碰撞與沖擊動(dòng)力學(xué)

第1頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3-3彈性桿的共軸碰撞兩桿的共軸碰撞是應(yīng)力波產(chǎn)生并發(fā)生相互作用的典型問(wèn)題，本節(jié)先對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿之間的碰撞問(wèn)題進(jìn)行求解，包括橫截面相等和不等兩種情況，再針對(duì)有限長(zhǎng)桿的問(wèn)題進(jìn)行求解。第2頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3-3-1兩半無(wú)限長(zhǎng)桿的共軸碰撞[例3-3-1]如圖，兩截面完全相同的半無(wú)限長(zhǎng)桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無(wú)初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫(huà)出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖。第3頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[解]兩桿初始應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榱?，但初始質(zhì)點(diǎn)速度不為零，分別為v1和v2，撞擊后，在兩桿中分別形成了方向相反的強(qiáng)間斷彈性波，根據(jù)碰撞界面上壓力相等（等截面時(shí)應(yīng)力也相等）、質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，兩桿從碰撞面開(kāi)始應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度逐漸分別由和變?yōu)椤８鶕?jù)波的傳播情況可直接畫(huà)出波系圖和圖，波系圖中設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在兩桿碰撞面處。第4頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-3-1圖3-3-2波系圖中特征線(xiàn)OA和OB的方程分別為和。第5頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)波陣面上的動(dòng)量守恒條件，有：

某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖略。第6頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）若v1=0，相當(dāng)于對(duì)靜止桿的碰撞，有第7頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)兩材料波阻抗相等時(shí)，

此時(shí)若v1=0有

若v1=-v2<0，相當(dāng)于兩桿發(fā)生迎面碰撞，有圖3-3-3第8頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）若v1=0，∞，相當(dāng)于彈性桿對(duì)剛體的碰撞，有圖3-3-4第9頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）若∞，相當(dāng)于剛體對(duì)彈性桿的碰撞，有圖3-3-5第10頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例3-3-2]兩截面面積分別為A01和A02的半無(wú)限長(zhǎng)桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無(wú)初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫(huà)出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖。第11頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[解]根據(jù)碰撞界面上壓力相等、質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，由于兩桿橫截面不等，故界面處速度相等但應(yīng)力不相等，兩桿從碰撞面開(kāi)始應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度分別由和變?yōu)楹?。同樣，根?jù)波的傳播情況可直接畫(huà)出波系圖和圖，波系圖中仍設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在兩桿碰撞面處。圖中所給中的對(duì)應(yīng)于的情況。第12頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-3-6波系圖中特征線(xiàn)OA和OB的方程同前兩桿截面相同時(shí)的情況，分別為和。第13頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)波陣面上的動(dòng)量守恒條件，有：

某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖略。第14頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）當(dāng)兩材料波阻抗相等時(shí)，第15頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）若v1=0，∞，相當(dāng)于彈性桿對(duì)剛體的碰撞，有圖3-3-7（圖中對(duì)應(yīng)于A01>A02）第16頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）若∞，相當(dāng)于剛體對(duì)彈性桿的碰撞，有圖3-3-8第17頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3-3-2有限長(zhǎng)桿對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿的碰撞對(duì)于有限長(zhǎng)桿來(lái)說(shuō)，應(yīng)力波傳播到桿端會(huì)發(fā)生反射，反射后的波通過(guò)碰撞界面時(shí)發(fā)生反射和透射的情況與兩桿的波阻抗之間的關(guān)系息息相關(guān)。本節(jié)僅討論有限長(zhǎng)桿對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿的碰撞，即只考慮兩桿之一有桿端邊界的反射問(wèn)題。第18頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例3-3-3]如圖，兩截面完全相同的一維長(zhǎng)桿，其中有限長(zhǎng)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)2，聲阻抗為，半無(wú)限長(zhǎng)桿聲阻抗為，有限長(zhǎng)桿以速度v2撞擊靜止的半無(wú)限長(zhǎng)桿，兩桿初始應(yīng)力為零且無(wú)初始應(yīng)變，根據(jù)兩桿的波阻抗之間的關(guān)系分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫(huà)出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖。第19頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[解]兩桿撞擊后，由碰撞界面處背向碰撞面方向傳播一次彈性波，為壓縮波。設(shè)兩桿相撞時(shí)刻為時(shí)刻，當(dāng)時(shí)左傳播彈性波到達(dá)B2桿左端，在自由端面發(fā)生反射，向右傳播二次波，為稀疏波，使桿中應(yīng)力逐漸卸載為0，在時(shí)到達(dá)兩桿相接觸的界面，根據(jù)兩桿的波阻抗關(guān)系的不同，應(yīng)力波此后傳播的情況會(huì)不同，下面分別討論。第20頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）當(dāng)時(shí)兩桿波阻抗相等時(shí)（但兩桿的波速可能不同），波阻抗統(tǒng)一用表示，兩桿的波速分別用C01和C02表示。從B2桿左端面向右傳播的稀疏波（卸載波）在撞擊面處將無(wú)反射的進(jìn)行傳播。依據(jù)題意可畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和圖。圖3-3-9（圖中對(duì)應(yīng)于）

