2023高考數(shù)學(xué)08 利用空間向量空間距離的求解

專題08利用空間向量空間距離的求解

新教材的新增內(nèi)容

背景分析：投影向量的幾何意義和代數(shù)表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便

利，而且還提供了研究距離的方法.在研究距離問題時，參考向量、它的投影向量、二者

的差，構(gòu)成直角三角形，這樣，利用勾股定理，結(jié)合空間向量的運算，距離問題也就迎刃

而解.

運用向量運算求解空間距離的原理的推導(dǎo)主要是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，將空間距離的

向量語言表述應(yīng)用于立體幾何問題則培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).通過對立體幾何

問題的解決，使得學(xué)生首先會用表達(dá)式、并通過練習(xí)實現(xiàn)學(xué)生達(dá)到熟練掌握運算方法、技

巧的能力.

向量法求距離的公式

距離問題圖示向量法的距離公式

PQ=\PQ\

兩點間距離

1

)22

點到直線的距離PQ=yAP-AQ\

2

兩平行直線之間的距離PQ^y)AP2-AQ2=I

F

點到平面的距離

PQ=AP\\=H=

在處理距離問題時，投影向量和勾股定理的使用是關(guān)鍵.

新增內(nèi)容的考查分析

1求點點距離

【考法示例1】

1.已知平行六面體N8C?！跣≈?，4BCD是邊長為a的正方形，AAt=b,

N4/8=N4/Z)=120。，則小C的長為.

［答案］yj2a2+b2+2ab

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量運算可知汞=方+而+怒，再利用平方后的數(shù)量積公式

計算結(jié)果.

【詳解】A^C^AB+AD+AA,,

1

‘‘一2/‘’,?'‘一’■?\2*'-2?‘’??2'’,?2",’一‘‘一1’一?‘‘…?'’一

4c=(44+4。］+44)=44+4。］+44+248］,+244.4,+24。1?4/

=/+/+〃+2abcos600+2abcos60°

=2/+〃+2"

所以小c=J2a2+C+2H-

故答案為：yl2a2+b2+2ab

2.求點線距離

【考法示例1】

2.已知正方體ABCD-A|B￡仙的棱長為2,點E是AB的中點，則點A到直線BE

的距離是()

A675R4V5

55

r275、、加

55

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求成，礪夾角的余弦，再求點/到直線8E的距

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則亥=(0,2,0),詼=(0,1,2).

IBA-BE2J51-----------2r-

?\cos0=?一__=——=——./.sinJ=—cos20=—>/5.

\BA\\BE2V555

故點A到直線應(yīng)1的距離t/=IZBIsinf=2X-|>/5=-|>/5.

故答案為B

【點睛】本題主要考查點到線距離的向量求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平

和分析推理計算能力.

【考法示例2]

3.如圖所示，防G”為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內(nèi)部且滿

一3一1一2一

足/2=7/8+；；/。+7/￡,則/>點到直線45的距離為

423

【答案】|

6

【解析】

【分析】過P作平面ABCD于"，過M作MNVAB于N,連接PN,則PN

312

即為所求，由已知可得NN=：,NM=PM=；,即可求出.

423

【詳解】解析：過P作刊/，平面Z8CD于過M作MNLZ8于N,連接PM

則PN即為所求，如圖所示.

H

故答案為：~

6

【考法示例3】

4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A|BiC】D1中，E為BC的中點，點P在線段

D|E上，點P到直線CC|的距離的最小值為.

【答案】

~5~

【解析】

【詳解】點P到直線CC,的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離,

設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P',顯然點P到直線CC,的距離的最小值為PC的

2x12、行

長度的最小值，當(dāng)PCLDE時，PC的長度最小，此時PC=/,=笆

<22+15

而視頻Q

3.求點面的距離

【考法示例1]

5.在棱長為。的正方體中，M是的中點，則點4到平面

的距離是（）

AV6nV3rV3nV6

A.-----a—ciC.—ciD.-----a

6643

【答案】A

【解析】

【分析】以。為空間直角坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過點面距離公式，計算

點4到平面”5。的距離.

【詳解】以。為空間直角坐標(biāo)原點，分別為XJ，Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.由于又是中點，故加,且4（a,0,a）,8（a,a,0）,Ri7=卜,0,-卜

——1

萬,DM-QX+—az=0

設(shè)〃=（x,y,z）是平面BDM的法向量，故,_2，故可設(shè)

n-DB=ax+ay=0

?=(1-1,-2),故4到平面BDM的距離

0,0,-;。卜1,一1,一2）

V6,故選A.

d-

向V66

【點睛】本小題主要考查利用空間向量計算點到面的距離.計算過程中要先求得平

面的法向量.屬于基礎(chǔ)題.

