十法破解極值點偏移題

十法破解極值點偏移題

解題步驟：1.求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求出其單調(diào)性和極值點。2.根據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)，比較x1+x2和2e的大小。3.使用對數(shù)平均不等式或消元法證明x1+x2>2e。4.綜合以上分析得出結(jié)論。解題過程：1.已知函數(shù)f(x)=alnx+b，在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1，求a、b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)：f'(x)=a/x由于x>0，所以f'(x)的符號與a的符號相同。又因為在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1，所以f'(1)=1，即a>0。又因為f''(x)=-a/x2<0，所以f(x)在定義域(0,+∞)上是凹函數(shù)，即其極值點為極大值點。令f'(x)=0，得x=e，即f(x)在x=e處取得極大值，最大值為f(e)=1。所以a=1，b=f(1)-a=1-1=0，函數(shù)f(x)=lnx/x的單調(diào)區(qū)間為(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減。2.當f(x1)=f(x2)（x1<x2）時，比較x1+x2與2e的大小。由于f(x1)=f(x2)，所以lnx1/x1=lnx2/x2，即x1lnx2=x2lnx1，兩邊同時取e的指數(shù)得x1^(x2)=x2^(x1)。將x1+x2表示為t，即x1=t-x2，代入上式得：(t-x2)^(x2)=x2^(t-x2)兩邊同時取對數(shù)得：x2ln(t-x2)=lnx2(t-x2)移項得：ln(t-x2)+lnx2=x2lnx2化簡得：ln(t/x2-1)=lnx2/x2兩邊同時取e的指數(shù)得：t/x2-1=x2/x1化簡得：x1+x2=t>x2+1所以x1+x2>2e。3.證明x1+x2>2e。方法一：對數(shù)平均不等式由x1+x2>2e，得：ln(x1+x2)>ln(2e)又因為lnx是一個凸函數(shù)，所以根據(jù)對數(shù)平均不等式：ln(x1+x2)/2>=(lnx1+lnx2)/2化簡得：ln(x1+x2)>lnx1+lnx2兩邊同時取e的指數(shù)得：x1+x2>x1x2所以x1+x2>2e。方法二：消元法由x1+x2>2e，得：x1x2<[(x1+x2)/2]^2化簡得：x1x2<(t/2)^2又因為x1+x2=t，所以：x1x2<(t/2)^2<t^2/4化簡得：x1+x2>t/2>√(x1x2)所以x1+x2>2e。4.綜合以上分析得出結(jié)論：對于函數(shù)f(x)=lnx/x，當f(x1)=f(x2)（x1<x2）時，有x1+x2>2e。要證明1+x^2>2e，需要證明：(t+1)/(t-1)>2e/t，化簡得到t^2-3t+1>0，解得t>(3+sqrt(5))/2。對上式兩邊取對數(shù)得到ln(t-1)-ln(t+1)>ln(2e)，設(shè)h(t)=ln(t)-ln(t-1)，則h(1)=0，h''(t)>0，h'(t)單調(diào)遞增，因此h(t)>h(1)，即ln(t-1)-ln(t+1)>ln(2e)，證畢。另一種方法是使用對數(shù)平均不等式，即證明ln(t-1)+ln(t+1)/2>ln(sqrt(2e))，化簡得到(t-1)(t+1)>2e，同樣解得t>(3+sqrt(5))/2。使用混元法，設(shè)f(x1)=f(x2)，則x1/x2=ln(x1)/ln(x2)，令2=t，則x1/x2=ln(t+1)/ln(t)，化簡得到x1=ae^x2，其中a>e，再令x=ln(x2)，則x1=aex，x2=ln(t+1)/ln(a)，因此x1+x2=ln(t+1)+ln(a)/ln(t+1)-ln(a)，需要證明ln(t+1)-ln(t-1)>ln(2e)，化簡得到(t+1)ln(t-1)<(t-1)ln(t+1)，使用單調(diào)性證明即可。使用構(gòu)造對稱函數(shù)法，設(shè)F(x)=f(e+x)-f(e-x)，則F'(x)=f'(e+x)+f'(e-x)，因此F(x)單調(diào)遞增，需要證明F(1)>0，即f(e+1)-f(e-1)>0。使用單調(diào)性證明即可，也可以使用泰勒展開來證明。1.由于缺乏上下文，無法確定這段內(nèi)容的意義和用途，因此無法進行改寫。2.根據(jù)lnx1=(t+1)lnt；lnt；lnx1+lnx2=t-1/t-1，我們可以得出lnx2=(t-1)/(t-1)-lnx1。因為lnx2>2，所以(t-1)/(t-1)-l