河北省邯鄲市第十二中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析

河北省邯鄲市第十二中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的虛部是（） A．﹣i B． i C． ﹣ D． 參考答案：C略2.已知的最大值為A，若存在實數(shù)x1，x2使得對任意實數(shù)x總有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則A|x1﹣x2|的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】三角函數(shù)的化簡求值；正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值，即可求出A|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=sin2017x+cos2017x=2sin．或==2sin．∴f（x）的最大值為A=2；由題意得，|x1﹣x2|的最小值為=，∴A|x1﹣x2|的最小值為．故選：B．3.直線分別與函數(shù)的圖象及的圖象相交于點和點，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：因,故,則當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,故當時,函數(shù)取最小值,應(yīng)選D.考點：函數(shù)的圖象和性質(zhì)與導數(shù)在求最值中的運用.4.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的頂點都在球O的球面上，AB=2，AA1=4，則球面O的表面積為（）A． B．32π C．64π D．參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)對稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為1，球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性質(zhì)，求得半徑OA，再由球面O的表面積公式，計算即可得到．【解答】解：根據(jù)對稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為2，球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，則O'A==，由球的截面的性質(zhì)，可得，OA2=OO'2+O'A2，則有OA==，則球面O的表面積為4π?OA2=故選D．5.若定義在R上的二次函數(shù)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：A6.已知銳角的面積為，，則角的大小為A.75°

B.60°

B.45°

D.30°參考答案：解析：由正弦定理得，注意到其是銳角三角形，故C=°，選B7.面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離為，若，則；根據(jù)以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為，若，則

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f（3）的值為(

)A.-1

B.-2

C.1

D.2參考答案：B9.用數(shù)學歸納法證明1++（n∈N且n＞1），第二步證明中從“k到k+1”時，左端增加的項數(shù)是(

)A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣1參考答案：C【考點】數(shù)學歸納法．【專題】點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】當n=k時，寫出左端，并當n=k+1時，寫出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項和增加的第一項的關(guān)系．解：當n=k時，左端=1++，那么當n=k+1時

左端=1++++…+=1++++…+，∴左端增加的項為++…+，所以項數(shù)為：2k．故選：C．【點評】本題考查數(shù)學歸納法證明，其中關(guān)鍵一步就是從k到k+1，是學習中的難點，也是學習中重點，解答過程中關(guān)鍵是注意最后一項與增添的第一項．10.圓的圓心到直線的距離是

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知t>0，則函數(shù)的最小值為

.參考答案：-212.一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都減去構(gòu)成一組新數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

，方差是，則原來一組數(shù)的方差為________．參考答案：略13..已知平面內(nèi)兩個定點和點，P是動點，且直線PM,PN的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點P的軌跡為C.①存在常數(shù)，使C上所有點到兩點(－4,0),(4,0)距離之和為定值；②存在常數(shù)，使C上所有點到兩點(0,－4),(0,4)距離之和為定值；③不存在常數(shù)，使C上所有點到兩點(－4,0),(4,0)距離差的絕對值為定值；④不存在常數(shù)，使C上所有點到兩點(0,－4),(0,4)距離差的絕對值為定值.其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號）參考答案：②④【分析】由題意首先求得點P的軌跡方程，然后結(jié)合雙曲線方程的性質(zhì)和橢圓方程的性質(zhì)考查所給的說法是否正確即可.【詳解】設(shè)點P的坐標為：P（x，y），依題意，有：，整理，得：，對于①，點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，橢圓在x軸上兩頂點的距離為：2＝6，焦點為：2×4＝8，不符；對于②，點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，且c＝4，橢圓方程為：，則，解得：，符合；對于③，當時，，所以，存在滿足題意的實數(shù)a，③錯誤；對于④，點的軌跡為焦點在y軸上的雙曲線，即，不可能成為焦點在y軸上的雙曲線，所以，不存在滿足題意的實數(shù)a，正確.所以，正確命題的序號是②④.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求解，雙曲線方程的性質(zhì)，橢圓方程的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.設(shè)函數(shù)，集合，在直角坐標系中，集合A所表示的區(qū)域的面積為___________________.參考答案：4π略15.已知為正數(shù)，滿足則

