計算機圖形學3-2課件

第3章基本圖形的生成與計算2.3區(qū)域填充算法2.1直線的生成算法2.2圓的生成算法2.4字符的生成2.5圖形求交2.6圖形裁剪2.1直線的生成算法畫一條從(x1,y1)到(x2,y2)的直線，實質(zhì)上是一個發(fā)現(xiàn)最佳逼近直線的像素序列，并填入色彩數(shù)據(jù)的過程。這過程也稱為直線光柵化。連續(xù)性粗細、亮度要均勻像素逼近待畫直線速度2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法

(DigitalDifferentialAnalyser)

假設直線的起點坐標為P1(x1,y1)，終點坐標為P2(x2,y2)x方向的增量為△x＝x2－x1

；y方向上增量為△y＝y(tǒng)2－y1

直線的斜率為k＝△y／△x

當△x＞△y時，讓x從x1

到x2變化，每步遞增1，那么，x的變化可以表示為xi+1＝xi＋1y的變化可以表示為yi+1＝y(tǒng)i＋k

用上式可求得圖中直線P1P2和y

向網(wǎng)格線的交點，但顯示時要用舍入找到最靠近交點處的象素點來表示。當△x<△y時，讓y遞增1，x作相應變化。

綜合考慮，按照從(x1,y1)到(x2,y2)方向不同，分8個象限(圖2.1)。對于方向在第1a象限內(nèi)的直線而言，取增量值Dx=1，Dy=m。對于方向在第1b象限內(nèi)的直線而言，取增量值Dy=1，Dx=1/m。2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）圖2.1直線方向的8個象限

象

限dx>dy?

Dx

Dy1atrue1

m1bfalse1/m12atrue-1m2bfalse-1/m13atrue-1-m3bfalse-1/m-14atrue1-m4bfalse1/m-1表2.18個象限中的坐標增量值

研究表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個規(guī)律。⒈

當dx>dy時

Dx=1，Dy=m否則

Dx=1/m，Dy=1⒉Dx、Dy的符號與dx、dy的符號相同。

2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）

算法描述如下：dda_line(intxa,intya,intxb,intyb,intc){floatdelta_x,delta_y,x,y;intdx,dy,steps,k;dx=xbxa;dy=ybya;if(abs(dx)>abs(dy)) steps=abs(dx);elsesteps=abs(dy);delta_x=(float)dx/(float)steps;delta_y=(float)dy/(float)steps;2.1直線的生成算法2.1.1直線DDA算法（續(xù)）x=xa;y=ya;set_pixel(x,y,c);for(k=1;k<=steps;k++){x+=delta_x;y+=delta_y;set_pixel((int)(x+0.5),y+0.5,c);}}

使用DDA算法，每生成一條直線做兩次除法，畫線中每一點做兩次加法。因此，用DDA法生成直線的速度是相當快的。2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法直線方程：F(x,y)=ax+by+c=0P1:(xp+1,yp)P2:(xp+1,yp+1)M:(xp+1,yp+0.5)若M在直線F之上方，則F(x,y)>0若M在直線F之下方，則F(x,y)<0P=(Xp,Yp)P1P2MQ2.1直線的生成算法2.1直線的生成算法令:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+cd<0，則M在直線下方(即在Q下方)，故取P2作為下一個像素點；而若d>0，則取正右方P1；若d=0，二者一樣合適，可任取一個，這里約定取P1。為了提高d的運算效率，可采用增量方式計算2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法在d≥0時，取正右方像素點P1，則下一個中點M坐標：M1(xp+2,yp+0.5)，則下一個像素點的判別式d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=d+a故d的增量為a。而若d<0，則取右上方像素點P2,則下一個中點M坐標：M2(xp+2,yp+1.5)，則下一個像素點的判別式2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b故在后一種的情況下d的增量為a+b。d的初值，顯然第一個像素應取左端點(x0,y0),相應的判別式為：d0=F(x0+1,y0+0.5)=a(x0+1)+b(y0+0.5)+c=ax0+by0+c+a+0.5b=F(x0,y0)+a+0.5b2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法因(x0,y0)在直線上，則F(x0,y0)=0即d0=a+0.5b,由于只用到d的符號，為了減少浮點運算，可用2d代替d，則初值為:2d0=2a+b。中點畫線算法的C語言實現(xiàn)voidMidpoint_line(intx0,inty0,intx1,inty1){ inta,b,delta1,delta2,d,x,y; a=y0-y1,b=x0-x1; d=a+a+b;2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法 delta1=a+a; delta2=(a+b)+(a+b); x=x0,y=y0; SetPixel(x,y); while(x<x1) { if(d<0) { x++;y++;d+=delta2; }

else { x++;d+=delta1; } SetPixel(x,y); }}2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法上述算法中，只有整數(shù)的加減法運算，沒有乘除，所以適合硬件實現(xiàn)2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法2.1.1直線的掃描轉(zhuǎn)換——中點畫線算法2.1直線的生成算法2.1直線的生成算法2.1.3直線Bresenham算法

設直線從起點(x1,y1)到終點(x2,y2)。直線可表示為方程y=mx+b，其中

b=y1-m*x1,m=（y2-y1)/(x2-x1)=dy/dx;

此處的討論先將直線方向限于1a象限(圖2.2)，在這種情況下，當直線光柵化時，x每次都增加1個單元，即xi+1=xi

+1而y的相應增加值應當小于1。為了光柵化，yi+1只可能選擇圖2.2中兩種位置之一。圖2.2縱坐標的位置選擇

2.1直線的生成算法2.1.3直線Bresenham算法(續(xù)）

yi+1的位置選擇yi+1=yi或者yi+1=yi+1，選擇的原則是看精確值y與yi及yi+1的距離d1及d2的大小而定。計算公式為

y=m(xi

+1)+b(2.1)

d1=y

yi(2.2)

d2=yi+1

y

(2.3)如果d1d2>0，則yi+1=yi+1，否則yi+1=yi。將式(2.1)、(2.2)、(2.3)代入d1d2，再用dx乘等式兩邊，并以Pi=(d1d2)dx代入上述等式，得

