第二章 單自由度系統(tǒng)的振動part1

1.求解二階常系數(shù)線性微分方程

齊次方程

非齊次方程2.周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開3.傅式積分法和拉氏變換法預(yù)備知識第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度振動系統(tǒng)2.2單自由度振系的自由振動2.3單自由度振系的強(qiáng)迫振動2.1單自由度振動系統(tǒng)2.1.1概述2.1.2剛度2.1.3質(zhì)量2.1.4阻尼鼓勵2.1.6振動微分方程2.1.1概述自由度的概念振動系統(tǒng)的自由度(degree–of–freedom)：指在振動過程中任何瞬時都能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨立坐標(biāo)的數(shù)目。一個振動系統(tǒng)的自由度確實定常常是相當(dāng)復(fù)雜的問題。這不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，還要根據(jù)所研究的振動問題的性質(zhì)、要求的精確度、以及振動的實際情況來確定。2.1.1概述常見的幾種單自由度振動系統(tǒng)根據(jù)不同的振動形式，獨立坐標(biāo)可以選取線位移或角位移來表示。2.1.1概述剛度：k質(zhì)量：m阻尼：c鼓勵：F0sint振動微分方程2.1.2剛度剛度：使系統(tǒng)的某點沿指定方向產(chǎn)生單位位移〔線位移或角位移〕時，在該點同一方向上要施加的力〔力矩〕，就稱為系統(tǒng)在該點沿指定方向的剛度。剛度計算公式線剛度角剛度式中，F(xiàn)和M為廣義力。2.1.2剛度剛度算例A-截面面積E-抗壓彈性模量J-截面對中性軸的慣矩G-剪切彈性模量Jp-截面極慣矩D截面處拉壓剛度B截面處彎曲剛度C截面處扭轉(zhuǎn)剛度2.1.2剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度〔EquivalentStiffness)〔a〕并聯(lián)彈簧系統(tǒng)〔b〕串聯(lián)彈簧系統(tǒng)2.1.2剛度a.并聯(lián)彈簧的等效剛度b.串聯(lián)彈簧的等效剛度2.1.2剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度〔EquivalentStiffness)簡圖說明等效剛度ke等效剛度

串聯(lián)彈簧

并聯(lián)彈簧

混聯(lián)彈簧2.1.2剛度例題：求以下圖1和2兩系統(tǒng)的等效剛度。2.1.2剛度能量法求等效剛度〔EquivalentStiffness)當(dāng)實際系統(tǒng)比較復(fù)雜時，根據(jù)定義直接求等效剛度較困難，而按實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的彈簧的彈性勢能與等效系統(tǒng)彈簧勢能相等原那么來求等效剛度那么相對容易。2.1.2剛度例題：將圖示系統(tǒng)簡化為A點處的單質(zhì)量振系，求系統(tǒng)的等效剛度。2.1.2剛度解：因為所以2.1.2剛度例題：兩軸平行、速比為i的齒輪傳動機(jī)構(gòu)，齒輪的轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計。軸I的剛度為k1，轉(zhuǎn)角為1；軸II的剛度為k2，轉(zhuǎn)角為2；定義速比

，求軸I向軸II轉(zhuǎn)化的單軸振系的等效剛度。解：求等效剛度時，先夾住盤1和2不動，齒輪２轉(zhuǎn)角為2，那么軸I通過齒輪1將扭轉(zhuǎn)1，而且1=i2，此時2.1.3質(zhì)量同等效剛度一樣，假設(shè)實際系統(tǒng)較復(fù)雜〔一般為分布質(zhì)量系統(tǒng)〕，那么可以用能量法來確定等效質(zhì)量〔EffectiveMass)。根據(jù)實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動能與等效質(zhì)量動能相等的原那么來求等效質(zhì)量，即：2.1.3質(zhì)量例題：假設(shè)如下圖彈簧單位長度的質(zhì)量，彈簧長度為L。求一個與之等效的單自由度振系的等效質(zhì)量me。解：彈簧在距固定端ξ處的微元dξ的位移和速度分別為和。那么彈簧的振動動能質(zhì)量塊的動能2.1.3質(zhì)量系統(tǒng)總動能等效系統(tǒng)的動能因為所以2.1.3質(zhì)量例題：兩軸平行、速比為i的齒輪傳動機(jī)構(gòu)，齒輪的轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計。軸I的剛度為k1，轉(zhuǎn)角為1；軸II的剛度為k2，轉(zhuǎn)角為2；定義速比

