矩（

n階的n>2）部分。s

2

=

E(W?

-

E[W?

])2均值－方差分析方法?

有時候，經(jīng)濟(jì)行為主體的期望效用函數(shù)可以只由時期1的財富的期望（均值）和方差來刻畫。這被稱為均值－方差分析方法。什么時候呢？均值－方差分析方法的使用條件和范圍考察未來回報分布為任意分布的情況此時為了使經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好能夠為均值和方差完全刻畫，我們必須假定經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)是一個二次型效用函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)可以表達(dá)。為此時u(z)

=

z

-(b

2)z

2E[R3

]

=

0易得，經(jīng)濟(jì)行為主體的期望效用可以由時期1的財富變量的期望和二階中心矩來定義E[u(W?

)]

=

E[W?

]-

b

(E[W?

])2

-

b

s

2

(W?

)2

2但二次型效用函數(shù)對于經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好關(guān)系的刻畫也存在著以下兩個主要的缺點：第一，二次型效用函數(shù)顯示經(jīng)濟(jì)行為主體對于財富具有滿足性，即個體效用存在著極大值，超過這點之后，邊際效用為負(fù)。第二，遞增的絕對風(fēng)險厭惡與現(xiàn)實中經(jīng)濟(jì)行為主體行為存在矛盾?？疾旖?jīng)濟(jì)行為主體的效用偏好為任意偏好的情況?21/

2jj

j!

[s

2

(W?

)]1/

2E[W?

-

E[W

]]

=

(

2)!j為偶數(shù)在任意偏好的情況下，如果三階及三階以上高階矩可以表示為均值和方差的函數(shù)，則我們就可以使用均值－方差分析來考察經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)。在財富是正態(tài)分布的條件下，前面泰勒展開式的三階及三階以上高階矩可以表示為一階矩和二階矩（均值和方差）的函數(shù)。因此，E[u(W?)]

就可以完全地由均值和方差表示。因為

0

j為奇數(shù)而財富其分布情況取決于證券組合的回報率。這樣，如果所有證券回報率滿足正態(tài)分布（可推導(dǎo)出：證券組合的回報率也滿足正態(tài)分布），經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)就都可以由時期1的回報率的期望和方差來刻畫。W?

=W0

·(1+

r?p

)這種情況，均值和方