Pi=2xidy2yidx+2dy+(2b1)dx(2.4)d1d2是用以判斷符號的誤差。由于在1a象限，dx總大于0，所以Pi仍舊可以用作判斷符號的誤差。Pi+1為

Pi+1=Pi+2dy2(yi+1yi)dx

(2.5)2.1直線的生成算法2.1.3直線Bresenham算法(續(xù)）

求誤差的初值P1，可將x1、y1和b代入式(2.4)中的xi、yi而得到

P1=2dydx

綜述上面的推導，第1a象限內(nèi)的直線Bresenham算法思想如下：⒈

畫點(x1,y1)，dx=x2x1，dy=y2y1，計算誤差初值P1=2dy

dx，i=1；⒉

求直線的下一點位置xi+1=xi+1

如果Pi>0，則yi+1=yi+1，否則yi+1=yi；⒊

畫點(xi+1,yi+1)；⒋

求下一個誤差Pi+1，如果Pi>0，則Pi+1=Pi+2dy2dx，否則

Pi+1=Pi+2dy；⒌

i=i+1；如果i<dx+1則轉(zhuǎn)步驟2；否則結(jié)束操作。VoidLineBre(PDC*pDC,intx0,inty0,intxend,intyend){ intdx=xend-x0; intdy=yend-y0; intp=2*dy-dx; intx,y;x=x0; y=y0; pDC->SetPixel(x,y,c); while(x<xend) { x++; if(p<0) { p=p+2*dy; } else { p=p+2*dy-2*dx; y++; } pDC->SetPixel(x,y,c); }}根據(jù)Bresenham畫線算法，直線端點為(20,10)和（30,18)，請?zhí)顚懴铝斜砀駭?shù)據(jù)。解：根據(jù)Bresenham畫線算法，直線端點為(20,10)和（30,18)Dx＝10，Dy＝8，

k=Dy/Dx=0.8，2Dy＝16，2Dy－2Dx＝－4P0

＝2Dy－Dx＝6畫初始點(20,10),并根據(jù)判別式確定沿線段路徑的后續(xù)像素位置如下表：2.1直線的生成算法2.1.3直線Bresenham算法(續(xù)）

Bresenham算法的優(yōu)點如下：⒈

不必計算直線的斜率，因此不做除法。⒉

不用浮點數(shù)，只用整數(shù)。⒊

只做整數(shù)加減運算和乘2運算，而乘2運算可以用移位操作實現(xiàn)。Bresenham算法的運算速度很快，并適于用硬件實現(xiàn)。討論：以上討論的是0＜△y＜△x的情況，對于適用所有8個方向的直線(圖2.1)的生成算法，則要考慮以判斷條件|dx|>|dy|為分支，并分別將2a、3a象限的直線和3b、4b象限的直線變換到1a、4a和2b、1b象限方向去，以實現(xiàn)程序處理的簡潔。作業(yè)，編寫程序，比較DDA畫線算法與Bresenhan畫線速度2.2圓的生成算法2.2.1基礎知識

給出圓心坐標(xc,yc)和半徑r，逐點畫出一個圓周的公式有下列兩種：⒈

直角坐標法

(xxc)2+(yyc)2=r2由上式導出：

當xxc從r到r作加1遞增時，就可以求出對應的圓周點的y坐標。但這并非是生成圓的最好方法。這個方法的一個問題是每一步包含很大的計算量。而且，如圖所示，所畫像素位置間的間距是不一致的。我們可以在圓斜率的絕對值大于1后，交換x和y(即步進y值并計算x值)來調(diào)整間距。但是，這種方法增加了算法所需的計算量和處理過程。2.2圓的生成算法2.2圓的生成算法2.2.1基礎知識(續(xù)）

⒉

極坐標法x=xc+r·cosθ，y=yc+r

·sinθ使用上述方法以固定角度為步長生成顯示結(jié)果時，就可以利用沿圓周的等距點來繪制出圓。為了減少計算量，我們可以在相鄰點間使用較大的角度間隔并用線段連接相鄰點來逼近圓的路徑。在光柵顯示中設定角度間隔為1/r可獲得較連續(xù)的邊界。這樣繪出的像素位置大約間隔一個單位。盡管極坐標系統(tǒng)提供了等距點，但三角函數(shù)計算是十分耗時的。

2.2圓的生成算法利用圓周坐標的對稱性，此算法還可以簡化。將圓周分為8個象限，只要將第1a象限中的圓周光柵點求出，其余7部分圓周就可以通過對稱法則計算出來。

中點畫圓法

由于圓的對稱性，下面主要考慮中心在原點半徑為r的圓的第二8分圓。若從圓的正上方開始討論如何確定最佳逼近于該圓弧的像素序列。P=(x,y)P1P2M

假定當前已確定了圓弧上的一個像素點為P(xp,yp)，那么，下一個像素只能是正右方的P1(xp+1,yp)或右下方的P2(xp+1,yp–1)兩者之一。如圖所示

那么，當F(M)>0時，M在圓外，這說明P2距離圓弧更近，應取P2作為下一像素。而當F(M)<0時，P1離圓弧更近，應取P1。當F(M)=0時，在P1與P2之中隨便取一個即可，約定取P2。

對于圓上的點，F(xiàn)(x,y)=0；對于圓外的點，F(xiàn)(x,y)>0；而對于圓內(nèi)的點，F(xiàn)(x,y)<0。與中點畫線法類似，設M是P1和P2的中點，即M=(xp+1，yp–0.5)。