【考法示例2】

6.已知四邊形是邊長為4的正方形，民廠分別是邊的中點，GC垂

直于正方形所在平面且GC=2,則點8到平面EFG的距離為（）

Dm

A.3B.75「vLnz.---

1111

【答案】D

【解析】

【分析】

連接4C,EF交于M,4C,BD交于0,過。作O"_LGV,垂足為”,

則問題轉(zhuǎn)化為求?！钡拈L度，根據(jù)兩個直角三角形相似，對應(yīng)邊成比例可解得結(jié)果.

【詳解】如圖：連接NC,8D,AC,EF交于M,4C,BD交于0,

G

AEB

因為瓦尸分別是邊45,/。的中點，所以BD//EF,

因為EFu平面EFG,所以8。//平面EFG,所以點8到平面E/G的距離等于點

O到平面EFG的距離，

因為GC_L平面N8CD,所以GC1BD,又BDLAC,GCC\AC=C,

所以5。，平面GMC,因為EF//BD,所以EE_L平面GMC,

因為EFu平面EFG,所以平面EFG_L平面GMC,

過。作O〃_LGM,垂足為“，則?！?，平面EFG,則O”為點O到平面E/G的

距離，

在直角三角形GCM和直角三角形07/M中，NGMC=NOMH,所以

/\GCM,

因為正方形ABCD的邊長為4,所以。以=1/。=1、4后=拒，

44

CM=-JC=-x4V2=372,GM=y]GC2+CM2^74+18^722-

所以嗯*限

所以點8到平面EFG的距離為A而.

故選：D

【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查

了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點到平

面的距離，屬于中檔題.

【考法示例3】

7.如下圖所示，在直三棱柱Z8C—小與G中，底面是等腰直角三角形，/ACB=

90°,側(cè)棱/小=2,CA=2,。是CG的中點，試問在上是否存在一點E,使

得點小到平面AED的距離為城？

3

【答案】存在點￡且當(dāng)點E為小8的中點時，小到平面ZEQ的距離為亞.

3

【解析】

【分析】由題知可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算求出即可.

【詳解】解：如圖以點C為坐標(biāo)原點，CA,CB,CG所在直線為x軸，y軸和z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，(2,0,0),小(2,0,2),￡)(0,0,1),5(0,2,0),設(shè)礪=2碗，Ae[0,

1),則E(2九2(1-2),2A).

又而=(-2,0,1),AE=(2(2-1),2(1-2),22),

元.—0,

設(shè)方=(x/,z)為平面的法向量，貝叫一r1=

nAE=0,

-2x+z=0

2(4-1卜+2(1-4萬+2%z=0

.]—34口口―f1—3X

取x=l,貝—,z=2,即〃=11，-；——,2

1—XVI-A,

由于公孚=至，

Ml3

4

所以，存在點E且當(dāng)點E為的中點時，小到平面工瓦)的距離為亞.

3

4.求線面距離

【考法示例1】

8.如圖在棱長為1的正方體片GA中，E為線段4月的中點，F(xiàn)為線

段N8的中點.

(1)求點8到直線Ng的距離.

(2)判斷直線尸C與平面ZEG的位置關(guān)系；如果平行，求直線尸C到平面NEG的

距離.

【答案】(1)巫；(2)平行，巫.

36

【解析】

【分析】(1)首先如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式求點到直線的距離；

(2)利用線面平行，轉(zhuǎn)化為點F到平面/七和的距離，求平面NEG的法向量，結(jié)

合向量公式，即可求得點到平面的距離.

【詳解】解：以。1為原點，口小，OiG，所在直線為x軸、J軸、z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則41,0,1),5(1,1,1),C(0,1,1),G(0，

1,0),￡(1,g,0),F(l,y,1),

(1)取a=a=/5=(0,1,0),則

,2=i,a-u=—

3

所以，點8到直線/G的距離為后—@")2

(2)因為普西=11,；,0),所以FC〃ECi，荏=—1

所以FC〃平面AEG.所以點E到平面AEC,的距離

即為直線FC到平面AEC}的距離.

[h^~AE=0

設(shè)平面4EC]的法向量為日=(x,y,z),貝叫一言月

n-EC}-0

—y-z=O,

y=2z,

所以所以

x=z.

取z=l,則x=l,y=2.

所以，萬=(1,2,1)是平面/EG的一個法向量.

又因為萬j1。，(，。

所以點尸到平面AEQ的距離為

\AF-n\

_L_V6

而一T

即直線FC到平面AEG的距離為".

