《多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式》典型例題

《多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式》典型例題例1計(jì)算(3X4一3X2+1)(X4+X2—2)例2計(jì)算(3X+1)(X+1)—(2X一1)(X一1)—3X(X-2)—2X(—3X)例3利用(X+a)(X+b)=X2+(a+b)X+ab，寫出下列各式的結(jié)果；(1)(X+5)(X—6)(2)(—3X+2)(—3X+5)例4計(jì)算(X—1)(X+1)(X2+1)例5 已知X2+X—1=0，求X3—2X+4的值。例6計(jì)算題：(1)(2X+5y)(3X—4y)； (2)(X2+y)(X2+y)；(3)(2X—3y)(3X—4y) (4)(2X+4)(2X—3).例7已知計(jì)算(X3+mX+n)(X2—5X+3)的結(jié)果不含X3和X2項(xiàng)，求m,n的值。例8計(jì)算(1)(X+7)(X+9)； (2)(X—10)(X+20)；(3)(X—2)(X—5)； (3)(X+a)(X+b)。參考答案例1解：原式=3X8+3X6-6X4-3X6-3X4+6X2+X4+X2-2=3X8-8X4+7X2-2說明：多項(xiàng)式乘法在展開后合并同類項(xiàng)前，要檢查積的項(xiàng)數(shù)是否等于相乘的兩項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積，防止“重”、“漏”。例2解：原式=3X2+3X+X一1一(2X2一2X—X+1)-3X2+6X+6X2=3X2+3X+X+1-2X2+2X+X—1-3X2+6X+6X2=4X2+13X說明：本題中(2X-1)(X-1)前面有“一”號，進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，應(yīng)把結(jié)果寫在括號里，再去括號，以防出錯。例3解：(1)(X+5)(X-6)=X2+(5-6)X+5-(-6)=X2-X-30(2)(-3X+2)(-3X+5)=(-3X)2+(2-5)(-3X)+2X5=9X2-21X+10說明：(2)題中的(-3X)即相當(dāng)于公式中X例4解：(X-1)(X+1)(X2+1)=[X2+(-1+1)X+(-1)?1](X2+1)=(X2-1)(X2+1)=(X2)2+(-1+1)X2+(-1)?1=X4-1說明：三個多項(xiàng)式相乘，可先把兩個多項(xiàng)式相乘，再把積與剩下的一個多項(xiàng)式相乘。例5分析：已知X2+X-1=0，而不知X值但要求X3-2X+4的值時，可把X2+X-1看成一個整體，把X3-2X+4化成含X2+X-1的形式。解：x3—2x+4=x3+x2—x+x2+x—1—2x2—2x+2+3=(X3+X2-X)+(X2+X-1)+(-2X2-2X+2)+3=x(x2+x—1)+(x2+x—1)—2(x2+x—1)+3?.?X2+X—1=0.?.X(X2+X—1)+(X2+X—1)—2(X2+X—1)+3=3即x3—2x+4=3說明：把x3—2X+4化成含有x2+X—1的形式變換過程中，逆向運(yùn)用了同底數(shù)冪的運(yùn)算：X3=X2?X,也逆向運(yùn)用了乘方對加法的分配律及添括號法則。例6分析：第(1)小題，先用2X分別與3X與-4y相乘，再用5y分別與3X與-4丁相乘，再把所得的積相加；第(2),(3),(4)小題同上。相乘時注意乘積中各項(xiàng)的符號的確定。解：(1)(2X+5y)(3X—4y)=2x(3x—4y)+5y(3x—4y)=6X2—8Xy+15Xy—20y2=6X2+7Xy—20y2(2)(X2+y)(X2+y)=X2(X2+y)+y(X2+y)=X4+X2y+X2y+y2=X4+2X2y+y2(3)(2X—3y)(3X—4y)2X(3X—4y)—3y(3X—4y)=6X2—8Xy—9Xy+12y2—6X2—17Xy+12y2.(4)(2x+4)(2x—3)=2x(2x—3)+4(2X—3)1 34 1 1=—x2——x+—x—12=—x2+—x—12.4 2 2 4 2說明：兩個多項(xiàng)式相乘,應(yīng)注意防止“漏項(xiàng)”,計(jì)算過程中的一個多項(xiàng)式的第一項(xiàng)應(yīng)“遍乘”另一個多項(xiàng)式的第一項(xiàng),在計(jì)算時要注意確定積中各項(xiàng)的符號；如有同類項(xiàng),則應(yīng)合并同類項(xiàng),得出最簡結(jié)果。例7分析：首先按多項(xiàng)式乘法法則,進(jìn)行計(jì)算并按降(或升)冪排列,因不含X3和X2項(xiàng)，所以這兩項(xiàng)的系數(shù)均為0,從而列出關(guān)于m,n的方程，從而求解。解：原式=X5+mx3+nx2-5X4-5mx2—5nx+3X3+3mx+3n=x5-5X4+(m+X)X3+(n-5m)X2+(3m-5n)X+3n??,不含X3和X2項(xiàng)，?二m+3=0,且n—5m=0, ?二m=-3,n=-15。例8解：(1)(X+7)(X+9)=X2+7X+9X+63=X2+16X+63.(X-10)(X+20)=X2-10X+20X-200=X2+10X-200.(X-2)(X-5)=X2-5X-20+10=X2-7X+10.(X+a)(X+b)=X2+ax+bx+ab=X2+(a+b)X+ab.說明：含有一個相同字母的兩個一次二項(xiàng)式(一次項(xiàng)系數(shù)都是1)相乘，得到的積是同一個字母的二次