構(gòu)造函數(shù)：

F(x,y)=x2＋y2–r2(3–5)P=(x,y)P1P2M

若d＜0，則應取P1為下一像素，而且再下一個像素的判別式為

d=F(xp

+2，yp–0.5)=(xp+2)2+(yp

–0.5)2–R2

=d+2xp+3所以，沿正右方向，d的增量為2xp+3。

與中點畫線法一樣，構(gòu)造判別式

d=F(M)=F(xp+1，yp–0.5)=(xp+1)2+(yp–0.5)2–R2

而若d≥0，則P2是下一像素，而且下一像素的判別式為

d'=F(xp+2,yp–1.5)=(xp+2)2

+(yp

–1.5)2–R2=d+(2xp

+3)+(–2yp

+2)所以,沿右下方向,判別式d的增量為2(xp–yp)+5。

初始時，

x0=0，

y0=R，

d0=F(x0+1,y0-0.5)=(0+1)2+(R-0.5)2-R2=1.25-R。

但這個算法中仍然有浮點數(shù)運算。令f=d-0.25，那么初始時，x0=0，y0=R，f0=d0-0.25=1-R。假設已知當前列像素位置(xi,yi)和判別式fi，則有：中點畫圓算法

1）.如果fi<-0.25，那么下一列像素位置

xi+1=xi+1，

yi+1=yi，

fi+1=fi+2xi+3；

2）.

如果fi≥-0.25，那么下一列像素位置

xi+1=xi+1，

yi+1=yi-1，

fi+1=fi+2xi-2yi+5。

f的初始值1-R為整數(shù)，每次迭代f的變化量也是整數(shù)，即f保持為整數(shù)，因此f<-0.25等價于f<0。

以下是中點畫圓算法的C語言描述：voidMidpointCircle(intxc,intyc,intr,intcolor){intx=0,y=r,d=1–r；

WholeCircle（xc，yc，x，y，color）；

while（x<=y）

{if（d＜0）

{d+=2*x+3；x++；}else{d+=2*（x–y）+5；x++;y––；}WholeCircle（xc，yc，x，y，color）；

}}voidWholeCircle(intxc,intyc,intx,inty,intcolor){CDC*pDC=GetDC（）；

pDC->Setpixel(xc+x，yc+y，color)；

pDC->Setpixel(xc–x，yc+y，color)；

pDC->Setpixel(xc+x，yc–y，color)；

pDC->Setpixel(xc–x，yc–y，color)；

pDC->Setpixel(xc+y，yc+x，color)；

pDC->Setpixel(xc–y，yc+x，color)；

pDC->Setpixel(xc+y，yc–x，color)；

pDC->Setpixel(xc–y，yc–x，color)；ReleaseDC(pDC);}3.2.3Bresenham畫圓算法

考慮圓心在原點，半徑為r的第一個8分圓。取(0,r)為起點，按順時針方向生成圓。如圖3.6所示。從這段圓弧的任意一點出發(fā)，按順時針方向生成圓時。在這種情況下，x每步增加1，即：yxyiyi-1xixi+1yxi+1=xi+1則相應的y有二種選擇：

yi+1=yi

或yi+1=yi-1Bresenham畫圓算法采用一個決策值來確定到底是選擇yi還是yi-1。在x=xi+1位置上，用d1和d2來標識兩個候選像素的y值與圓弧上理想y值的差值，則：y2=r2-(xi+1)2d1=yi2-y2=yi2-r2+(xi+1)2d2=y2-(yi-1)2=r2-(xi+1)2-(yi-1)2

令di=d1-d2，并代入d1、d2，則有：（方差最?。?/p>

di=2(xi+1)2+yi2+(yi-1)2-2r2這里di就是Bresenham畫圓算法的第i步?jīng)Q策值。如果di<0，則yi+1=yi，否則yi+1=yi-1。若di=0，則可任選一個，我們約定yi+1=yi-1。

下面來推導di的遞推公式。在i+1步，di+1為：

di+1=2(xi+1+1)2+yi+12+(yi+1-1)2-2r2

若di<0，取右方像素，yi+1=yi，則：

di+1=2(xi+1+1)2+yi2+(yi-1)2-2r2=di+4xi+6而決策值的初值d0由x=0,y=r代入前面公式，得：

d0=2(0+1)2+r2+(r-1)2-2r2=3-2r已知xi+1=xi+1，因而得到：

di+1=2(xi+1+1)2+yi+12+(yi+1-1)2-2r2

若di>=0，取右下方像素，yi+1=yi-1，則：di+1=2(xi+1+1)2+(yi-1)2+(yi-1-1)2-2r2=di+4(xi-yi)+10

由此，可寫出Bresenham畫圓算法的C程序：

2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）

根據(jù)上面的推導，圓周生成算法思想如下：⒈求誤差初值，p1=32r，i=1，畫點(0,r)；⒉求下一個光柵位置，其中xi+1=xi+1，如果pi<0則yi+1=yi，否則yi+1=yi1；⒊畫點(xi+1,yi+1)；⒋計算下一個誤差，如果pi<0則pi+1=pi+4xi+6，否則pi+1=pi+4(xiyi)+10；⒌i=i+1，如果x=y則結(jié)束，否則返回步驟2。2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）

圓的Bresenham算法的程序?qū)崿F(xiàn)如下：

circle(CDC*pDC,intxc,intyc,intradius,intc)

{

intx,y,p;

x=0;

y=radius;

p=32*radius；

while(x<y) {

plot_circle_points(pDc,xc,yc,x,y,c);

if(p<0)p=p+4*x+6;

else {

p=p+4*(xy)+10;

y=1;

}

x+=1;

}

if(x==y)

plot_circle_points(pDC,xc,yc,x,y,c);

}

2.2圓的生成算法2.2.2圓的Bresenham算法(續(xù)）plot_circle_points(intxc,intyc,intx,inty,intc){pDC->SetPixel(xc+x,yc+y,c);pDC->SetPixel(xcx,yc+y,c);pDC->SetPixel(xc+x,ycy,c);pDC->SetPixel(xcx,ycy,c);pDC->SetPixel(xc+y,yc+x,c);pDC->SetPixelxcy,yc+x,c);pDC->SetPixel(xc+y,ycx,c);pDC->SetPixel(xcy,ycx,c);}2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識

