復(fù)變函數(shù)第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法

復(fù)變函數(shù)第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法第1頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.復(fù)數(shù)列的極限定義4.1又設(shè)復(fù)常數(shù)：第2頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4.1證明第3頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂,極限為-1發(fā)散收斂，極限為0第5頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.復(fù)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和---無(wú)窮級(jí)數(shù)定義4.2設(shè)復(fù)數(shù)列：不收斂

第6頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1解定理4.2證明第7頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.例1第8頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月必要條件重要結(jié)論:第9頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不滿(mǎn)足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.第10頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由定理4.2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。定理4.3定理4.4定義4.3第11頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

?由定理4.4的證明過(guò)程，及不等式推論4.1證明第12頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例2第13頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：發(fā)散第14頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級(jí)數(shù)的概念2.收斂定理3.收斂圓與收斂半徑4.收斂半徑的求法5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級(jí)數(shù)第15頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級(jí)數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和

第16頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)第17頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理4.5(阿貝爾(Able)定理）第18頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明第19頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，則級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。第20頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，<否則，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故播放幻燈片37第21頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第22頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問(wèn)題要具體分析。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。第23頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.第24頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2(比值法)證明第25頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第26頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3(根值法)第27頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4.7(根值法)定理4.6(比值法)4.收斂半徑的求法第28頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(2)解(1)因?yàn)樗允諗堪霃?2)第29頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.2解

綜上第30頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3解第31頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第32頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，第33頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.第34頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算第35頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3解代換第36頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解代換展開(kāi)還原第37頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

分析運(yùn)算

定理4.8---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算第38頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.4求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解第39頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.4求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以第40頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P1002(1)(2)P1019(1)(2),10(1)第41頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒展開(kāi)定理2.展開(kāi)式的唯一性3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式§4.3

解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開(kāi)第42頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.泰勒(Taylor)展開(kāi)定理現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說(shuō),一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由§4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。第43頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4.9（泰勒展開(kāi)定理）Dk分析：代入(1)得第44頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Dkz第45頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月---(*)得證！第46頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第47頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(不講)第48頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明(不講)第49頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來(lái)看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開(kāi)式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問(wèn)題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開(kāi)式的成立必須受|x|<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.第50頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例如：第51頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月yz0ax第52頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.展開(kāi)式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開(kāi)式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):第53頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由展開(kāi)式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開(kāi)式來(lái)展開(kāi)由此可見(jiàn)，任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：第54頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

解第55頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例1解第56頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月間接法第57頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2把下列函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù):解（2）由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：第58頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,它的展開(kāi)式的收斂范圍為z<1.第59頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4.10第60頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第61頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.解析函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)性質(zhì)4.3不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱(chēng)z=z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。例如：第62頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4.4事實(shí)上，必要性得證！充分性略！第63頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如注:一個(gè)實(shí)函的零點(diǎn)不一定是孤立的.如第64頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但在復(fù)變函數(shù)中,我們有定理性質(zhì)4.5第65頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P10115(3);23第66頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.雙邊冪級(jí)數(shù)2.函數(shù)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)3.展開(kāi)式的唯一性及求法4.典型例題§4.4解析函數(shù)羅朗(Laurent)展開(kāi)第67頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示.但是這種情況在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:第68頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：

對(duì)負(fù)冪項(xiàng),如果令z=(z-z0)-1,就得到：

則當(dāng)|z-z0|>R1時(shí),即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.第69頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月z0R1R2例如級(jí)數(shù)第70頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問(wèn),在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?先看下例.第71頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，1Oxy第72頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即第73頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.函數(shù)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)定理4.12第74頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.證明思路Cauchy積分公式推廣到復(fù)連通域Dz0R1R2rRk1k2D1z第75頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明由復(fù)連通域上的Cauchy積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2第76頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第77頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡(jiǎn)單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫(xiě)成統(tǒng)一式子：證畢！第78頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級(jí)數(shù)，那么就利用羅朗（Laurent）級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱(chēng)為羅朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第79頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.展開(kāi)式的唯一性結(jié)論一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的羅朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2c第80頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Dz0R1R2c第81頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、函數(shù)的羅朗展開(kāi)式求法常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.第82頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)捷,快速.2.間接展開(kāi)法第83頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題例1解由定理知:其中第84頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故由柯西–古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:第85頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),第86頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1解三、典型例題第87頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解練習(xí)解第88頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.7xyo12xyo12xyo12第89頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:第90頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第91頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意首項(xiàng)第92頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開(kāi)式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)的方法：第93頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解(1)在(最大的)去心鄰域例4.8yxo12第94頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：第95頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點(diǎn)隔開(kāi)的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開(kāi)式(包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例).我們不要把這種情形與羅朗展開(kāi)式的唯一性相混淆.所謂羅朗展開(kāi)式的唯一性,是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開(kāi)式是唯一的.第96頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(1)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)。(2)Laurent級(jí)數(shù)與Taylor級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)：

Taylor級(jí)數(shù)先展開(kāi)求R,找出收斂域。

Laurent級(jí)數(shù)先求f(z)的奇點(diǎn)，然后以z0

為中心，奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使f(z)解析的環(huán)，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)。第97頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P10317，18第98頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.定義2.分類(lèi)3.性質(zhì)4.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系§4.5孤立奇點(diǎn)第99頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.定義例如----z=0為孤立奇點(diǎn)----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點(diǎn)----z=1為孤立奇點(diǎn)定義4.4~~~~~~~~~第100頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的。第101頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)以下將f(z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開(kāi)式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)?？疾欤禾攸c(diǎn)：沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn)：有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)第102頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):1．可去奇點(diǎn)1．可去奇點(diǎn);2．極點(diǎn);3．本性奇點(diǎn).如果羅朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱(chēng)為

的可去奇點(diǎn).1)定義第103頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說(shuō)明:(1)(2)無(wú)論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.第104頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).第105頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2)可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)在如果冪項(xiàng),則為的可去奇點(diǎn).(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).第106頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例說(shuō)明為的可去奇點(diǎn).解

所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為第107頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.

極點(diǎn)

如果在羅朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng),且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn).上式也可寫(xiě)成

其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.

反過(guò)來(lái),當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(*)的形式,且g(z0)0時(shí),則z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn).第108頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(*)式,就有定理4.13:這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.例第109頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例思考第110頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例第111頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.本性奇點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為f(z)的本性奇點(diǎn).注孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)(多值函數(shù))極點(diǎn)本質(zhì)奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)第112頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型.第113頁(yè)，課件共124頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為