2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題56

2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1.如圖1,已知拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為￡>,

連接BC

(1)點(diǎn)G是直線8c上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與8、C重合)，過點(diǎn)6作了軸的平行線交直

線8c于點(diǎn)E,作GELBC于點(diǎn)F,點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=EF,連接DM、

GN.當(dāng)AGEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求DW+MN+NG的最小值；

(2)如圖2,連接BD,點(diǎn)P是線段8。的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接。Q,將

△OP。沿PQ翻折，且線段力’P的中點(diǎn)恰好落在線段B。上，將△AOC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到△&'OC',點(diǎn)T為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)。、A'、C'、7為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)7的坐標(biāo).

【分析】(1)先求出點(diǎn)B、C、。的坐標(biāo)，可求直線BC解析式且得到NOCB=45°.由GE

//y軸和GFLBC可得AGEF是等腰直角三角形，則GE最大時(shí)其周長(zhǎng)最大.設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)

為(〃，-/+2“+3),則點(diǎn)后(“，-“+3),可列得GE與〃的函數(shù)關(guān)系式，配方可求出其最

大值,得到此時(shí)的G坐標(biāo)和EF的長(zhǎng),即得到MN長(zhǎng).求。例+MN+NG最小值轉(zhuǎn)化為求DM+NG

最小值.先作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)Di,再通過平移MD\得D2,構(gòu)造“將軍飲馬”的

基本圖形求解.

(2)由翻折得。再由P為8。中點(diǎn)證得/8。力=90°,WPQ//BD',

又DP中點(diǎn)”在BQ上，可證△PQ”好△￡>為，，所以有D'Q//BP即四邊形DQD'P為菱形,

得QQ=QP.設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(q,-4+3)即可列方程求得.再根據(jù)題意把點(diǎn)4、C求出.以

點(diǎn)Q、A'、C'、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖形，利用平

行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，用平移坐標(biāo)的方法即可求得點(diǎn)T.

2

【解答】解：(1)y=-X2+2X+3=-(x-3)(x+1)=-(A:-1)+4

.?.拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)。(1,4),

直線CB解析式：y=-x+3,NBCO=45°

???GE〃y軸，GFLBC

：.ZGEF=ZBCO=45°,NGFE=90°

...△GEF是等腰直角三角形，EF=FG=?GE

2

工CAGEF=EF+FG+GE=(V2+1)GE

設(shè)點(diǎn)G(a,-a2+2a+3),則點(diǎn)E(a,-a+3),其中0<a<3

/.GE--+2a+3-(-a+3)--+3a—~(a-—)~+—

24

."=旦時(shí)，GE有最大值為9

24

.,.△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，G(3,1S),E(3,3),

2422

:.MN=EF=^X9^H,E點(diǎn)可看作點(diǎn)尸向右平移9個(gè)單位、向下平移a個(gè)單位

24888

如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)出(-1,2),過N作NZ>2〃￡>1M且NZ>2=Q1M

：.DM=D\M=NDI,D2(-1+9,2-9)即。2(X工)

8888

DM+MN+NG=MN+ND1+NG

...當(dāng)。2、N、G在同一直線上時(shí)，N￡>2+NG=Z>2G為最小值

DM+MN+NG最小值為曳史殳叵

8

（2）連接。ZADB,設(shè)。尸與8Q交點(diǎn)為H（如圖2）

,/△△OPQ沿PQ翻折得△OP。

J.DD'VPQ,PD^PD',DQ=D'Q,NDQP=ND'QP

為BO中點(diǎn)

：.PB=PD=PD',P(2,2)

.?.△80。是直角三角形，ZBD'D^9Q°

：.PQ//BD

：.ZPQH=ZD,BH

?；H為DP中點(diǎn)、

：.PH=D'H

在△PQ”與△。歸〃中

'NPQH=ND，BH

<ZPHQ=ZDyHB

PH=DyH

:?/\PQH咨ADBH(AAS)

：.PQ=BD

???四邊形3PQ。是平行四邊形

：.D'Q//BP

：.ZDPQ=ZD,QP

：.ZDQP=ZDPQ

：.DQ=DP

：.DQ1=DP1=(27)2+(2-4)2=5

設(shè)Q0-q+3)(0VqV3)

J(q-1)2+(-g+3-4)2=5

解得：夕2=二四(舍去)

22

點(diǎn)。坐標(biāo)為(返，3-逅)

22

?.?△AOC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△?!'OC

."，(-￡-遮)，C(-)恒旦)

2222

.,.A\。橫坐標(biāo)差為」愿一1,縱坐標(biāo)差為3r行

22

A\Q橫坐標(biāo)差為逅11,縱坐標(biāo)差為芻口史匹

22__

當(dāng)有平行四邊形4C7。時(shí)(如圖3),點(diǎn)7橫坐標(biāo)為遍7叫-1)5-m+1,縱坐標(biāo)

__22

為6-遍+3+7^_9-氓+4^

2=2

當(dāng)有平行四邊形A'CQT時(shí)(如圖4),點(diǎn)T橫坐標(biāo)為返心返工，縱坐標(biāo)為

2

6-后（3+?）_3-巫電

2=2__

當(dāng)有平行四邊形A7C。時(shí)（如圖5）,點(diǎn)有橫坐標(biāo)為一3日一（遍+1）1源-娓_\,縱

___22

坐標(biāo)為3-（6-加+7^）二加一?-3

2=