區(qū)域填充即給出一個區(qū)域的邊界，要求對邊界范圍內(nèi)的所有像素單元賦予指定的顏色代碼。區(qū)域填充中最常用的是多邊形填色。

多邊形的表示方法頂點表示點陣表示圖2.5掃描線與多邊形相交

圖2.6光柵化后直線變成離散點

多邊形填色一個首要的問題，是判斷一個像素是在多邊形內(nèi)還是多邊形外。數(shù)學上提供的方法是“掃描交點的奇偶數(shù)判斷法”。

2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識(續(xù)）

2.3區(qū)域填充算法2.3.1基礎知識(續(xù)）

填色算法分為兩大類：⒈

掃描線填色(Scan-LineFilling)算法。這類算法建立在多邊形邊界的矢量形式數(shù)據(jù)之上，可用于程序填色，也可用于交互填色。⒉

種子填色(SeedFilling)算法。這類算法建立在多邊形邊界的圖像形式數(shù)據(jù)之上，并還需提供多邊形邊界內(nèi)一點的坐標。所以，它一般只能用于人機交互填色（給出種子點），而難以用于全自動程序填色。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法

算法的基本思想。多邊形以n、x_array、y_array的形式給出，其中，x_array、y_array中存放著多邊形的n個頂點的x，y坐標。用水平掃描線從上到下掃描由點線段構(gòu)成的多段定義成的多邊形。每根掃描線與多邊形各邊產(chǎn)生一系列交點。這些交點按照x坐標進行分類，將分類后的交點成對取出，作為兩個端點，以所需要填的色彩畫水平直線。多邊形被掃描完畢后，填色也就完成。例：對右圖的多邊形進行填充思路：算出交點；劃分區(qū)間；分配顏色步驟：對每條掃描線分為4步(以掃描線6為例)991234568710001876453211求交點，即計算該掃描線與多邊形各邊的交點排序，由于交點不一定由左到右求出，因此將求出的交點按x坐標值排序交點配對，1與2，3與4，…

…，每對表示一個區(qū)間區(qū)間填充991234568710001876453211ABCDP1P2P3P4P5P6掃描線2的交點按X排序：2，2，8掃描線7的交點按X排序：2，2，9，11問題：1.掃描線與頂點相交時，交點的取舍2.邊界像素的取舍991234568710001876453211ABCDP1P2P3P4P5P6991234568710001876453211ABCDP1P2P3P4P5P60次0次2次1次具體方法1：檢查共享該頂點的兩條邊另外兩個頂點的Y值，按這兩個Y值中大于共享該頂點Y值的個數(shù)是0、1、2來決定是取0、1、2個交點。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

上述基本思想中，有幾個問題需要解決或改進：⒈

左、右頂點處理。當以1、2、3的次序畫多邊形外框時，多邊形的左頂點和右頂點如圖2.7中所示的頂點2。它們具有以下性質(zhì)。左頂點2：y1<y2<y3右頂點2：y1>y2>y3

其中y1、y2、y3是3個相鄰的頂點的y坐標。圖2.7多邊形的頂點

當掃描線與多邊形的每個頂點相交時，會同時產(chǎn)生2個交點。這時，填色就會因掃描交點的奇偶計數(shù)出錯而出現(xiàn)錯誤。因此，對所有左、右頂點作如下處理：2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

左、右頂點的入邊(以該頂點為終點的那條邊，即1–2邊)之終點刪去。對于左頂點，入邊端點(x1,y1)、(x2,y2)修改為(x1,y1)、(

,y21)；對于右頂點，入邊端點(x1,y1)、(x2,y2)修改為(x1,y1)、(

,y2+1)；其中，，即入邊的斜率。對于多邊形的上頂點(y2>y1、y2>y3)或下頂點(y2<y1、y2<y3)，奇偶計數(shù)保持正確。

⒉

水平邊處理。水平邊(y1=y2)與水平掃描線重合無法求交點。因此，將水平邊畫出后刪去，不參加求交點及求交點以后的操作。

2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

⒊

掃描線與邊的求交點方法采用遞歸算法。以(x1,y1)、(x2,y2)為端點的邊與第i+1條掃描線的交點為此式表示交點不為(x1,y1)。否則，交點為(x1,y1)。⒋

減少求交計算量，采用活性邊表。對于一根掃描線而言，與之相交的邊只占多邊形全部邊的一部分,每根掃描線與多邊形所有邊求交的操作是一種浪費，需要加以改進。

活性邊表(ActiveListofSide)的采用將多邊形的邊分成兩個子集：與當前掃描線相交的邊的集合，以及與當前掃描線不相交的邊的集合。對后者不必進行求交運算，這樣就提高了算法的效率。2.3區(qū)域填充算法2.3.2掃描線填色算法(續(xù)）

圖2.8活性邊表及其指針的表示

掃描線填充算法是一種非常有效的算法，它對于每個象素只訪問一次，其缺點是對于各種表的維持和排序的耗費大?；钚赃叡淼臉?gòu)成方法是：1）將經(jīng)過左、右頂點處理及剔除水平邊后的多邊形之各邊按照maxy值排序，存入一個線性表中。表中每一個元素代表一根邊。第一個元素是maxy值最大的邊，最后一個元素是maxy值最小的邊。圖2.3.4(a)中的多邊形所形成的線性表如（b）所示。其中F點和B點的y值相等，且為全部多邊形的maxy的最大值。因此FG,FE,AB,BC等四邊排在表之首。而C點的y值>E點的y值，所以CH排在DE前面，余類推。在maxy值相等的邊之間，按任意次序排列。 2)在上述線性表上加入兩個指針first和last，即形成活性邊表。這兩個指針之間是與當前掃描線相交的邊的集合和已經(jīng)處理完（即掃描完）的邊的集合。這兩者的區(qū)分方法是在處理完的邊上加上記號：△

y=0。在last指針以后的是尚未與當前掃描線相交的，在first指針以前的是已經(jīng)處理完了的邊。對于圖2.3.4(a)中掃描線scan1的情況下，圖2.3.4(b)中列出first,last的位置。如果掃描線由上而下移到了scan2的位置，則活性邊表的first應指向AB，last應指向CH。每根掃描線只須與位于first,last之間的，而且△

