基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)概念教學(xué)初探獲獎(jiǎng)科研報(bào)告

基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)概念教學(xué)初探獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘要：傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教材還是教學(xué)活動(dòng)，都過(guò)分重視知識(shí)的呈現(xiàn)及邏輯的嚴(yán)密性而嚴(yán)重忽視了數(shù)學(xué)史的滲透和利用，以至“把火熱的發(fā)明變成了冷冰冰的美麗”。這一現(xiàn)狀隨著新課改的深入推進(jìn)已逐步得到改善，不僅新教材中各種形式的數(shù)學(xué)史材料亦豐富了很多，近些年基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)教學(xué)亦日漸受到重視。文章基于作者的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)較為具體地探討了基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)概念教學(xué)，冀對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;高中數(shù)學(xué);函數(shù)概念教學(xué);教學(xué)體會(huì)

本文擬結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)，對(duì)基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行較為具體的探討，冀對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

一、基于數(shù)學(xué)史進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)的必要性簡(jiǎn)析

常言道：“讀史使人明智?！睌?shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史不僅有利于學(xué)生更容易、更精準(zhǔn)和更深入地把握數(shù)學(xué)概念，更能向其揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展演變及其實(shí)際應(yīng)用，從而為其帶來(lái)多方面的啟發(fā)，這在一定程度上是有利于其數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的。事實(shí)上，新課標(biāo)對(duì)此亦有所強(qiáng)調(diào)，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)能展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用過(guò)程，教師的教學(xué)活動(dòng)要能為學(xué)生提供深刻感受和體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。因而在基于數(shù)學(xué)史的函數(shù)概念教學(xué)實(shí)施中，教師首先要能夠通過(guò)查閱資料清晰簡(jiǎn)潔地呈現(xiàn)函數(shù)概念的發(fā)展演化過(guò)程，至少要做到心中有數(shù)。函數(shù)是十分抽象的概念，其產(chǎn)生產(chǎn)生至今已有數(shù)百年的歷史，歷經(jīng)各代數(shù)學(xué)家的不斷充分、改進(jìn)和優(yōu)化而日趨完善，但也正由于這種長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程所帶來(lái)的層次性以及天然的抽象性，使得學(xué)生不易全面深入地理解概念，以至缺乏用函數(shù)思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，這就更突出了呈現(xiàn)函數(shù)概念發(fā)展過(guò)程即基于數(shù)學(xué)史教學(xué)的必要性。

二、基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)教學(xué)基本步驟

（一）梳理清楚函數(shù)概念的發(fā)展演化過(guò)程

根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果，十六世紀(jì)以前常量數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的主體，具體的函數(shù)關(guān)系雖很常見(jiàn)，但尚無(wú)一般性的抽象概念。隨著資本主義生產(chǎn)方式在歐洲的逐步確立，生產(chǎn)力科學(xué)技術(shù)快速發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)的研究需求日益迫切。最早提出變量思想的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在其《幾何學(xué)》一文中稱變量為“未知和未定的量”，并引入兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，這可以說(shuō)是函數(shù)概念的萌芽。

考證顯示，函數(shù)這一名詞最早由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨最先使用，時(shí)間大約是在十七世紀(jì)中期。但當(dāng)時(shí)尚無(wú)一般性的函數(shù)定義，“函數(shù)”一詞關(guān)系主要指一些具體的變量關(guān)系，這些關(guān)系都有其固定的表達(dá)式，且和曲線問(wèn)題緊密相關(guān)，即表示任何一個(gè)隨著曲線的點(diǎn)的變動(dòng)而變化的量，直到該世紀(jì)下半葉一些數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)一般化處理形成以下概念：“函數(shù)是這樣一個(gè)量，它是從一些其他的量通過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的。”

這樣的函數(shù)概念雖已具備了一般性和抽象性，但實(shí)際上局限在了代數(shù)函數(shù)的范圍，仍不具有普遍性。其后隨著數(shù)學(xué)研究的廣泛和深入，人們?cè)絹?lái)越多地接觸到諸如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等代數(shù)函數(shù)范圍以外的函數(shù)關(guān)系，于是數(shù)學(xué)家歐拉在原有基礎(chǔ)上又提出了如下更為一般化的概念：“函數(shù)是指由一個(gè)變量與一些常量，通過(guò)任何方式（有限的或無(wú)限的）形成的解析表達(dá)式?！边@一概念較原來(lái)為好，在十八世紀(jì)廣為普及，但由于將概念局限在了解析表達(dá)式上，仍然不具有普遍性。直到十九世紀(jì)，人們開(kāi)始擺脫解析表達(dá)式的限制，表述的重點(diǎn)逐漸往函數(shù)的本質(zhì)屬性靠近，其中以狄里克雷提出的函數(shù)概念最具代表性：“如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x值都有唯一的一個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，則y就是x的一個(gè)函數(shù)?！憋@而易見(jiàn)，這樣的概念已接近于初中的函數(shù)概念。由于這一定義抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了便利，成為較為完善的真正具有現(xiàn)代意義上函數(shù)概念。

（二）結(jié)合實(shí)例由初中到高中逐步過(guò)渡

當(dāng)函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程梳理到接近初中概念的階段后，教師就可以很自然地引出初中函數(shù)的概念，再進(jìn)一步過(guò)渡到高中函數(shù)概念，也就是最為“現(xiàn)代”函數(shù)概念。這樣，就將函數(shù)概念發(fā)展與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生從整體視角上了解函數(shù)概念的發(fā)展和演化，充分利用數(shù)學(xué)史幫助更好地掌握高中函數(shù)概念。

1、回顧初中函數(shù)概念

初中函數(shù)概念的形成基于在此之前的函數(shù)長(zhǎng)期的發(fā)展和演化過(guò)程，這一點(diǎn)上文已有詳細(xì)敘述，初中函數(shù)概念的表述側(cè)重于突出變量觀點(diǎn)，這是由學(xué)生在初中階段的思維特征和認(rèn)知水平所決定的，合乎于其從具體性形象性思維向抽象性邏輯性思維過(guò)渡的思維發(fā)展規(guī)律。初中函數(shù)概念的表述一般如下：在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了唯一的一個(gè)y值，則我們就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中函數(shù)概念時(shí)，可適當(dāng)結(jié)合具體實(shí)例，如：“汽車進(jìn)加油站加油，油價(jià)為7.19元/升，加油過(guò)程中，加油量和金額兩個(gè)窗口的數(shù)字不斷跳動(dòng)，當(dāng)加油量達(dá)到12升時(shí)停止跳動(dòng)。如果設(shè)金額為y，加油量為x，則兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式如何表示？”通過(guò)這樣的一個(gè)簡(jiǎn)單而典型的實(shí)例，可以更好地使學(xué)生回憶并切實(shí)理解初中函數(shù)概念的內(nèi)涵所在，同時(shí)也是一種思維預(yù)熱，為接下來(lái)學(xué)習(xí)和掌握高中函數(shù)概念奠定有利基礎(chǔ)。

2、引出高中函數(shù)概念

高中函數(shù)概念在初中概念的基礎(chǔ)上引入了數(shù)集，突出“對(duì)應(yīng)”，某種程度上更好地揭示了函數(shù)的本質(zhì)。在回顧初中函數(shù)概念后，教師即接著結(jié)合簡(jiǎn)單而典型的案例引導(dǎo)學(xué)生分析和討論兩個(gè)案例的共同特點(diǎn)，

綜上所述，本文基于筆者的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)，較為具體地探討了基于數(shù)學(xué)史的高中函數(shù)概