初中幾何各種性質(zhì)及判定

相似三角形判定定理相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等；(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例；(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形的周長比等于相似比；(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方；(6)平行三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，如果兩個三角形對應(yīng)邊的比相等,這2個三角形也可以說明相似；（7）要證明△ABC∽△ABC全等要把他們的關(guān)系聯(lián)系起來.相似三角形的傳遞性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽ΔA2B2C2相似三角形的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似。）（AA）判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似。）（SAS）判定定理3：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似。）（SSS）

判定定理4：兩三角形三邊對應(yīng)平行，則兩三角形相似。（簡敘為：三邊對應(yīng)平行，兩個三角形相似。）判定定理5：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（簡敘為：斜邊與直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似。）（HL）判定定理6：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形相似（相似比為1：1）（簡敘為：全等三角形相似）。相似的判定定理與全等三角形基本相等，因為全等三角形是特殊的相似三角形直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似；(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.一定相似符合下面的情況中的任何一種的兩個（或多個）三角形一定相似：1.兩個全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。2.任意一個頂角或底角相等的兩個等腰三角形兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。3.兩個等邊三角形兩個等邊三角形，三個內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形由于斜邊的高形成兩個直角，再加上一個公共的角，所以相似。[全等三角形判定定理經(jīng)過翻轉(zhuǎn)、平移后，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應(yīng)相等。全等三角形指兩個全等的三角形，它們的三條邊及三個角都對應(yīng)相等。全等三角形是幾何中全等之一。根據(jù)全等轉(zhuǎn)換，兩個全等三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后，仍舊全等。性質(zhì)：1．全等三角形的對應(yīng)角相等。2．全等三角形的對應(yīng)邊相等。3.能夠完全重合的頂點叫對應(yīng)頂點。4．全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。\o"全等三角形和例題"5．全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。6．全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。7．全等三角形面積和周長相等。8．全等三角形的對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。溫馨提示：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形也不一定全等。判定SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形。SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的三角形是全等三角形。[ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應(yīng)相等的三角形全等。[AAS（角角邊）：兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的三角形全等。[RHS（直角、斜邊、邊）（又稱HL定理(斜邊、直角邊)）：在一對直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。下列兩種方法不能驗證為全等三角形：AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形。SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。4、中位線長是上下底邊長度和的一半。5、兩條對角線相等。6、對角線分成的四個三角形有3對全等三角形，1對非全等的相似三角形。7、等腰梯形的面積公式：等腰梯形的面積=（上底+下底）*高*1/2。8、特殊面積計算:當對角線垂直時，等腰梯形的面積=(BD×AC)/2。9、幾何語言：∵四邊形ABCD是等腰梯形∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。幾何語言：∵∠BAD=∠ADC，∠DCB=∠ABC∴四邊形ABCD是等腰梯形（在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形）。10、BD·AC=AB·DC+AD·BC11、等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是通過兩底中點的直線。判定1、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。2、一組對邊平行且不等，另一組對邊相等且不平行的四邊形是等腰梯形。3、對角線相等且能形成兩個等腰三角形的四邊形是等腰梯形。4、對角互補的梯形是等腰梯形。5、對角線相等的梯形是等腰梯形。6、兩腰相等的梯形是等腰梯形；。梯形中位線定理連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。定理定義梯形的中位線等于梯形的上底加下底再除以二，用符號表示是L.L=（a+b）÷2已知中位線長度和高，就能求出梯形的面積．S梯=2Lh÷2=Lh中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線。三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半。托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．運用要點1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。2.四點不限于同一平面。歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯的著作《球面學(xué)》（Sphaerica）。即任何一條直線截三角形的各邊或其延長線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積定理證明編輯證明一過點A作AG∥DF交BC的延長線于點G.則證畢證明二過點C作CP∥DF交AB于P，則兩式相乘得證明三連結(jié)CF、AD，根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)有。AF：FB=S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF…………（3）（1）×（2）×（3）得××=××證明四過三頂點作直線DEF的垂線AA‘，BB'，CC'，如圖：充分性證明：△ABC中，BC，CA，AB上的分點分別為D，E，F(xiàn)。連接DF交CA于E'，則由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵∴有CE/EA=CE'/E'A，兩點重合。所以共線推論在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=-1。（注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是λμν=1）此外，用該定理可使其容易理解和記憶：第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積。該形式的梅涅勞斯定理也很實用。證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1(O不與點A、B、C重合)定理意義使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。證明兩直線互相平行得常用的定理：利用角同位角相等內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行利用第三線都平行或都垂直于第三線的兩直線平行利用比例式ABC中，如果其它：三角形的中位線平行且等于底邊的一半梯形的中位線平行于兩底邊且兩底邊和的一半平行四邊形的對邊平行且相等在三角形中證明直角的常用方法：如果一個角等于其它兩個角的和，那么這個角是直角若一邊平方等于另外兩邊的平方和，則這邊所對的角是直角若一邊中線等于這邊的一半，則這邊所對的角是直角等腰三角形頂角平分線（或底邊中線）是底邊上的高和直角三角形全等或相似的三角形是直角三角形菱形的對角線互相垂直三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5.以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心。2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。4、計算外心的坐標應(yīng)先計算下列臨時變量：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐標：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。5、外心到三頂點的距離相等垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。定理證明已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE相交于點O，連接CO并延長交AB于點F，求證：CF⊥AB證明：連接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四點共圓∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四點共圓∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！內(nèi)心定理三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點。該點即為三角形的內(nèi)心。2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系）△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分