y不為0的邊求交即可。這就縮小了求交的范圍。3）活性邊表中每個元素的內(nèi)容包括：邊的maxy值，記為y_top；與當前掃描線相交點的x坐標值，記為x_int；邊的y方向當前總長。初始值為y2-y1。記為△

y；邊的斜率倒數(shù)：x2-x1/y2-y1

，記為x_change_per_scan。typedefstruct{inty_top;//邊的最大Y值

floatx_int;//與掃描線相交點的X坐標

intdelta_y;//直線在Y方向上的總長

floatx_change_per_scan;//直線斜率倒數(shù)}EACH_ENTRY;4）活性邊在每根掃描線掃描之后刷新。刷新的內(nèi)容有2項：調(diào)整first和last指針字間的參加求交的邊元素之值：△

y=△y-1;x_int=x_int-x_change_per_scan;調(diào)整first和last指針，以便讓新邊進入激活范圍，處理完的邊退出激活范圍：當first所指邊的△

y=0時，first=first+1；當last所指的下一條邊的y_top?下一掃描線的y值時，last=last+1。二、掃描線填色程序 程序2.3.1示出掃描線填色算法的程序。主程序名為fill_area(count,x,y)，其中參數(shù)x,y是兩個一維數(shù)組，存放多邊形頂點（共count個）的x和y坐標。它調(diào)用8個子程序，彼此的調(diào)用關系如圖2.3.5所示。各子程序的功能為：1、sort_on_bigger_y子程序的主要功能是按照輸入的多邊形，建立起活性邊表。操作步驟是：對每條邊加以判斷：如非水平邊則調(diào)用put_in_side_list子程序放入活性邊來；如是水平邊則直接畫出。2、put_in_sides_list子程序的主要功能是將一條邊存入活性邊表之內(nèi)。操作步驟是：對該邊判別是否左頂點或右頂點，如果將入邊之終點刪去，按照y_top的大小在活性邊表中找到該點的合適位置，在該邊的位置中填入數(shù)據(jù)。3、update_first_and_last子程序的主要功能是刷新活性邊表的first和last兩根指針的所指位置，以保證指針指出激活邊的范圍。4、process_x_intersections子程序的主要功能是對活性邊表中的激活邊（即位于first和last之間的，并且?y?0的邊）按照x_int的大小排序。操作步驟是：從first到last，對每一根?y?0的邊，調(diào)用sort_on_x子程序排入活性邊表中合適位置。5、sort_on_x子程序主要功能是將一條邊side[entry]，在活性邊表的first到entry之間按x_int的大小插入合適位置。操作步驟是：檢查位于entry的邊的x_int是否小于位置entry-1的邊的x_int，如是，調(diào)用swap子程序交換兩條邊的彼此位置。6、swap子程序的主要功能是交換活性邊表中兩條相鄰位置邊的彼此位置。7、draw_lines子程序的主要功能是在一條掃描線位于多邊形內(nèi)的部分，填上指定的色彩。操作步驟是：在活性邊表的激活邊范圍內(nèi)，依次取出Δy10兩邊的x_int，作為兩個端點（x1,scan），(x2,scan)，畫一條水平線。8、update_sides_list子程序的主要功能是刷新活性邊表內(nèi)激活邊的值：Δy=Dy-1

x_int=x_int_x_chang_per_scan；2.3區(qū)域填充——邊填充算法

1.簡單的邊填充算法每邊與掃描線交點右方的所有像素取“補”,多邊形邊的順序可任意取P1P2P3P4P5P2P3P3P4P4P5P5P12.3區(qū)域填充——邊填充算法

1.簡單的邊填充算法特點：方法簡單每一個像素被訪問多次，輸入/輸出工作量大2.3區(qū)域填充——邊填充算法

2.柵欄填充算法柵欄：與掃描線垂直的直線，通常過多邊形頂點，且將多邊形分成兩半方法：對每個掃描線與多邊形的交點，將交點與柵欄間的像素取“補”特點：方法簡單減少了被重復訪問的像素，特別是有多個填充對象時，效果顯著2.3區(qū)域填充——邊填充算法

2.柵欄填充算法P4P5P5P1P1P2P3P4P5P2P3P3P42.3區(qū)域填充——邊填充算法

3.邊標志算法基本思想：幀緩沖器中對多邊形的每條邊進行直線掃描轉(zhuǎn)換，亦即對多邊形邊界所經(jīng)過的象素打上標志。然后再采用和掃描線算法類似的方法將位于多邊形內(nèi)的各個區(qū)段著上所需顏色。使用一個布爾量inside來指示當前點是否在多邊形內(nèi)的狀態(tài)。2.3區(qū)域填充——邊填充算法

3.邊標志算法9912345687100018764532119912345687100018764532112.3區(qū)域填充——邊填充算法

3.邊標志算法(算法過程)voidedgemark_fill(polydef,color)多邊形定義polydef；intcolor;{對多邊形polydef每條邊進行直線掃描轉(zhuǎn)換；

inside=FALSE;for(每條與多邊形polydef相交的掃描線y)for(掃描線上每個象素x){if(象素x被打上邊標志)inside=!(inside);if(inside！=FALSE)drawpixel(x,y,color);elsedrawpixel(x,y,background); }}2.3區(qū)域填充——邊填充算法

3.邊標志算法(算法過程)用軟件實現(xiàn)時，掃描線算法與邊界標志算法的執(zhí)行速度幾乎相同，但由于邊界標志算法不必建立維護邊表以及對它進行排序，所以邊界標志算法更適合硬件實現(xiàn)，這時它的執(zhí)行速度比有序邊表算法快一至兩個數(shù)量級。2.4區(qū)域填充——種子填充算法基本原理：假設在多邊形區(qū)域內(nèi)部有一象素已知，由此出發(fā)找到區(qū)域內(nèi)的所有象素四連通區(qū)域和八連通區(qū)域四連通方向八連通方向種子可以從四個方向?qū)ふ蚁乱幌袼?，稱為四向算法；允許從八個方向?qū)ふ蚁乱幌袼?，稱為八向算法。八向算法可以填充八連通區(qū)域和四連通區(qū)域，而四向算法只能填充四連通區(qū)域2.4區(qū)域填充——種子填充算法四連通區(qū)域和八連通區(qū)域991234568710001876453211四連通區(qū)域八連通區(qū)域9912345687100018764532112.4區(qū)域填充——種子填充算法

