浙江省杭州市市蕭山區(qū)第九中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

浙江省杭州市市蕭山區(qū)第九中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列三種說(shuō)法：①“若a>b，則”的否命題是假命題；②命題“若m>0,則有實(shí)數(shù)根”的逆否命題是真命題；③“”是“”的充分非必要條件.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是_______參考答案：②③略2.下列各函數(shù)中，最小值為2的是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用基本不等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A,，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1取等號(hào)，故最小值為2，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，sinx>0,所以≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1，即x＝時(shí)取等號(hào)，而，等號(hào)不能取到，故取不到2；對(duì)于C，y=≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x2+2＝1取等號(hào)，此時(shí)x無(wú)解，等號(hào)不能取到，故取不到2；對(duì)于D,,當(dāng)x>0時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)取到2，當(dāng)x<0時(shí)，，當(dāng)x=-1時(shí)取到-2，故不成立；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．3.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且，數(shù)列{bn}滿足，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－28,－19,－13,7,17,23}中，則q=（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題可知數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)，從而可判斷，再分別列舉滿足符合條件的情況，從而得到公比.【詳解】因?yàn)閿?shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，，所以數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)不同號(hào)，即.因?yàn)?，所以，按此要求在集合中取四個(gè)數(shù)排成數(shù)列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三種情況，因?yàn)?27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比數(shù)列，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)為-27，18，-12，8，所以數(shù)列的公比為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論能力，難度較大.4.（2015秋?阿克蘇地區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)得（）A．sin2+cos2 B．cos2﹣sin2 C．sin2﹣cos2 D．±cos2﹣sin2參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題．【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)原式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理求得問(wèn)題答案．【解答】解：==|sin（π﹣2）+cos（π﹣2）|=|sin2﹣cos2|∵sin2＞0，cos2＜0，∴sin2﹣cos2＞0，∴=sin2﹣cos2故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．巧妙的利用了同角三角函數(shù)中平方關(guān)系．5.函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）的定義域?yàn)?

)A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0}參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式，解之可得其定義域．【解答】解：要使函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）有意義，必有x﹣1＞0，即x＞1．故函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）的定義域?yàn)閧x|x＞1}故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法，解題時(shí)注意負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知函數(shù)在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略8.從(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)中任取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)部的概率是A. B. C. D.參考答案：B【分析】先判斷出每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的平方和是否小于2016，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求出概率.【詳解】因?yàn)?，，，，，所以只有點(diǎn)(20,30),(10,10)這兩個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)部，因此這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)部的概率是，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9.△ABC中，B=30°，，，那么△ABC的面積是（

）A. B. C.或 D.或參考答案：D試題分析：由正弦定理得時(shí)三角形為直角三角形，面積為，當(dāng)時(shí)三角形為等腰三角形，面積為

10.函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.減函數(shù) D.增函數(shù)參考答案：D【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可確定；分別在和兩種情況下得到的單調(diào)性，從而得到在上的單調(diào)性.【詳解】由題意得：是開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)在上有最小值

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增

在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又

在上為增函數(shù)綜上所述：在上為增函數(shù)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的判斷；關(guān)鍵是能夠通過(guò)二次函數(shù)有最值確定對(duì)稱軸的位置，從而得到參數(shù)的范圍.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知△ABC，∠C=90°，|CA|=|CB|=2，D是AB的中點(diǎn)，P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________。參考答案：

212.函數(shù)f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣3]【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】f（x）是二次函數(shù)，所以對(duì)稱軸為x=1﹣a，所以要使f（x）在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減，a應(yīng)滿足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1﹣a；∵f（x）在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．故答案為：（﹣∞，﹣3]．13.已知函數(shù)則的值為

