從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

2.6從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）系統(tǒng)動態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型。動態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關(guān)系。相比較，傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。我們已知道，從傳遞函數(shù)到動態(tài)方程是個系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題，這是一個比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程。但從動態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個唯一的、比較簡單的過程。從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中x(t)—系統(tǒng)n維狀態(tài)向量；u(t)—系統(tǒng)r維輸入向量；y(t)—系統(tǒng)m維輸出向量。2從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)對上式兩端取拉氏變換，可得設(shè)初始條件x(0)=0，則有

式中,，mr維。傳遞函數(shù)陣3從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)W(S)為一個m×r的傳遞函數(shù)陣，即：其中，wij(s)為一標(biāo)量傳遞函數(shù)，它表示第j個系統(tǒng)輸入

對第i個系統(tǒng)輸出的傳遞作用。從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)對于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，按上式求出的W(s)為系統(tǒng)的標(biāo)量傳遞函數(shù)，可表示為當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對消時，有5從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)(1)系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等于傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式；

(2)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是A的特征值。由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式也不是惟一的。但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的。6從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

補(bǔ)例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試求其傳遞函數(shù)陣。7從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

解:

傳遞函數(shù)陣為：

8從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)【例2-14】求下列動態(tài)方程的傳遞函數(shù)。解：從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)在MATLAB中，用SS2TF語句可以直接求出W(S)。A=[-110;0-10;00-2];B=[-2;1;1];C=[462];D=0;[NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D)end從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

離散時間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號只在某些離散時刻取值的系統(tǒng)。與離散時間系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有差分方程，信號Z變換，以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。離散時間系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入和輸出信號的關(guān)系。從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)設(shè)系統(tǒng)n階差分方程為：

——

表示時刻

——

為采樣周期；，

——

分別為時刻的輸入、輸出；

——

表征系統(tǒng)特征的常系數(shù)。系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比:

與連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)在形式上相同從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)同連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，由離散時間系統(tǒng)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式的過程叫做離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。離散系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為：

式中x(k)—系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；u(k)—系統(tǒng)的r維輸入向量（控制向量）；y(k)—系統(tǒng)的m維輸出向量；G(k)—nn線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣；H(k)—nr線性離散系統(tǒng)的控制矩陣；C(k)—mn線性離散系統(tǒng)的輸出矩陣；D(k)—mr線性離散系統(tǒng)的直接傳輸矩陣。從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均為常數(shù)矩陣，上式就變?yōu)榫€性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：

14從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)方塊圖表示如圖：單位延遲環(huán)節(jié)，具有T秒的時間延遲。從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)差分方程式化為狀態(tài)空間表達(dá)式

1．差分方程的輸入函數(shù)為bu(k)時設(shè)系統(tǒng)的差分方程為

選取狀態(tài)

16從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)則高階差分方程可化為一階差分組

17從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)寫成向量方程形式，得18從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

或

其中：

19從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2．差分方程的輸入函數(shù)包含u(k)u(k+1)，…時設(shè)系統(tǒng)差分方程為從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)可選擇如下一組狀態(tài)變量

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)或：從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)例：已知離散系統(tǒng)的差分方程為：

試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：選狀態(tài)變量24從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)則狀態(tài)空間表達(dá)式25從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式

線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

它可仿照連續(xù)系統(tǒng)的部分分式法來建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。26從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2.8MATLAB在狀態(tài)空間分析法中的應(yīng)用從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)一、系統(tǒng)的模型

1.傳遞函數(shù)模型

設(shè)單輸入單輸出（SISO）連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)=

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

在MATLAB中,可用傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式按s的降冪系數(shù)排列的行向量,即

來描述上式所示傳遞函數(shù)G(s)的多項(xiàng)式模型。而由命令函數(shù)tf()則可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型TF，其調(diào)用格式為

sys=tf(num,den)其中,num、den分別是傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量,且系數(shù)均按s的降冪排列。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

設(shè)單輸入單輸出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)=

在MATLAB中,對于離散系統(tǒng)同樣可用tf()