1.簡單的種子填充算法1.初始化：種子像素入棧，當棧非空時，重復2～

4的步驟2.棧頂像素出棧3.將出棧像素置為多邊形顏色4.按左、上、右、下順序依次檢查與出棧像素相鄰的四個像素，若其中某個像素不在邊界上且未置成多邊形色，則該像素入棧5.當堆棧為空時，算法終止2.4區(qū)域填充——種子填充算法

1.簡單的種子填充算法01234543210S1(2,3)(2,2)(3,3)(2,4)(1,3)(2,2)(3,3)(2,4)(1,2)(1,4)(2,2)(3,3)(2,4)(1,2)(2,4)(2,2)(3,3)(2,4)(1,2)(2,2)(3,3)(2,4)(2,2)(2,2)(3,3)(2,4)(2,1)(3,2)(2,2)(3,3)(2,4)(2,1)(3,3)(2,2)(3,3)(2,4)(2,1)2.4區(qū)域填充——種子填充算法

1.簡單的種子填充算法voidBoundaryFill4(intx,inty,intboundarycolor,intfillcolor){intcurrentcolor; currentcolor=getpoxel(x,y); if(currentcolor!=fillcolor&¤tcolor!=boundarycolor) { setcolor(fillcolor);setpixel(x,y); BoundaryFill4(x,y+1,boundarycolor,newcolor); BoundaryFill4(x,y-1,boundarycolor,newcolor); BoundaryFill4(x-1,y,boundarycolor,newcolor); BoundaryFill4(x+1,y,boundarycolor,newcolor);}}2.4區(qū)域填充——種子填充算法

1.簡單的種子填充算法特點：算法簡單，可以用于填充帶有內(nèi)孔的區(qū)域像素可能重復入棧，降低了算法效率存儲空間開銷較大2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法基本思想：首先填充種子點所在掃描線上的位于給定區(qū)域的一個區(qū)段然后確定與這一區(qū)段相連通的上、下兩條掃描線上位于給定區(qū)域內(nèi)的區(qū)段，并依次保存下來。反復這個過程，直到填充結(jié)束。2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法算法步驟：(1)初始化：堆棧置空。將種子點（x，y）入棧。(2)出棧：若?？談t結(jié)束。否則取棧頂元素（x，y），以y作為當前掃描線。(3)填充并確定種子點所在區(qū)段：從種子點（x，y）出發(fā)，沿當前掃描線向左、右兩個方向填充，直到邊界。分別標記區(qū)段的左、右端點坐標為xl和xr。2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(4)并確定新的種子點：在區(qū)間[xl，xr]中檢查與當前掃描線y上、下相鄰的兩條掃描線上的象素。若存在非邊界、未填充的象素，則把每一區(qū)間的最右象素作為種子點壓入堆棧。(5)重復(2)～(4)步。上述算法對于每一個待填充區(qū)段，只需壓棧一次；因此，掃描線填充算法提高了區(qū)域填充的效率。2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法sxLxR0123456789101112111098765432108,67,109,96,119,95,119,94,119,93,113,45,49,92,113,45,49,93,45,49,92,45,49,95,49,96,49,97,49,99,92.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(C語言程序)typedefstruct{//記錄種子點

intx; inty;}Seed;voidScanLineFill(intx,inty,intoldcolor,intnewcolor){intxl,xr,i;boolspanNeedFill;Seedpt;setstackempty();//清空堆棧pt.x=x;pt.y=y;stackpush(pt);//將前面生成的區(qū)段壓入堆棧

2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(C語言程序)while(!isstackempty()){ pt=stackpop(); y=pt.y; x=pt.x; while(getpixel(x,y)==oldcolor)//向右填充

{ drawpixel(x,y,newcolor); x++; } xr=x-1; x=pt.x-1; while(getpixel(x,y)==oldcolor)//向左填充

{ drawpixel(x,y,newcolor); x--; }2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(C語言程序)

xl=x+1; //處理上面一條掃描線

x=xl; y=y+1; while(x<xr) { spanNeedFill=FALSE; while(getpixel(x,y)==oldcolor) { spanNeedFill=TRUE; x++; } if(spanNeedFill) { pt.x=x-1;pt.y=y; stackpush(pt); spanNeedFill=FALSE; }2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(C語言程序)

while(getpixel(x,y)!=oldcolor&&x<xr) x++; }//Endofwhile(i<xr) //處理下面一條掃描線，代碼與處理上面一 //條掃描線類似

x=xl; y=y-2; while(x<xr) { spanNeedFill=FALSE; while(getpixel(x,y)==oldcolor) { spanNeedFill=TRUE; x++; }2.4區(qū)域填充——種子填充算法

2.掃描線種子填充算法(C語言程序)

x++; } if(spanNeedFill) { pt.x=x-1;pt.y=y; stackpush(pt); spanNeedFill=FALSE; } while(getpixel(x,y)!=oldcolor&&x<xr) x++; }//Endofwhile(i<xr)}//Endofwhile(!isstackempty())}2.4區(qū)域填充——圓域的填充算法基本思想：將多邊形區(qū)域的掃描線算法，推廣到圓域的填充。先計算每條掃描線與圓域的相交區(qū)間；和圓交點的計算可以改造中點畫圓法來進行。再把區(qū)間用指定顏色填充。對于同時對多個圓填充時，可以采用類似活性邊表的方式，即活性圓表法。2.4區(qū)域填充——區(qū)域的圖案填充圖案：一般是用一個M×N的位圖來表示2.4區(qū)域填充——區(qū)域的圖案填充圖案與區(qū)域的相對位置關系：(1)圖案與區(qū)域邊界或內(nèi)部對齊(2)圖案與區(qū)域外部對齊設對齊點為(x0,y0)，則圖案填充：if(pattern((x-x0)%M,(y-y0)%N) drawpixel(x,y,color);else drawpixel(x,y,background);2.4字符的生成2.4.1點陣式字符