；參考答案：14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為

已知（Ⅰ）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。參考答案：（Ⅰ）由及，

有

由，．．．①則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②

②－①得·

又，是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．

（Ⅱ）由（I）可得，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．

，15.函數(shù)f（x）=的定義域是．參考答案：{x|x=2kπ，k∈z}【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由題意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案為：{x|x=2kπ，k∈z}．16.關(guān)于下列命題：①函數(shù)f（x）=|2cos2x﹣1|最小正周期是π；②函數(shù)y=cos2（﹣x）是偶函數(shù)；③函數(shù)y=4sin（2x﹣）的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0）；④關(guān)于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有兩相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．寫(xiě)出所有正確的命題的題號(hào)：．參考答案：③【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對(duì)稱性，以及方程的根的存在性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，得出結(jié)論．【解答】解：①函數(shù)f（x）=|2cos2x﹣1|=|cos2x|最小正周期是?=，故排除①；②函數(shù)y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=sin2x，為奇函數(shù)，故排除②；③令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，可得函數(shù)y=4sin（2x﹣）的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0），故③正確；④關(guān)于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有兩相異實(shí)根，即2sin（x+）=a有兩相異實(shí)根，即y=2sin（x+）的圖象和直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．∵0≤x≤，∴≤x+≤，故≤a＜2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，2），故排除④，故答案為：③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對(duì)稱性，以及方程的根的存在性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．17.若函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，則ω=

． 參考答案：【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 【分析】由題意可知函數(shù)在x=時(shí)確定最大值，就是，求出ω的值即可． 【解答】解：由題意可知函數(shù)在x=時(shí)確定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0時(shí)，ω=滿足題意． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，也可以利用函數(shù)的奇偶性解答，常考題型． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（２０分）對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即}，.(1).求證：AB(2).若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：證明(1).若A=φ，則AB顯然成立；……２分若A≠φ，設(shè)t∈A，則f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,從而AB.……６分

(2)：A中元素是方程f(x)=x即的實(shí)根.

由A≠φ，知a=0或

即

……９分

B中元素是方程

即

（*）的實(shí)根由AB，知方程（*）左邊含有一個(gè)因式，即方程可化為

因此，要A=B，即要方程

①要么沒(méi)有實(shí)根，要么實(shí)根是方程

②

的根.……１３分若①?zèng)]有實(shí)根，則，由此解得

……1６分若①有實(shí)根且①的實(shí)根是②的實(shí)根，則由②有，代入①有2ax+1=0.由此解得,再代入②得由此解得

.……1８分故a的取值范圍是

……２０分19.設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線．（1）如=+2，=﹣3（﹣），=﹣2﹣13，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．（2）試確定k的值，使k+12和3+k共線．參考答案：【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】（1）容易得出，從而共線，進(jìn)而得出A，B，D三點(diǎn)共線；（2）由和共線即可得到：，從而可得到關(guān)于k，λ的方程組，解出k即可．【解答】解：（1）==；又AB，BD有公共點(diǎn)B；∴A，B，D三點(diǎn)共線；（2）∵和共線；∴存在實(shí)數(shù)λ，使得；∴；解得k=±6．20.(本題滿分14分)已知二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，(1)當(dāng)，時(shí)，求出不等式的解；(2)若，且當(dāng)時(shí)，恒有，求出不等式的解(用表示)；(3)若，且不等式對(duì)所有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）當(dāng)，時(shí)，，的圖像與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，設(shè)另一個(gè)根為，則，，

--------2分則的解集為.

--------3分(2)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，設(shè)另一個(gè)根為，則

又當(dāng)時(shí)，恒有，則，

--------5分∴的解集為

--------7分（3），∴，又∵，∴，--------9分

要使，對(duì)所有恒成立，則當(dāng)時(shí)，＝2

當(dāng)時(shí)，＝－2當(dāng)時(shí)，，對(duì)所有恒成立

--------12分從而實(shí)數(shù)的取值范圍為

--------14分21.已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=﹣x2+2x．（1）求f（x）的解析式；（2）在如圖的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)求f（x）的圖象，并求不等式f（x）＜0的解集．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．（2）畫(huà)圖，并由圖象得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣（