17.勾股定理中考考點(diǎn)歸納-教師版

17.勾股定理中考考點(diǎn)歸納---教師版

勾股定理是解決直角三角形中的平方關(guān)系的定理。它只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。此外，還有一些勾股定理的變式，如c2=a2+b2、a2=c2-b2、b2=c2-a2、c2=(a+b)2-2ab。面積證明勾股定理的方法有四種。第一種方法是將四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，證明a2+b2=c2。第二種方法也是將四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，但是證明的是a2=c2-b2。第三種方法是將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成兩個(gè)形狀相同的正方形，證明甲的面積等于乙和丙的面積和。第四種方法是將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形，證明a2+b2=c2。勾股定理的作用有四個(gè)方面。首先，可以用來求直角三角形的第三邊。其次，可以用來求直角三角形的一條邊與另外兩邊的關(guān)系。第三，可以用來證明平方關(guān)系的問題。最后，可以利用勾股定理作出長(zhǎng)為c的線段。勾股數(shù)是指滿足不定方程x2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，也叫做高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)。以x、y、z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形。常見的勾股數(shù)有①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41。如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t>0時(shí)，以at,bt,ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形。在考試中，勾股定理的直接用法是經(jīng)常出現(xiàn)的考查類型。解題時(shí)，需要注意寫解的過程中要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。若直角三角形兩直角邊的比為3：4，斜邊長(zhǎng)為20，求此直角三角形的面積。解法為先設(shè)此直角三角形兩直角邊分別為3x、4x，根據(jù)題意得：（3x）^2+（4x）^2=20^2，化簡(jiǎn)得x^2=16，因此直角三角形的面積為6x^2=96。在直角三角形邊的計(jì)算中，常常需要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程求解。等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。解法為如圖，在等邊△ABC中，作AD⊥BC于D，則BD=BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）。由于AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等），因此BD=1。在直角三角形ABD中，AB^2=AD^2+BD^2，即AD^2=AB^2－BD^2=4－1=3，因此AD=√3，所以△ABC的面積為S=BC·AD=2·√3。直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積。解法為設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為x、y，根據(jù)題意得：x+y=12-5=7，(x+y)^2=49，x^2+2xy+y^2=49，且xy=12。因此，直角三角形的面積是xy=12/2=6cm^2。若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為n+1，n+2，n+3，求n。解法為首先確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)為n+3，然后利用勾股定理列方程求解。由勾股定理可得：（n+1）^2+（n+2）^2=(n+3)^2，化簡(jiǎn)得：n^2=4，因此n=±2，但當(dāng)n=-2時(shí)，n+1=-1<0，因此n=2。注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=2BC，AD⊥BC于D，求BC的長(zhǎng)。解法為作AD，則∠ADB=90°，因此AB^2=AD^2+BD^2，又因?yàn)锳B=BC，所以BC^2=AD^2+(BC-BD)^2。由于AC=2BC，所以BD=DC=BC/2。代入上式得：BC^2=AD^2+(BC/2)^2，又因?yàn)锳D=CD，所以BC^2=2AD^2，即BC=AD√2。由于∠B=90°，所以根據(jù)勾股定理，AD^2+BD^2=AB^2=BC^2，代入BD=BC/2得：AD^2+(BC/2)^2=BC^2，化簡(jiǎn)得AD=BC/2。因此，BC=2AD√2。本文介紹了勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，包括用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離和用勾股定理求最短問題。在第一個(gè)問題中，通過構(gòu)造直角三角形和利用勾股定理求解，得出了兩點(diǎn)之間的距離和目的地方向。在第二個(gè)問題中，通過比較四種架設(shè)方案的線路長(zhǎng)，得出了最省電線的架設(shè)方案。這些問題都是實(shí)際問題，需要運(yùn)用勾股定理和相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。在生產(chǎn)工作中，通常會(huì)有多種工程設(shè)計(jì)方案，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，以選出最優(yōu)設(shè)計(jì)。本題利用勾股定理、等腰三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)，來解決問題。類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為$n$的線段思路點(diǎn)撥：根據(jù)勾股定理，直角邊為$1$的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$。直角邊為$1$和$n$的直角三角形斜邊長(zhǎng)分別為$\sqrt{n^2+1}$和$\sqrt{n^2+2n+1}$。因此，可以利用這些三角形來構(gòu)造長(zhǎng)度為$n$的線段。作法：如圖所示，首先作直角邊為$1$（單位長(zhǎng)）的等腰直角三角形$\triangleACB$，使$AB$為斜邊。然后以$AB$為一條直角邊，作另一直角邊為$1$的直角三角形$\triangleABD$。接著順次這樣做下去，最后做到直角三角形$\triangleAEF$，這樣斜邊$AF,BE,CD,\dots$的長(zhǎng)度就是$n$?？偨Y(jié)升華：以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的。