第21頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)和區(qū)由于兩桿橫截面積相等，滿(mǎn)足界面處應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，可統(tǒng)一用3區(qū)來(lái)表示。各區(qū)求解過(guò)程如下：

1區(qū)：2區(qū)：3區(qū)：第22頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4區(qū)：

或由

（疊加原理）即時(shí)，B2桿從左端自由界面開(kāi)始反射右傳卸載波，使桿中應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度逐漸卸載到0，時(shí)卸載波傳到碰撞界面，使碰撞界面處應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度卸載到0，意味著兩桿的撞擊結(jié)束。第23頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月歸納：對(duì)于4區(qū)這種向自由界面?zhèn)鞑ゲl(fā)生反射形成的三個(gè)區(qū)域——2、3、4區(qū)之間有這樣的關(guān)系，即

而類(lèi)似的區(qū)域如果是向固定端傳播和反射，則有

第24頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

5區(qū)：兩桿的撞擊結(jié)束，B1桿左端變成自由界面，卸載波繼續(xù)向B1桿中向右傳播，使桿中應(yīng)力變?yōu)?，則有

根據(jù)前面的分析及求解，當(dāng)時(shí)，兩桿在時(shí)刻碰撞結(jié)束，兩桿保持接觸不分離，但桿中應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度都變?yōu)?。第25頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由X-t圖可以看出，B1桿中有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時(shí)刻后B1桿中的應(yīng)力波形為一矩形波，通常稱(chēng)之為應(yīng)力脈沖，應(yīng)力脈沖的長(zhǎng)度（對(duì)應(yīng)于兩波的間距）由下圖可得為。

圖3-3-10

第26頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)，，即B1桿中所傳播的矩形應(yīng)力脈沖長(zhǎng)度是B2桿長(zhǎng)度的兩倍，此時(shí)若改變B2桿的長(zhǎng)度就可以獲得不同脈沖長(zhǎng)度的應(yīng)力脈沖，這就是在進(jìn)行有關(guān)的動(dòng)態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中控制脈沖長(zhǎng)度的常用方法。

第27頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)（當(dāng)時(shí)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于兩相同材料）所對(duì)應(yīng)的X-t圖確切來(lái)說(shuō)應(yīng)修正為下圖，但圖不變。圖3-3-11第28頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于軟→硬（軟材料撞擊硬材料）依據(jù)題意可畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和圖。圖3-3-12（圖中對(duì)應(yīng)于）第29頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點(diǎn)速度變?yōu)樨?fù)值，與B1桿脫離，并使B1桿左端變?yōu)樽杂啥?，由B2桿傳入的卸載波使B1桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，速度相應(yīng)也變?yōu)?。兩桿在時(shí)刻碰撞結(jié)束，并彼此脫離。

第30頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3區(qū)：

4區(qū)：

或根據(jù)前面的歸納直接可寫(xiě)出解值5區(qū)有：第31頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在B1桿中也是有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時(shí)刻后B1桿為一矩形應(yīng)力脈沖，長(zhǎng)度為。當(dāng)時(shí)，應(yīng)力脈沖長(zhǎng)度為。

當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的X-t圖的特征線(xiàn)也要作相應(yīng)修正。第32頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：若∞，相當(dāng)于有限長(zhǎng)桿→剛體，波形圖和圖如下。圖3-3-13第33頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

B1桿相當(dāng)于剛體，彈性桿撞擊靜止的半無(wú)限長(zhǎng)剛體，碰撞界面處有，應(yīng)力值近似解為。4區(qū)的質(zhì)點(diǎn)速度為，即彈性桿在時(shí)刻以大小相等的速度反彈。B1桿中在時(shí)間內(nèi)桿中均布著壓力，從時(shí)間開(kāi)始后，剛性桿中應(yīng)力馬上衰減到0，體現(xiàn)剛體受力的瞬時(shí)性。第34頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于硬→軟依據(jù)題意可初步畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和圖如下。圖3-3-14第35頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點(diǎn)速度仍為正值，由B2桿傳入B1桿中的卸載波在圖上是在3、0點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)上，但兩桿是相互脫離、碰撞結(jié)束還是保持接觸相互作用，還須進(jìn)一步進(jìn)行討論。如果兩桿相互作用結(jié)束，B1桿左端將成為自由端，即有，則相應(yīng)有，而，顯然B2桿仍會(huì)對(duì)B1桿發(fā)生進(jìn)一步的碰撞，也就是說(shuō)兩桿仍會(huì)相互作用下去，碰撞不會(huì)結(jié)束。則在兩桿碰撞界面上，由于兩桿波阻抗不相等，在界面上會(huì)有反射和透射，分別向B2桿發(fā)生反射和向B1桿發(fā)生透射。第36頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最終可畫(huà)出波系圖和圖如下，圖中只畫(huà)到了7區(qū)，實(shí)際上可一直延續(xù)畫(huà)下去，趨近無(wú)窮。圖3-3-15第37頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3區(qū)：

