2022年廣東省湛江市龍頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年廣東省湛江市龍頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在棱長為的正方體中，，分別為線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是

A．

B．

C．

D．參考答案：A過做底面于O,連結(jié),則，即為三棱錐的高，設(shè)，則由題意知,所以有，即。三角形，所以四面體的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以四面體的體積的最大值為，選A.2.已知，則對，下列說法中錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.若，則的定義域為()

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：C【考點】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求得sin（+α）和sin（﹣）的值，進(jìn)而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通過余弦的兩角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故選C【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．關(guān)鍵是根據(jù)cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用兩角和公式進(jìn)行求解．5.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其規(guī)律是：偶數(shù)項是序號平方再除以2，奇數(shù)項是序號平方減1再除以2，其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設(shè)計的，那么在兩個“”中，可以先后填入（

）A．是偶數(shù)，

B．是奇數(shù)，

C.是偶數(shù)，

D．是奇數(shù)，參考答案：D6.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：C7.設(shè)，則A.

B.

C.

D.參考答案：A8.設(shè)a是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將組成a的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I（a），按從大到小排成的三位數(shù)記為D（a），（例如a=746，則，）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，任意輸入一個a，輸出的結(jié)果b=（）A.693 B.594 C.495 D.792參考答案：C【分析】給出一個三位數(shù)的a值，實驗?zāi)M運行程序，直到滿足條件，確定輸出的a值，可得答案．【詳解】由程序框圖知：例當(dāng)a＝123，第一次循環(huán)a＝123，b＝321﹣123＝198；第二次循環(huán)a＝198，b＝981﹣189＝792；第三次循環(huán)a＝792，b＝972﹣279＝693；第四次循環(huán)a＝693，b＝963﹣369＝594；第五次循環(huán)a＝594，b＝954﹣459＝495；第六次循環(huán)a＝495，b＝954﹣459＝495，滿足條件a＝b，跳出循環(huán)體，輸出b＝495．故答案為：495．【點睛】本題通過新定義題型考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運行程序是解答此類問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A．1

B．－1

C.－e

D．－e－1參考答案：D10.拋物線C1：y=

x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2：的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=A.

B.

C.

D.參考答案：D經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線為。拋物線的焦點為,雙曲線的右焦點為.，所以在處的切線斜率為，即，所以，即三點，，共線，所以，即，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，兩動圓均過定點(1,0)，它們的圓心分別為，且與y軸正半軸分別交于點，若，則_________．參考答案：2 【分析】根據(jù)點點的距離公式可得y12＝1﹣2a1，y22＝1﹣2a2，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可得到y(tǒng)1y2＝1，可得2.【詳解】因為r1＝|1﹣a1|，則y12＝1﹣2a1，同理可得y22＝1﹣2a2，又因為，則（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，即2a1a2＝a1+a2，則2，故答案為：2.【點睛】這個題目考查了圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.的展開式中常數(shù)項為

．參考答案：1413.數(shù)列滿足：，且,則數(shù)列的前項和

參考答案：.14.已知直線y=k與曲線恰有兩個不同交點，記k的所有可能取值構(gòu)成集合A；P（x，y）是橢圓=l上一動點，點P1（x1，y1）與點P關(guān)于直線y=x+l對稱，記的所有可能取值構(gòu)成集合B，若隨機地從集合A，B中分別抽出一個元素，，則>的概率是____________。參考答案：略15.已知可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和，若不等式對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________參考答案：略16.設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得也是一個正整數(shù)，則k=

；參考答案：(p+1)2解：設(shè)=n，則(k－)2－n2=，T(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，Tk=(p+1)2．17.．拋物線的頂點為，，過焦點且傾斜角為的直線與拋物線交于

兩點，則的面積是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義法證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）解不等式．參考答案：（1）；（2）詳見解析；（3）．試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)有，可求出b，由可求得a值．（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．試題解析：解：（1）由已知是定義在上的奇函數(shù)，，即．又，即，．．

4分證明：對于任意的，且，則，，．，即．∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

8分由已知及（2）知，是奇函數(shù)且在上遞增，∴不等式的解集為

．

12分．考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=2lnx+．（I）當(dāng)函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y﹣4x+1=0垂直時，求實數(shù)m的值；（Ⅱ）若x≥1時，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

參考答案：（Ⅰ）9；（Ⅱ）[2，+∞）

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率k=f′（1）=2﹣，∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y﹣4x+1=0垂直，∴2﹣=﹣，∴m=9；

（Ⅱ）依題意不等式2lnx+≥1在x≥1時恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1時恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），則g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，∴x≥1時，g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在[1，+∞）時為減函數(shù)，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2即實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．【思路點撥】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，即可得到所求m的值；（Ⅱ）不等式2lnx+≥1在x≥1時恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1時恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

20.某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．圖是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表是乙流水線樣本頻數(shù)分布表．

（Ⅰ）若以頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取件產(chǎn)品，求其中合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）從乙流水線樣本的不合格品中任意取件，求其中超過合格品重量的件數(shù)的分布列；（Ⅲ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條資動包裝流水線的選擇有關(guān)”．

甲流水線乙流水線

合計合格品

不合格品

合計

50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：下面的臨界值表供參考：(參考公式：，其中)參考答案：解：（Ⅰ）由圖１知，甲樣本中合格品數(shù)為，

則的取值為；且，于是有：012∴的分布列為

……8分（Ⅲ）列聯(lián)表如下：∵＝∴有90％的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．………12分略21.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點，⊥于點，直線與過點的切線相交于點[來，為中點，連接交于點，（Ⅰ）求證：∠BCF=∠CAB

；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半徑．參考答案：見解析考點：幾何選講（Ⅰ）證明：因為AB是直徑，

所以∠ACB＝90°

又因為F是BD中點，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直線CF交直線AB于點G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可證得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割線定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2

……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，F(xiàn)G2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半徑為．

22.某科技博覽會展出的智能機器人有A，B，C，D四種型號，每種型號至少有4臺．要求每位購買者只能購買1臺某種型號的機器人，且購買其中任意一種型號的機器人是等可能的．現(xiàn)在有4個人要購買機器人．（Ⅰ）在會場展覽臺上，展出方已放好了A，B，C，D四種型號的機器人各一臺，現(xiàn)把他們排成一排表演節(jié)目，求A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰的概率；（Ⅱ）設(shè)這4個人購買的機器人的型號種數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（I）四中機器人的總的排序為，A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交換．（II）ξ的可能取值為1，2，