命令建立其脈沖傳遞函數(shù)模型，調(diào)用格式為

num=[cm,cm-1,,c1,c0];den=[an,an-1,,a1,a0];sys=tf(num,den,Ts)其中,Ts

為系統(tǒng)采樣周期。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)另外,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可表示成零極點(diǎn)形式,即

G(s)=

在MATLAB中，可用傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量及增益,即

描述傳遞函數(shù)G(s)的零極點(diǎn)模型。而由命令函數(shù)zpk()則可建立零極點(diǎn)模型ZPK，其調(diào)用格式為

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2.狀態(tài)空間模型

r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中，x、y、u分別為n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D分別為n×n、n×r、m×n

、m×r的常數(shù)矩陣。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

在MATLAB中,只要按照矩陣輸入方式建立式系統(tǒng)相應(yīng)的系數(shù)矩陣，即

A=[a11,a12,,a1n;a21,a22,,a2n;;an1,an2,,ann]；B=[b11,b12,,b1r;b21,b22,,b2r;;bn1,bn2,,bnr];C=[c11,c12,,b1n;c21,c22,,c2n;;cm1,cm2,,cmm];D=[d11,d12,,d1r;d21,d22,,d2r;;dm1,bm2,,bmr];即可描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。而由命令函數(shù)ss()則可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型SS，其調(diào)用格式為

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

對定常離散系統(tǒng)

在按常數(shù)矩陣輸入方式建立系數(shù)矩陣G，H，C，D

后,同樣調(diào)用

則可建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其中,Ts

為系統(tǒng)采樣周期。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)二、

系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換

1.狀態(tài)空間表達(dá)式向傳遞函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換MATLAB提供了模型轉(zhuǎn)換函數(shù),可以完成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換,利用ss2tf()函數(shù)可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其傳遞函數(shù)(陣)。

對SISO系統(tǒng),ss2tf()的調(diào)用格式為

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)執(zhí)行以上語句,可實(shí)現(xiàn)將描述為(A,B,C,D)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中各系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型中分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量num、den。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

對多輸入系統(tǒng),ss2tf()的調(diào)用格式為

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中,iu用于指定變換所使用的輸入量,iu默認(rèn)則為單輸入情況。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

與ss2tf()類似,應(yīng)用MATLAB函數(shù)ss2zp()可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其零極點(diǎn)模型的參數(shù)(z,p,k)。

對SISO系統(tǒng),ss2zp()的調(diào)用格式為

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)而對多輸入系統(tǒng),其調(diào)用格式為

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2.傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的變換

利用MATLAB函數(shù)tf2ss()、zp2ss()可分別由多項(xiàng)式形式、零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間模型中的各系數(shù)矩陣。其調(diào)用格式分別為

[A，B，C，D]=tf2ss(num,den)[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)上面兩條語句分別由已知的(num,den)、(z,p,k)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換返回狀態(tài)空間表達(dá)式中各系數(shù)矩陣(A,B,C,D)。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)三、

系統(tǒng)的非奇異變換與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式1.系統(tǒng)的非奇異變換

MATLAB中函數(shù)ss2ss()可實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的非奇異變換。其調(diào)用格式為

GT=ss2ss(G,T)其中G、GT分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，T為非奇異變換陣。

或?yàn)?/p>

[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T)其中,(A,B,C,D)、(At,Bt,Ct,Dt)分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣,T為非奇異變換陣。

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)2.標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)MATLAB提供了標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)函數(shù)canon(),其調(diào)用格式為

G1=canon(sys,type)

從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)

若系統(tǒng)模型sys為對應(yīng)狀態(tài)向量x的狀態(tài)空間模型,可應(yīng)用函數(shù)canon()將其變換為在新的狀態(tài)向量下的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式,其調(diào)用格式為

[G1,P]=canon(sys,type)其中，sys為原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，P是返回的非奇異變換陣，滿足

關(guān)系。或?yàn)?/p>

[At,Bt,Ct,Dt,P]=canon(A,B,C,D,type)其中,(A,B,C,D)為對應(yīng)x的原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣,(At,Bt,Ct,Dt)則為對應(yīng)新狀態(tài)向量