，求軸I向軸II轉(zhuǎn)化的單軸振系的等效轉(zhuǎn)動慣量。等效系統(tǒng)的動能為：解：軸I向軸II轉(zhuǎn)化的動能為：因為所以2.1.4阻尼阻尼：振系中阻力有各種來源，例如兩物體之間的干摩擦力，有潤滑劑的兩個面之間的摩擦力，氣體或液體等介質(zhì)的阻力，電磁阻力，以及由于材料的粘彈性產(chǎn)生的內(nèi)部阻力等等。在振動中這些阻力統(tǒng)稱為阻尼(Damping)。2.1.4阻尼1.粘性阻尼〔ViscousDamping)物體在流體中低速運(yùn)動或沿潤滑外表滑動時，受到粘性阻尼的作用。在各種阻尼中，只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比，即，c代表粘性阻尼系數(shù)。粘性阻尼比較簡單常見，易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。應(yīng)用粘性阻尼分析振動問題時，可使求解大為簡化，因而通常均假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為粘性阻尼。2.庫侖阻尼〔CoulombDamping)物體在枯燥外表滑動時受到庫侖阻尼的作用。3.流體阻尼〔FluidDamping)物體在粘性較小的流體中高速運(yùn)動時，受到流體阻尼的作用。4.結(jié)構(gòu)阻尼〔StructureDamping)由于材料本身內(nèi)摩擦造成的阻尼，稱為結(jié)構(gòu)阻尼。當(dāng)振動系統(tǒng)中的阻尼為粘性阻尼以外的其它類型時，由于它們是非線性的，因而處理起來就不那么容易。為方便起見，在工程實踐中往往根據(jù)在振動一周中實際阻尼所消耗的能量等于粘性阻尼所耗散的能量的關(guān)系，把其它類型阻尼折算成等效粘性阻尼。2.1.4阻尼阻尼元件同樣有串聯(lián)和并聯(lián)等組合形式?！瞐〕并聯(lián)阻尼系統(tǒng)〔b〕串聯(lián)阻尼系統(tǒng)2.1.4阻尼a.并聯(lián)阻尼系統(tǒng)b.串聯(lián)阻尼系統(tǒng)2.1.4阻尼2.1.4阻尼能量法求等效阻尼〔EquivalentDamping〕：按實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的阻尼的耗散能量與等效阻尼的耗散能量相等原那么來求等效阻尼。2.1.4阻尼例題：求圖示系統(tǒng)的等效阻尼。解：2.1.4阻尼確定干摩擦阻尼、流體阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)方法考慮得系統(tǒng)作簡諧強(qiáng)迫振動時粘性阻尼力為：粘性阻尼在振動的一周期內(nèi)所作的功為：當(dāng)系統(tǒng)的阻尼是非線性阻尼時，可用等效阻尼系數(shù)ce來代替它。非線性阻尼所做的功2.1.4阻尼例題：試求高速流體阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)。解：當(dāng)物體以較大速度在粘性較小的流體中運(yùn)動時，阻尼與速度平方成正比，稱為流體阻尼。它是一種非線性的阻尼，可表示為：其中，為比例常數(shù)，根據(jù)介質(zhì)的物理特性而定。流體阻尼在一周期內(nèi)作的功為：高速流體的等效粘性阻尼2.1.5鼓勵外界激勵（Excitation）簡諧激勵一般周期激勵非周期激勵隨機(jī)激勵2.1.6振動微分方程1.牛頓第二定律〔或達(dá)朗貝爾原理〕a.建立力學(xué)模型b.取隔離體c.進(jìn)行受力分析d.應(yīng)用牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理建立微分方程2.1.6振動微分方程振動系統(tǒng)的隔離體受力分析2.1.6振動微分方程從上例可以看出，假設(shè)重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點取在靜平衡位置上，方程中就不會出現(xiàn)重力項。另外，還有三點需注意：a.假設(shè)f(t)=0，運(yùn)動方程為齊次微分方程，那么系統(tǒng)做自由振動；b.假設(shè)f(t)是正弦或余弦函數(shù)，那么系統(tǒng)做簡諧激振力的強(qiáng)迫振動。c.假設(shè)系統(tǒng)阻尼c等于零，系統(tǒng)做無阻尼受迫振動，方程可寫為：2.1.6振動微分方程單擺在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動。在微擺動時2.1.6振動微分方程例題：圓盤扭振，圓盤轉(zhuǎn)動慣量I，Kt為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置，求圓盤扭振的運(yùn)動方程。2.1.6振動微分方程由上述幾例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，那么彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。2.1.6振動微分方程例題:在圖所示的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，在兩彈簧連接處作用一鼓勵力。試求該系統(tǒng)的振動微分方程。2.1.6振動微分方程2.能量法當(dāng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動而忽略阻尼不計時，它就沒有能量損失。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個振動過程中任一瞬時機(jī)械能應(yīng)保持不變。即動能〔KineticEnergy〕與勢能〔PotentialEnergy〕之和勢能應(yīng)包括彈性勢能(ElasticPotentialEnergy)和重力勢能〔GravitationalPotentialEnergy〕。一般取靜平衡位置時的總勢能為零，此時動能為最大；而動能為零時勢能最大。2.1.6振動微分方程圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化的討論取靜平衡位置重力勢能為A靜平衡位置彈性勢能為靜平衡位置總勢能為質(zhì)量離開靜平衡位置x時，總勢能為2.1.6振動微分方程質(zhì)量離開靜平衡位置x時，相對于平衡位置的勢能為結(jié)論：假設(shè)以平衡位置為坐標(biāo)原點，令該位置的勢能為零，那么質(zhì)量離開靜平衡位置x時的總勢能為：所以，以后考慮類似問題時，不需要考慮重力勢能。系統(tǒng)在靜平衡位置勢能為零而動能最大，動能為零時，勢能最大，且有例題：半徑為r，重量為mg的圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)滾動而