6

【總結(jié)】1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問題都可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距

離問題，都等于向量力在平面單位法向量方向上投影向量的長度，即

2.用向量法解決距離問題的“三步曲”

①建立空間直角坐標(biāo)系，求有關(guān)向量的坐標(biāo)——將凡何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;

②使用距離的向量計算公式——向量的運算與求解；

③得到所求距離——回到幾何圖形，得到結(jié)論.

新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練

9.如圖，在直三棱柱ABC-A|B|G中，ZACB=9O°,2AC=AAi=BC=2.若二

面角B1-DC-C1的大小為60。，則AD的長為

A.V2B.C.2也

V

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA,CB,CG所在的直線分別為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(1,0,0),B,(0,2,2),G(0,0,2),

設(shè)AD=a,則D點坐標(biāo)為(1,0,a),CD=(1,0,a),Cg=(0,2,2),

設(shè)平面BCD的一個法向量為/=(x,y,z).

CB}?m=02y+2z=0

則｛令z=-1,

ADm=0x-baz=0

得碗=(a,l,-1),又平面CQC的一個法向量為［=(0,1,0),

m-n1i「「

則由8560。=門，得/,=彳,即2=&,故AD=Ji.

|叫州Va+22

10.若0為坐標(biāo)原點，04=(1,1，-2),礪=(3,2,8),灰=(0,1,0),則線

段AB的中點P到點C的距離為()

A.返B.2V14

2

C.屈D.叵

2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出》的坐標(biāo)，再利用三角形減法法則求定的坐標(biāo)，再求|定|即得

解.

I3—.—.1

【詳解】由題意OP=5(方+無)=(2,3,3),'PC=OC-OP=(-2,--,-3),

IPCI=小4+；+9=

故答案為D

【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，考查向量的三角形法則和平行四邊形法

則，考查向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.

11.在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為〃的正方體則N'C的中

點E與AB的中點F之間的距離為

/n1

A.\/2aB.—aC.aD.—a

22

【答案】B

【解析】

【分析】求出/，。的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式，可以求出民尸的坐標(biāo)，利用空間兩

點間的距離公式求出E,F兩點間的距離.

【詳解】由題易知H(a,O,O),C(O,a,O),則建).易知｛吟0),

|EF\=欄+0’+：=y-?.選B.

【點睛】本題考查了空間兩點間的距離，考查了數(shù)學(xué)運算能力，正確求出點的坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

12.長方體/88—4g。1。中，AB=BC=a,AAi=2a,則點。到直線ZC的

距離為

A.—sFlaB.—y/2aC.D.也a

232

【答案】A

【解析】

【分析】計算函?就=/cos(礪，就)=器，再計算距離得到答案.

詳解

?一,‘一/'一.‘‘一\/’―,一\’"?■一一一‘?一‘'一?‘‘一’’??2二

2

ADcAC=(AAi+ADj-(AB+ADj=AA]-AB+AAi-AD+AD-AB+AD=a,

4到直線AC的距離為|西卜in（AD,,AC）=亞a-今4=半*

故選：A.

【點睛】本題考查了利用空間向量計算距離，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象

能力.

13.如圖，正方體/BCO—MAG"的棱長為1,o是底面44GA的中心，則。

到平面/8GA的距離為（）

A.也B."V2

D.

42~22

【答案】A

【解析】

【分析】過。作4片的平行線，交片G于E,則。到平面N8G2的距離即為E到

平面/BCQi的距離.作班8G于尸，進(jìn)而可知ERJ■平面Z8GA，進(jìn)而根據(jù)

EF=；BC求得EF.

【詳解】解：過。作4瓦的平行線，交AG于E,

則。到平面4BCR的距離即為E到平面4CQ的距離.

作EF上Bq于F,易證EFJ?平面/8G3，

可求得=

44

故選：A.

14.如圖，在棱長為2的正方體48。。一4耳。1。中，點￡、尸分別是棱A8、BC

的中點，則點G到平面片所的距離等于()

i2B.迪C.空

333

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面用班'的法向量，利用向量法求點到平面的

距離求解即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，分別以"4，AG，的方向為x軸、y軸、z軸的

正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則4(2,2,0),G(0,2,0),E(2,l,2),F(1,2,2).

設(shè)平面B}EF的法向量為〃=(x,y,z),

5^=(0,-1,2)^7=(-1,0,2)

,H-B[E=0[-y+2z=0

則《工，即《"

?

[n-517=0[-x+2z-0

令z=l,得“=(2,2,1).

又?.?端=(-2,0,0),

16區(qū)|十nLLAAntr-rirJI/7,5,C|II—2X2+0+0I4

.??點G到平面B[EF的距離h=J__—=!?一/