點陣式字符將字符形狀表示為一個矩形點陣，由點陣中點的不同值表達字符的形狀。

使用點陣式字符時，需將字庫中的矩形點陣復制到緩沖器中指定的單元中去。在復制過程中，可以施加變換，以獲得簡單的變化。圖2.11(b)~(d)列出了以字母P為原型的一些變化例子。圖2.11點陣式字符及其變化

圖（b）變成粗體字。算法是：當字符原型中每個象素被寫入幀緩存寄存器的指定位置xi,yi時，同時被寫入xi+1,yi。圖（c）旋轉(zhuǎn)900

。算法是：把字符原型中每個象素的x,y坐標彼此交換，并使y值改變符號后，再寫入幀緩存寄存器的指定位置。圖（d）斜體字。算法是：從底到頂逐行拷貝字符，每隔n行，左移一單元。 此外，還可以對點陣式字符作比例縮放等其他一些簡單的變換。但是對點陣式字符作任意角度的旋轉(zhuǎn)等變換，是比較困難的操作。 由于光柵掃描顯示器的普遍使用，點陣式字符表示已經(jīng)成為一種字符表示的主要形式。從字庫中讀出原字型，經(jīng)過變換拷貝到buffer中去的操作，經(jīng)常制成專門的硬件來完成。這就大大加快了字符生成的速度。2.4字符的生成2.4.2矢量式字符

矢量式字符將字符表達為點坐標的序列，相鄰兩點表示一條矢量，字符的形狀便由矢量序列刻畫。圖2.12示出用矢量式表示的字符“B”?！癇”是由頂點序列{a,b,c,d,e,f,e,g,h,i,j,k,j,

a,l}的坐標表達。圖2.12矢量式表示字符“B”2.4字符的生成2.4.3方向編碼式字符

方向編碼式字符用有限的若干種方向編碼來表達一個字符。圖2.13示出8個方向的編碼為0~7。圖2.14(a)示出字母“B”的方向矢量構(gòu)成。這樣，“B”就表示為8方向編碼{0000123444000123444406666}。方向編碼式字符很容易被填入幀暫存寄存器中予以顯示(圖2.14(b))，方向編碼所占的空間比較小，它也能接受一些特定的變換操作。圖2.13字符的8方向編碼

圖2.14方向編碼式字符的實例2.4字符的生成2.4.4輪廓字形技術

直接使用點陣式字符方法將耗費巨大的存儲空間。壓縮方法有多種，最簡單的有黑白段壓縮法。另一種方法是部件壓縮法。三是輪廓字形法，這種方法壓縮比大，且能保證字符質(zhì)，是當今國際上最流行的一種方法。

輪廓字形法采用直線、或者二次Bezier曲線、三次Bezier曲線的集合來描述一個字符的輪廓線。輪廓線構(gòu)成一個或若干個封閉的平面區(qū)域。輪廓線定義和一些指示橫寬、豎寬、基點、基線等的控制信息，就構(gòu)成了字符的壓縮數(shù)據(jù)。采用適當?shù)膮^(qū)域填充算法，可以從字符的輪廓線定義產(chǎn)生的字符位圖點陣，區(qū)域填充算法可以用硬件實現(xiàn)，也可以用軟件實現(xiàn)。由美國Apple和Microsoft公司聯(lián)合開發(fā)的TrueType字型技術就是一種輪廓字型技術，已被用于為Windows中文版生成漢字字庫。當前占領主要的電子印刷市場的我國北大方正和華光電子印刷系統(tǒng)，用的字型技術是漢字字型輪廓矢量法。這種方法能夠準確地把字符的信息描述下來，保證了還原的字符質(zhì)量，又對字型數(shù)據(jù)進行了大量的壓縮。調(diào)用字符時，可以任意地放大、縮小或進行花樣變化，基本上能滿足電子印刷中字型質(zhì)量的要求。輪廓字型技術有著廣泛的應用。到目前為止在印刷行業(yè)中使用最多。2.5圖形求交

在計算機圖形學中常常會遇到求交計算。求交運算是比較復雜的，為了減少計算量，在進行真正的求交計算之前，往往先用凸包等輔助結(jié)構(gòu)進行粗略地比較，排除那些顯然不相交的情形。

求交問題可以分為兩類：

求交點求交線

2.5圖形求交2.5.1求交點算法

求交點可以分兩種情況，即求線與線的交點以及求線與面的交點。⒈

直線段與直線段的交點假設兩條直線的端點分別為P1、P2和Q1、Q2，則直線可以用向量形式表示為P(t)=A+Bt，

0≤t≤1Q(s)=C+Ds，

0≤s≤1其中，A=P1，B=P2P1，C=Q1，D=Q2Q1。構(gòu)造方程

A+Bt=C+Ds(2.9)

對三維空間中的直線段來說，上述方程組實際上是一個二元一次方程組，由3個方程式組成。可以從其中兩個解出s、t，再用第三個驗證解的有效性。當所得的解(ti,si)是有效解時，可用兩個方程之一計算交點坐標，例如P(ti)=A+Bti。