4區(qū)：第38頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5區(qū)：

6區(qū)：……第39頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由3-3-15圖以及以上各區(qū)的解可以看出，B2桿對(duì)B1桿的撞擊將進(jìn)行第二次、第三次…，直至無(wú)窮次撞擊，不過(guò)撞擊速度和應(yīng)力波的幅值逐次減小，直至趨進(jìn)于0。在時(shí)刻發(fā)生第n次撞擊。在B1桿中有先行的壓縮波和隨后幅值逐漸減小的一系列的卸載拉伸波，各相鄰兩波間距相等，為（當(dāng)時(shí)，相鄰兩波間距為）。當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的X-t圖的特征線(xiàn)同樣要作相應(yīng)修正。第40頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：若∞，相當(dāng)于剛體→半無(wú)限長(zhǎng)彈性桿，波形圖和圖如下。圖3-3-16第41頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖中可以看出，，即剛體對(duì)彈性桿的撞擊相當(dāng)于進(jìn)行恒速撞擊。界面處有。實(shí)際上，由于撞擊桿B2本身有初速v2，對(duì)于彈性桿B1，其左側(cè)相當(dāng)于剛壁面，根據(jù)前一節(jié)的討論，接觸面處恒有，由此也可得到。此解是將撞擊短桿作為剛體，實(shí)為近似解。第42頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月剛體對(duì)彈性體進(jìn)行碰撞后，作為剛體有，作為彈性體有。界面上應(yīng)力相等，則有上式整理并積分，有可得

（a）上式為撞擊后的精確解，體現(xiàn)出桿中質(zhì)點(diǎn)速度與應(yīng)力都隨時(shí)間有指數(shù)衰減的規(guī)律。第43頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面作近似處理。設(shè)Mt為時(shí)間t內(nèi)彈性波在傳過(guò)彈性長(zhǎng)桿所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量，有，則（a）式可變?yōu)椋焊鶕?jù)剛體假設(shè)，，則上式變?yōu)椋哼@與前面討論的結(jié)論一致。第44頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3-3-3有限長(zhǎng)桿與有限長(zhǎng)桿的碰撞相碰撞的兩桿均為有限長(zhǎng)桿，則分別會(huì)有壓縮波向兩桿中傳播，并且分別在兩桿的另一端的自由面發(fā)生反射，在一定時(shí)間后（時(shí)間可能相同，也右能不同）回到碰撞面，情形比較復(fù)雜。本小節(jié)將針對(duì)兩類(lèi)特殊的情形進(jìn)行討論，首先是兩桿發(fā)生碰撞，兩桿長(zhǎng)度之間滿(mǎn)足的關(guān)系，這樣壓縮波傳播到兩桿自由端的時(shí)間以及從自由端回到碰撞端的時(shí)間分別相等，這種情形還比較簡(jiǎn)單。另外，還簡(jiǎn)單討論三根材料及長(zhǎng)度和橫截面完全相等的三根桿的碰撞問(wèn)題。第45頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例3-3-4]如圖，兩截面完全相同的一維長(zhǎng)桿，聲阻抗分別為和，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和為L(zhǎng)2，設(shè)L1>L2并滿(mǎn)足條件。B2桿以速度v2撞擊靜止的B1桿，兩桿初始應(yīng)力為零且無(wú)初始應(yīng)變，根據(jù)兩桿的波阻抗之間的關(guān)系分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫(huà)出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的圖。第46頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[解]由于，L1>L2，故有。設(shè)兩桿發(fā)生碰撞時(shí)刻作為時(shí)間為0時(shí)刻，在時(shí)刻兩反向傳播的壓縮波分別到達(dá)桿各自的自由端，又在相同的時(shí)刻時(shí)，從自由端反射的兩拉伸波又回到碰撞面。故可初步畫(huà)出波系圖見(jiàn)圖3-3-17。此后兩桿中的參量值以及彼此的狀態(tài)關(guān)系與材料的波阻抗關(guān)系相關(guān)，下面仍分三類(lèi)情形進(jìn)行討論。第47頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖3-3-17第48頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）當(dāng)時(shí)此時(shí)的圖如下。圖3-3-18第49頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3區(qū)：

4區(qū)：或直接可給出結(jié)果5區(qū)：或直接可給出結(jié)果第50頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由3-3-17、3-3-18圖和4、5區(qū)解值可知，在時(shí)刻，B2桿靜止，B1桿以v2飛出，兩桿碰撞結(jié)束并脫離，B2桿的動(dòng)能全部傳遞給B1桿。

第51頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)時(shí)此時(shí)的圖如下。圖3-3-19第52頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3區(qū)：

4區(qū)：5區(qū)：第53頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖3-3-19及4、5區(qū)解可知，在時(shí)，B2桿以v4速度反彈，B1桿以速度v5（）向右飛出，兩桿碰撞結(jié)束并脫離，B2桿的動(dòng)能有一部分傳遞給B1桿。第54頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）當(dāng)時(shí)此時(shí)的波系圖和圖如下。圖3-3-20第55頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3區(qū)：

4區(qū)：5區(qū)：第56頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖3-3-20及4、5區(qū)解可知，在時(shí)，B1