上外附中直升考題組二

上外附中直升考題組二

1、已知y=2x+1，求x=7時的y值。改寫：已知線性函數(shù)y=2x+1，求當(dāng)x=7時的函數(shù)值y。答案：y=15。2、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，AC=2AD，BC=？改寫：已知等腰梯形ABCD，其中AB∥CD，CD=2，AC=2AD，求BC的長度。答案：BC=3。3、已知△ABC中，D為BC的中點，AD=S△FBC：S△ABC=？改寫：已知△ABC和△FBC，其中D為△ABC中BC邊的中點，求S△FBC與S△ABC的比值。答案：S△FBC：S△ABC=1：4。4、某商品進價500元，標(biāo)價750元出售，要求利潤不低于5%，最多可以打多少折？改寫：某商品的進價為500元，標(biāo)價為750元，要求利潤不低于5%，求最大可打的折扣。答案：最多可以打8折。5、已知AB為一條線段，CE=AC，EB、CD交于點F，求tana+cota的值。改寫：已知△ABC和點D、E，其中CE=AC，EB、CD交于點F，求tana+cota的值。答案：tana+cota=5/3。6、已知二次函數(shù)y=(k+2)x^2-2kx+3k，當(dāng)k=2時，該函數(shù)的圖像的頂點在x軸上，求k=2時該函數(shù)的零點。改寫：已知二次函數(shù)y=(k+2)x^2-2kx+3k，當(dāng)k=2時，該函數(shù)的圖像的頂點在x軸上，求該函數(shù)的零點。答案：k=2時，該函數(shù)的零點為(1,0)和(3,0)。7、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為高，AB：CD=4：3，求∠B的度數(shù)。改寫：已知直角三角形ABC，CD為BC邊上的高，且AB：CD=4：3，求∠B的度數(shù)。答案：∠B=63°。8、已知直線y=x/3，求該直線與雙曲線y=(x>0)的交點坐標(biāo)。改寫：已知直線y=x/3和雙曲線y=(x>0)，求它們的交點坐標(biāo)。答案：交點坐標(biāo)為(3,1)。9、已知梯形ABCD，其中AB∥CD，BC=CD=7，AD=6，BD⊥AD，求該梯形的面積。改寫：已知梯形ABCD，其中AB∥CD，BC=CD=7，AD=6，BD垂直于AD，求該梯形的面積。答案：梯形ABCD的面積為27。11、將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF，已知AB=AC=3，BC=4，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，求BF的長度。改寫：將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF，已知△ABC中AB=AC=3，BC=4，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，求BF的長度。答案：BF=16/9。12、已知a、b是方程x^2-2x-4=0的兩個實數(shù)根，求a+8b+6的值。改寫：已知方程x^2-2x-4=0有兩個實數(shù)根a和b，求a+8b+6的值。答案：a+8b+6=14。13、一家醫(yī)院某天出生了3個嬰兒，假設(shè)生男生女的機會相同，那么這3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰2個女嬰的概率是多少？改寫：一家醫(yī)院某天出生了3個嬰兒，假設(shè)生男生女的機會相同，求這3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰2個女嬰的概率。答案：概率為3/8。14、在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD、BC邊上的點，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的長度。改寫：已知正方形ABCD和點E、G、F，其中E為AB邊的中點，AG=1，BF=2，且∠GEF=90°，求GF的長度。答案：GF=√5。15、已知方程組{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2{x=3的解為{x=3，y=4，求方程組{a1x+b1y=c1，{a2x+b2y=c2的解。改寫：已知方程組{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2{x=3，y=4的解為{x=3，y=4，求方程組{a1x+b1y=c1，{a2x+b2y=c2的解。答案：解為{x=-2，y=5}。