2.5圖形求交2.5.1求交點算法（續(xù)）

根據(jù)向量的基本性質(zhì)，可直接計算s與t。對方程(2.9)兩邊構(gòu)造點積得

(CD)·(A+Bt)=(CD)·(C+Ds)由于CD同時垂直于C和D，等式右邊為0。故有類似地有2.5圖形求交2.5.1求交點算法（續(xù)）

⒉

直線段與二次曲線的交點考慮平面上一條直線與同平面的一條二次曲線的交點。假設曲線方程為f(x,y)=0直線段方程為(x,y)=(x1+tdx,y1+tdy)則在交點處有

f(x1+tdx,y1+tdy)=0當曲線為二次曲線時，上述方程可寫為

at2+bt+c=0用二次方程求根公式即可解出t值。⒊

圓錐曲線與圓錐曲線的交點在進行一對圓錐曲線的求交時，把其中一條圓錐曲線用代數(shù)法或幾何法表示為隱函數(shù)形式，另一條表示為參數(shù)形式(如二次NURBS曲線)。將參數(shù)形式代入隱函數(shù)形式可得到關于參數(shù)的四次方程。2.5圖形求交2.5.1求交點算法（續(xù)）

下面討論線與面的交點的求法。⒈

直線段與平面的交點圖2.15線段與平面求交

如圖2.15所示。把平面上的點表示為P(u,w)=A+uB+wC，直線段上的點表示為Q(t)=D+tE，二者的交點記為R。假設線段不平行于平面，則它們交于

R=P(u,w)=Q(t)，即A+uB+wC=D+tE2.5圖形求交2.5.1求交點算法（續(xù)）

等式兩邊點乘(BC)，得

(BC)·(A+uB+wC)=(BC)·(D+tE)由于BC既垂直于B，又垂直于C，故有

(BC)·

A=(BC)·(D+tE)可解出類似求得如果是直線與平面區(qū)域求交點，則要進一步判斷交點是否在平面的有效區(qū)域中，其算法可參見2.5.3節(jié)。2.5圖形求交2.5.1求交點算法（續(xù)）

⒉

圓錐曲線與平面的交點圓錐曲線與平面求交點時，可以把圓錐曲線表示為參數(shù)形式，并把圓錐曲線的參數(shù)形式代入平面方程，即可得到參數(shù)的二次方程，從而進行求解。⒊

圓錐曲線與二次曲面的交點圓錐曲線與二次曲面求交點時，可把圓錐曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，得到參數(shù)的四次方程，用四次方程求根公式求解。2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

⒈

平面與平面的交線先考慮最簡單的情形。兩個平面區(qū)域分別由P(u,w)，Q(s,t)，u，w，s，t[0,1]定義。如果它們不共面而且不分離，則必交于一直線段。這條直線必落在P(u,w)Q(s,t)=0所定義的無限直線上。這是個含有4個未知數(shù)，3個方程式的方程組，只要分別與8條邊界線方程：u=0，u=1，w=0，w=1，s=0，s=1，t=0，t=1聯(lián)立，即可求出線段的兩個端點的參數(shù)。

2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

⒉

平面與二次曲面的交線

代數(shù)法:

把二次曲面表示為代數(shù)形式

Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+2Gx+2Hy+2Iz+J=0

通過平移與旋轉(zhuǎn)坐標變換把平面變?yōu)閤Oy平面，對二次曲面進行同樣的坐標變換。由于在新坐標系下平面的方程為z=0，所以新坐標系下二次曲面方程中，把含z項都去掉即為平面與二次曲面的交線方程。對該交線方程進行一次逆坐標變換即可獲得在原坐標系下的交線方程。

幾何法:幾何法存儲曲線的類型(橢圓、拋物線或雙曲線)，以及定義參數(shù)(中心點、對稱軸、半徑等)的數(shù)值信息，使用局部坐標系到用戶坐標系的變換，把局部坐標系下的定義參數(shù)變換到用戶坐標系直接使用。

當平面與二次曲面的交線需要精確表示時，往往采用幾何法求交。2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

下面以平面—球求交為例，說明幾何法求交算法。平面用一個記錄p表示，p的兩個子域p.b、p.w分別代表平面上一點、平面法向量。球面用記錄s表示，它的兩個子域s.c、s.r分別代表球面中心和半徑。則可寫出平面與球面相交的算法如下：plane_sphere_intersect(p,s)planep;spheres;{d=球面中心到平面的有向距離；if(abs(d)==s.r){2個面相交于一(切)點s.cd*p.w;}elseif(abs(d)>s.r){兩個面無交；}2.5圖形求交2.5.2

求交線算法

（續(xù)）

else{所求交線是圓。其圓心、半徑、圓所在平面法向量為c=s.cd*p.w;r=sqrt(s.r2d2);w=p.w;}}

2.5圖形求交2.5.2

求交線算法（續(xù)）

⒊

平面與參數(shù)曲面的交線求平面與參數(shù)曲面的交線，最簡單的方法是把表示參數(shù)曲面的變量(x(s,t),y(s,t),z(s,t))代入平面方程

ax+by+cz+d=0得到用參數(shù)曲面的參數(shù)s、t表示的交線方程

ax(s,t)+by(s,t)+cz(s,t)+d=0

另一種方法是，用平移和旋轉(zhuǎn)對平面進行坐標變換，使平面成為新坐標系下的xOy平面。再將相同的變換應用于參數(shù)曲面方程，得到參數(shù)曲面在新坐標系下的方程

(x*,y*,z*)=(x*(s,t),y*(s,t),z*(s,t))由此得交線在新坐標系下的方程為z*(s,t)=0。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法

在進行圖形求交時，常常需要判定兩個圖形間是否有包含關系。如點是否包含在線段、平面區(qū)域或三維形體中，線段是否包含在平面區(qū)域或三維形體中，等等。許多包含判定問題可轉(zhuǎn)化為點的包含判定問題，如判斷線段是否在平面上的問題可以轉(zhuǎn)化為判斷線段兩端點是否在平面上。判斷點與線段的包含關系，也就是判斷點與線的最短距離是否位于容差范圍內(nèi)。造型中常用的線段有3種，即直線段、圓錐曲線段(主要是圓弧)和參數(shù)曲線(主要是Bezier曲線、B樣條與NURBS曲線)。點與面的包含判定也類似地分為3種情況。下面分別予以討論。2.5圖形求交2.5.3包含判定算法（續(xù)）⒈

點與直線段的包含判定假設點坐標為P(x,y,z)，直線段端點為P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)，則點P到線段P1P2