插值擬合逼近

插值擬合逼近第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

§2.1曲線擬合的最小二乘法

常見的數(shù)據(jù)擬合問題可描述為，給定離散數(shù)據(jù)表

x

x1

x2 ?? xm

f(x)y1

y2 ?? ym

求擬合函數(shù)使得達到最小。這里，函數(shù)稱為擬合函數(shù)，式（2）稱為擬合條件。通常假設（1）中是已給定的函數(shù)。（1）（2）

數(shù)據(jù)擬合問題第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合函數(shù)是一元函數(shù)時，所對應的函數(shù)圖形是平面曲線。數(shù)據(jù)擬合的幾何背景是尋找一條近似通過給定離散點的曲線，故稱為曲線擬合問題。為了確定數(shù)據(jù)擬合問題，首先要選取適當?shù)暮瘮?shù)類例如，選用冪函數(shù)類,則這就是多項式擬合函數(shù)。在實際問題中常用的擬合函數(shù)類有指數(shù)函數(shù)類、三角函數(shù)類等等，可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的分布特點來選取。第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

曲線擬合的最小二乘法

設函數(shù)已選定，根據(jù)擬合條件（2）確定擬合函數(shù)（1）中系數(shù)的方法稱為最小二乘法。擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)表中函數(shù)在各結點上的差值

組成的向量稱為殘差，記為

殘差向量r的分量平方和為現(xiàn)在確定使殘差平方和最小，可令第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月即由于是未知數(shù)，將上式整理為方程組（3）稱為正規(guī)方程組，由它的解可以確定擬合函數(shù)（3）第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月線性擬合與多項式擬合將擬合函數(shù)取線性函數(shù)或多項式函數(shù)是一種簡單的數(shù)據(jù)擬合方法。

擬合函數(shù)稱為對數(shù)據(jù)的線性擬合。對于線性擬合問題，需要求函數(shù)的最小值。對兩個變量求導數(shù)，得令其等于零，得正規(guī)方程組第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月方程組系數(shù)矩陣方程組右端項超定方程組:

GX=F正規(guī)方程組:

GTGX=GTF

超定方程組第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.已知實驗數(shù)據(jù)如下,求線性擬合函數(shù)。

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月||r||2=0.7583殘差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合函數(shù)稱為對數(shù)據(jù)的多項式擬合。對于多項式擬合問題，需要求函數(shù)采用同樣的方法，可得到正規(guī)方程組第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月方程組系數(shù)矩陣方程組右端項超定方程組:GX=F正規(guī)方程組:GTGX=GTF

第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.求數(shù)據(jù)的二次擬合函數(shù)

P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月二次擬合誤差:||r||2=0.6437比較線性擬合誤差:

||r||2=0.7583第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月超定方程組的最小二乘解

給定數(shù)據(jù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym擬合函數(shù)(x)=a00(x)

+a11(x)

+······+an

n(x)為了進一步理解數(shù)據(jù)擬合的最小二乘方法，考慮如下線性方程組問題。第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月以矩陣符號記為：GX=F··············m>n+1

超定方程組GTGX=GTF第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)矩陣按列分塊GX=F

GTGX=GTF·····正規(guī)方程組的解稱為超定方程組的最小二乘解第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月取求擬合函數(shù):(x)=a00(x)

+a11(x)給定數(shù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月用最小二乘法解決實際問題的過程包含三個步驟：(1)由觀測數(shù)據(jù)表中的數(shù)值，點畫出未知函數(shù)的粗略圖形——散點圖；(2)從散點圖中確定擬合函數(shù)類型；(3)通過最小二乘原理，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)。例3設經(jīng)實驗取得一組數(shù)據(jù)如下解：在坐標系中畫出散點圖，可見這些點基本位于一條雙曲線附近，于是可取擬合函數(shù)第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月于是所求擬合函數(shù)為第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月前面所討論的最小二乘問題都是線性的，即：關于待定系數(shù)是線性的。若關于待定系數(shù)是非線性的，則往往先用適當?shù)淖儞Q把非線性問題線性化后，再求解。如對，取對數(shù)得：，記則有，它是關于待定系數(shù)是線性的，于是所滿足的正規(guī)方程組是其中.由上述方程組解得后，再由，求得.第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

由實驗得到一組數(shù)據(jù)如下解：在坐標系中畫出散點圖如下可見這些點近似于一條指數(shù)曲線，記第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月記則有記，則第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例5有函數(shù)如下表所列，要求用公式解：正則方程組為第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)擬合第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月§

3.最佳平方逼近

對于離散點的最小二乘擬合方法，可以推廣到連續(xù)函數(shù)的逼近上去。下面先給出正交多項式的概念?！?.1正交多項式定義如果函數(shù)系中每個函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，不恒等于零，且滿足條件那么稱函數(shù)系在上關于權函數(shù)為正交函數(shù)系。稱為正交多項式。例如三角函數(shù)系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…在[]上關于權函數(shù)是正交函數(shù)系。第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為與的內積

如果內積，則稱與正交。

下面介紹幾個工程中最常用的正交多項式一、Legendre多項式

多項式系

：在區(qū)間上關于權函數(shù)正交，稱為勒讓德（Legendre）多項式第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月二、Tchebyshev多項式多項式系

：在上關于權函數(shù)的正交，稱為切比雪夫（Tchebyshev）多項式

。第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月三、Laguerre多項式稱為拉蓋爾（Laguerre）多項式，它是在上關于權的正交多項式。四、Hermite多項式稱為Hermite多項式，它是在上關于權函數(shù)的正交多項式系。第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2

最佳平方逼近設是一族在上線性無關的連續(xù)函數(shù),以它們?yōu)榛讟嫵傻木€性空間

.所謂最佳平方逼近問題就是求廣義多項式

使函數(shù)取得最小值。對每個變量求導數(shù)，得

第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月即把代入上式，得利用內積定義，我們可得方程組第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月其系數(shù)行列式為特別當為[a,b]上關于權函數(shù)的正交函數(shù)系,則可立刻求出從而最佳平方逼近函數(shù)為第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例6求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項式。練習求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項式。第34頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月本章小結本章介紹