16、在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（10，0），點B的坐標(biāo)為（2，4）。點C是點B關(guān)于x軸的對稱點，因此C的坐標(biāo)為（2，-4）。經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式為y=-x^2+10x，點P為拋物線上異于C的點，且△OAP是直角三角形。由于O是拋物線的頂點，因此P在x軸上，設(shè)其橫坐標(biāo)為p，則縱坐標(biāo)為-y(p)^2+10y(p)。由于△OAP是直角三角形，因此OP與AP垂直，即斜率之積為-1，即(10-p)/p=-p/y(p)，解得p=5，y(p)=5。因此，點P的坐標(biāo)為（5，-25）。若拋物線頂點為D，對稱軸交x軸于點M，需要探究拋物線對稱軸上是否存在異于點D的點Q，使△AQD是等腰三角形。由于D是拋物線的頂點，因此其橫坐標(biāo)為5。設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為q，則其縱坐標(biāo)為-q^2+10q。由于△AQD是等腰三角形，因此AQ=QD，即QA^2=QD^2，代入坐標(biāo)得到(q-10)^2+q^4-20q^3+100q^2-200q+100=q^4-20q^3+100q^2-200q+100，化簡得到(q-5)^2=0，因此Q的橫坐標(biāo)為5，縱坐標(biāo)為-20。因此，點Q的坐標(biāo)為（5，-20）。17、在銳角△ABC中，BD、CE為它的高，交于O，連接DE，則△BOD與△COE相似，△BOE與△COD相似。18、在△ABC中，∠C=9°，∠B=6°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，且CD=2，DE=1。由正弦定理得到BC/sinC=AC/sinB，代入角度和公式得到sinA=sin(180°-B-C)=sin(165°)，因此A=165°。由余弦定理得到AD=AC*cosA=2cos15°，BD=AD*cosB=2cos15°cos6°，DE=AD*sinB=2cos15°sin6°，因此AE=AD+DE=2cos15°(1+sin6°)。由勾股定理得到BE^2=AB^2+AE^2=25+4cos^2(15°)(1+sin6°)^2，因此BC=2cos15°cos6°+√(25+4cos^2(15°)(1+sin6°)^2-4cos^2(15°)cos^2(6°))。19、由tan(A+B)=1可得tanA+tanB=1/(1-tanAtanB)。因此，tanA*tanB=1當(dāng)且僅當(dāng)tan(A+B)=0，即A+B為180°的整數(shù)倍。cotA*cotB=1當(dāng)且僅當(dāng)tanAtanB=1，即A+B為45°的整數(shù)倍。sin2A+sin2B=1當(dāng)且僅當(dāng)cos2A+cos2B=1，即A+B為90°的整數(shù)倍。因此，不成立的是選項C。對于函數(shù)y=2mx^2+(1-m)x-(1+m)，其頂點坐標(biāo)為(-1/4m,1+1/4m)，因此當(dāng)m=-3時，頂點坐標(biāo)為(3/4,-2)，因此正確的結(jié)論為1、2、3。21、如圖，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD‖BC，BC＝CD，E為梯形內(nèi)一點，且∠BEC＝90°。將△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到△DCF，連EF交CD于M。由于BC=CD，因此梯形ABCD是等腰梯形，因此AE=CD=BC=5。又因為∠BEC=90°，因此△BEC是直角三角形，由勾股定理得到BE=√(AE^2-AB^2)=4。將△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，因此CF=BE=4。由勾股定理得到DF=√(DC^2-CF^2)=√(5^2-4^2)=3。由相似三角形可得DM/CM=EM/CF，代入數(shù)值得到DM:MC=1:2。22、不等式組化簡為5a+44>33(x+1)+ax，即ax-33x>-11-5a。當(dāng)a=0時，不等式組無解；當(dāng)a≠0時，可以將不等式組化為x>(33/a)x-11/a-5，即x>kx+b的形式，其中k=33/a，b=-11/a-5。由于不等式恰有兩個整數(shù)解，因此k為分數(shù)，且b為整數(shù)。由于x>kx+b對于所有整數(shù)x都成立，因此k>1，即a<33。又由于k為分數(shù)，因此a不能取到33，因此取值范圍為a<33。23、（1）將方程化簡得到6x^2-15x-15=0，解得x=1或x=-5/2。