分類計數(shù)原理和分布計數(shù)原理

10．1分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理問題一

(1)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中火車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？

分析：因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以，共有3+2=5種不同的走法.

(2)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船一天中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?

分析：從甲地到乙地有3類方法：第一類方法，乘火車，有4種方法；第二類方法，乘汽車，有2種方法；第三類方法，乘輪船，有3種方法；所以，從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法

甲地乙地火車汽車輪船

1.分類計數(shù)原理(加法原理)：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法m1m2mn甲地乙地火車汽車輪船

③從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

分析:這個問題與前一個問題不同，采用乘火車或乘汽車的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而這一個問題中必須先經(jīng)過乘火車再乘汽車兩個步驟才能甲地到乙地。

因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以，乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地，共有3×2

種不同走法

所有走法：火車1──汽車1；火車1──汽車2；火車2──汽車1；火車2──汽車2；火車3──汽車1；火車3──汽車2

④由A村去B村的道路有2條，由B村去C村的道路有3條從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有2種方法,第二步,由B村去C村有3種方法,所以從A村經(jīng)B村去C村共有2×3=6種不同的方法2.分步計數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法m1mnm2

（1）分類計數(shù)原理(加法原理)中，“完成一件事，有n類辦法”，即每種方法都可以獨立地完成這件事，同時他們之間沒有重復也沒有遺漏，只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以.

（2）分步計數(shù)原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n個步驟”，是說每個步驟都不足以完成這件事，這些步驟，彼此間也不能有重復和遺漏，同樣只有滿足這個條件才能用乘法原理，否則不可以．

1.分類計數(shù)原理(加法原理)：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法m1m2mn

2.分步計數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法m1mnm2

原理解析：（3）兩個基本原理的異同點

相同點：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題。

不同點：分類計數(shù)原理與“分類”有關，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與“分步”有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．（4）兩個原理，可以與物理中電路的串聯(lián)、并聯(lián)類比．例題講解：例1．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

解：（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是種Ｎ＝所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法

例2．一種號碼撥號鎖有３個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這３個撥號盤可以組成多少個三位數(shù)號碼？解：每個撥號盤上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理，３個撥號盤上各取1個數(shù)字組成的三位數(shù)字號碼的個數(shù)是，所以，可以組成1000個四位數(shù)號碼例3．要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班兩個步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是Ｎ＝３×２＝６種6種選法可以表示如下：日班晚班日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法

例4．甲廠生產(chǎn)的收音機外殼形狀有3種，顏色有4種，乙廠生產(chǎn)的收音機外殼形狀有4種，顏色有5種（兩廠生產(chǎn)的外殼和顏色不能交換使用），這兩廠生產(chǎn)的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有所少種不同的品種？解：收音機的品種可分兩類：第一類：甲廠收音機的種類，分兩步：形狀有3種，顏色有4種，共種；第二類：乙廠收音機的種類，分兩步：形狀有4種，顏色有5種，共種所以，共有個品種說明：分類和分步計數(shù)原理，都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對“分類”問題，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對“分步”問題，只有各個步驟都完成才算完成了這件事。

（4）、課堂練習：

1.書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書(1)從中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從中任取數(shù)學書與語文書各一本，有多少種不同的取法？解：(1)從書架上任取一本書，有兩種方法：第一類可從6本數(shù)學書中任取一本，有6種方法；第二類可從5本語文書中任取一本，有5種方法；根據(jù)加法原理可得共有5+6=11種不同的取法(2)從書架上任取數(shù)學、語文書各一本，可以分成兩步完成：第一步任取一本數(shù)學書，有6種方法；第二步任取一本語文書，有5種方法根據(jù)乘法原理可得共有5×6=30種不同取法2.某班級有男學生5人，女學生4人

(1)從中任選一人去領獎,有多少種不同的選法？

(2)從中任選男、女學生各一人去參加座談會，有多少種不同的選法？解：(1)完成從學生中任選一人去領獎這件事，共有2類辦法，第一類辦法，從男學生中任選一人，共有=5種不同的方法；第二類辦法，從女學生中任選一人，共有=4種不同的方法所以,根據(jù)加法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9種

(2)完成從學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事,需分2步完成,第一步，選一名男學生，有=5種方法；第二步，選一名女學生，有=4種方法；所以，根據(jù)乘法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種

3.從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

答案：N=N1+N2=2×3＋4×2=14（5）、小結(jié)：本節(jié)課主要介紹了兩個基本原理，解題時應緊扣原理，弄清事情完成的前后經(jīng)過，分清是分類還是分步，或分類