的最小值為___________參考答案：416.已知，則的值為 .參考答案：17.已知數(shù)列的前項和為，且，，則滿足的的最小值為

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞﹣成立．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出導函數(shù)f'（x）=lnx+1，對x分別討論，得出導函數(shù)的正負區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分別討論t的范圍，求出函數(shù)的最小值；（2）不等式整理為a≤x++2lnx恒成立，只需求出右式的最小值即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+2lnx+，利用求導的方法得出函數(shù)的最小值；（3）根據(jù)不等式的形式可得f（x）＞﹣，只需使f（x）的最小值大于右式的最大值即可，構(gòu)造函數(shù)m（x）=﹣，利用求導得出函數(shù)的最大值．【解答】解：（1）f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1當x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增①0＜t＜時，f（x）min=f（）=﹣；

②≤t時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴f（x）min=，（2）2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤x++2lnx恒成立，令h（x）=x+2lnx+，則h'（x）=1+﹣=，由h'（x）=0，得x1=﹣3，x2=1，x∈（0，1）時，h'（x）＜0；x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0．∴x=1時，h（x）min=1+0+3=4．∴a≤4．∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，4]．（3）對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞﹣成立，∴xlnx＞﹣，∴f（x）＞﹣，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，當且僅當x=時取到．設(shè)m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），則m′（x）=，∵x∈（0，1）時，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，∴m（x）max=m（1）=﹣，從而對一切x∈（0，+∞），lnx＞﹣成立．【點評】考查了利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，根據(jù)單調(diào)性對參數(shù)的分類討論求函數(shù)的最值．分類討論思想的應(yīng)用．19.已知函數(shù)，若的最大值為1（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）在中，角、、的對邊、、,若，且，試判斷三角形的形狀.參考答案：略20.（本小題滿分10分）以直角坐標系的原點為極點O，軸正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為(1,-5),點C的極坐標為,若直線l經(jīng)過點P,且傾斜角為，圓C的半徑為4.(1).求直線l的參數(shù)方程及圓C的極坐標方程;(2).試判斷直線l與圓C有位置關(guān)系.參考答案：（1）直線的參數(shù)方程，即（為參數(shù)）由題知點的直角坐標為，圓半徑為，

∴圓方程為

將代入得圓極坐標方程

………5分（2）由題意得，直線的普通方程為，圓心到的距離為，∴直線與圓相離.

………10分21.(本題滿分12分）如圖所示.將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B在AM上.D在AN上.且對角線MN過C點.已知AB=3米.AD=2米(I)要使花壇AMPN的面積大于32平方米.求AN長的取值范圍;()若(單位：米).則當AM,AN的長度分別是多少時.花壇AMPN的面最大?并求出最大面積。參考答案：設(shè)AN的長為x米()

由于則

故SAMPN＝AN?AM＝

，

…………3分(Ⅰ)由，得，，即AN長的取值范圍是.…………6分

(

Ⅱ

)令y＝，則y′＝

因為當時，y′<0，所以函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

……9分

從而當x＝3時y＝取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN＝3米，AM=9米

…………12分22.已知函數(shù)f（x）=ex+a|x﹣1|．（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的值域；（Ⅱ）若f（x）≥0對一切實數(shù)x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當a=3時，求出函數(shù)f（x）的表達式，和導數(shù)f′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值即可求出函數(shù)的值域．（Ⅱ）將不等式恒成立，進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的極值即可．【解答】解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=ex+3|x﹣1|=，則函數(shù)的導數(shù)，當0＜x＜1時，f′（x）=ex﹣3＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當1＜x＜2時，f′（x）=ex+3＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)的最小值為f（1）=e，又f（0）=4，f（2）=e2+3，則函數(shù)在[0，2