將方程組化為x^2+y^2-xy=61和xy=7的形式，代入得到y(tǒng)^2-xy+7^2/4=61，即y^2-xy+49/4=0，解得y=(x±√(x^2-4*49/4))/2，因此x^2-4*49/4=t^2，其中t為整數(shù)，解得x=t/2±35/2，代入xy=7得到y(tǒng)的值。因此方程組的解為(1,7)和(-5/2,-14/5)。（2）將方程組化簡得到x^2-3xy+y^2+2x+2y-5=0和2x^2-xy+2y^2-6x-6y+10=0，將第一個方程兩邊加上4xy得到(x-y)^2+2(x-y)(x+2y)+(x+2y)^2+8x+8y-20=0，令u=x-y，v=x+2y，代入得到u^2+2uv+v^2+8u+8v-20=0。將第二個方程兩邊加上x^2+y^2得到3x^2+y^2-3xy+2x+2y+10=x^2+xy+y^2+2x^2+2y^2-6x-6y+10，化簡得到3x^2-2xy+3y^2-4x-4y=0，即(3x-y)^2+8y^2-12y-4=0，解得y=1/2，或者x=(y±√(16-8y^2))/3，代入得到x的值。因此方程組的解為(1,-2)和(2,1)。24、由正弦定理得到AB=AD/sinA=2/√3，因此AF=AB/2=1/√3。又因為AD=AG=1，因此△AFG是等邊三角形，因此∠AFG=60°。由余弦定理得到FG^2=AG^2+AF^2-2AG*AF*cos∠AFG=1+1/3-2/3*cos60°=4/3，因此FG=2/√3。由勾股定理得到EG^2=EF^2+FG^2=1/3+4/3=5/3，因此EG=√(5/3)。由余弦定理得到∠AED=arccos((AD^2+DE^2-AE^2)/(2AD*DE))=arccos((1+5/4-3/4)/(2*1*√(5/4)))=arccos(1/√5)，因此∠BED=∠AED/2=arccos(1/(√5*2))。由正弦定理得到BD=DE/sin∠BED=2√5/(√5-1)。因此ABCD是等腰梯形，由相似三角形可得AN/ND=AM/MB=√5-1。又由于△ABM和△CND相似，因此AN/ND=AM/MB=AB/CD=1/2，解得AM/MB=ND/AN=1/√5。因此AN:ND:DM=1:√5:2。由勾股定理得到BM^2=AB^2+AM^2=3，因此BM=√3。由勾股定理得到DN^2=ND^2-AD^2=3/4，因此DN=√(3/4)。因此AM:MB:DN=√5-1:√3:√(3/4)。25、如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q。我們可以得到以下相似三角形：△ABP∽△DQB，△ABR∽△CQR，△BPR∽△QDR?，F(xiàn)在我們需要求出BP：PQ：QR的比值。426、臺風(fēng)中心位于點P，并沿東北方向PQ移動。已知臺風(fēng)移動的速度為30千米/時，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P320千米處。我們需要求出這次臺風(fēng)影響B(tài)市的時間。27、如圖所示，點C將線段AB分成兩部分，如果AC：CB=AB：AC+CB，那么稱點C為線段AB的黃金分割點。某研究小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1：S2=（1+√5）/2，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線，你認為對嗎？為什么？（2）三角形的中線不是該三角形的黃金分割線。（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任做一條直線交AB于點E，再過點D做直線DF平行于CE，交AC于點F（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線。（4）如圖4所示，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF平行于AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線。我們需要畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD的任何邊的黃金分割點。628、如圖1所示，拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B。我們需要求出此拋物線的解析式。（1）根據(jù)已知條件，我們可以列出方程組：a-b+c=0，9a+3b+c=2，aD^2+bD+c=0。解得a=1，b=-3，c=2，因此此拋物線的解析式為y=x^2-3x+2。（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，我們需要