取單位長(zhǎng)時(shí)可自定，一般習(xí)慣用國際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如$1\text{cm}$、$1\text{m}$等。我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長(zhǎng)度為單位即可。類型五：逆命題與勾股定理逆定理思路點(diǎn)撥：逆命題是指將原命題的主語和謂語互換位置得到的命題。原命題與逆命題的真假性是相同的。本題要求寫出原命題的逆命題并判斷其真假性。解析：1.逆命題：“有四只腳的是貓”（不正確）；2.逆命題：“對(duì)頂角相等的是相等的角”（不正確）；3.逆命題：“在線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等”（正確）；4.逆命題：“在角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等”（正確）?？偨Y(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。經(jīng)典題型精析類型一：勾股定理的逆定理的基本用法題目要求在給定的邊長(zhǎng)中選出能組成直角三角形的組合?？梢灾苯邮褂霉垂啥ɡ淼哪娑ɡ韥磉M(jìn)行判斷。對(duì)于數(shù)據(jù)較大的情況，可以使用$c^2=a^2+b^2$的變形$b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$來判斷。例如，對(duì)于選項(xiàng)D，$8^2\neq(40+39)\times(40-39)$，因此不能組成直角三角形。同理可以判斷其他選項(xiàng)。答案為A。題目給定四邊形$ABCD$，其中$\angleB=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$，要求求出四邊形$ABCD$的面積?？梢赃B接對(duì)角線$AC$，由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$。因?yàn)?AC$是矩形的對(duì)角線，所以矩形的面積為$AB\cdotBC=12$。根據(jù)勾股定理，AC^2+CD^2=AD^2，因?yàn)锳C^2+CD^2=169，AD^2=169，所以AC^2+CD^2=AD^2，再根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ACD=90°。因此，四邊形ABCD的面積可以表示為△ABC的面積加上△ACD的面積，即S=AB·BC+AC·CD=36。題目給出了公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m，小于100m則受影響，大于100m則不受影響，因此作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。首先作AB⊥MN，垂足為B。在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，∴AB＝AP＝80。因?yàn)辄c(diǎn)A到直線MN的距離小于100m，所以這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC＝100(m)。由勾股定理得：BC^2＝100^2-80^2＝3600，∴BC＝60。同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，∴CD＝120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為18km/h＝5m/s，因此學(xué)校受影響的時(shí)間為t＝120m÷5m/s＝24s。綜上所述，拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。勾股定理是求線段長(zhǎng)度的重要方法。如果圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理。在本題中，通過作垂線段AB，我們得到了直角三角形ABP，從而利用勾股定理求出了AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而判斷了學(xué)校是否受到噪聲影響。如圖中的虛線網(wǎng)格是正三角形網(wǎng)格，每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的單位正三角形。(1)單位正三角形的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$。(2)平行四邊形ABCD包含24個(gè)單位正三角形，其面積為12。(3)過點(diǎn)A作$AK\perpBC$于點(diǎn)K，連接CK。在直角三角形ACK中，由勾股定理可得$AC=2$，$AK=\sqrt{3}$。由相似三角形可得$CK=\frac{1}{2}AC=1$，$AK=\frac{1}{2}EF$。因此，$EF=2AK=\sqrt{3}$。思路點(diǎn)撥：在求線段EF的長(zhǎng)度時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，通過作輔助線來解決。如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長(zhǎng)度。解：連接AD。因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以AD=DC=DB，且AD⊥BC，∠BAD=∠C=45°。因?yàn)椤螮DA+∠ADF=90°，又因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，所以∠EDA=∠CDF。所以△AED≌△CFD（ASA），所以AE=FC=5。同理可得AF=BE=12。在直角三角形AEF中，由勾股定理可得$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。思路點(diǎn)撥：將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，通過勾股定理求解。如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1。求BC、AB、BC+AB的值。解：在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，因此BC=2AC=2。由正弦定理可得$\frac{AB}{\sinB}=\frac{AC}{\sinA}$，即$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，$BC+AB=\frac{5}{2}$。思路點(diǎn)撥：利用三角函數(shù)和三角恒等式求解。所以BF=√(AF2-AB2)=√(100-64)=6cm。在Rt△BEF中，BE=BF+EF=6+EF，EB2=AB2+AE2=64+100=164，所以EF2=EB2-BF2=(6+EF)2-36，化簡(jiǎn)得EF2-12EF-72=0，解得EF=6+2√19或6-2√19，因?yàn)镋F>0，所以EF=6+2√19cm。已知矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，將折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，求EF的長(zhǎng)度。