高考數(shù)學一輪復習-二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件

第三節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1.在平面直角坐標系中，直線Ax＋By＋C＝0將平面內的所有點

分成三類：一類在直線Ax＋By＋C＝0上，另兩類分居直線Ax

＋By＋C＝0的兩側，其中一側半平面的點的坐標滿足Ax＋

By＋C＞0，另一側的半平面的點的坐標滿足

.Ax＋By＋C＜02.二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標系中表示直

線Ax＋By＋C＝0某一側的

且不含邊界，直線作圖

時邊界直線畫成

，當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By

＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線，此時

邊界直線畫成

.平面區(qū)域虛線實線3.不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示平面點集的

，因而是各個不等式所表示平面區(qū)域的

.

交集公共部分二、線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的

線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關于x，y的函數(shù)

，如z＝2x＋3y等線性目標函數(shù)關于x，y的

解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的最優(yōu)解使目標函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的

或

問題不等式(組)一次解析式一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值可行解與最優(yōu)解有何關系？最優(yōu)解是否唯一？提示：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.1.不等式5x－3y－1＞0表示的平面區(qū)域在直線5x－3y－1＝0

的(

)A.左上方B.左下方

C.右上方

D.右下方解析：如圖，在平面直角坐標系中，作出直線5x－3y－1＝0，如圖，將原點(0,0)代入直線方程得5×0－3×0－1＜0，∴不等式5x－3y－1＞0表示的平面區(qū)域在直線5x－3y－1＝0的右下方.答案：D2.不等式x2－y2≥0所表示的平面區(qū)域(陰影部分)是(

)答案：C3.不等式組表示平面區(qū)域為(

)

A.四邊形及其內部

B.等腰三角形及其內部

C.在第一象限內的一個無界區(qū)域

D.不包含第一象限內的點的一個有界區(qū)域解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，易知2x－y＋1＝0與x－2y－1＝0關于y＝x對稱，與x＋y＝1所成角相等，故不等式組表示的平面區(qū)域為等腰三角形及其內部.答案：B4.點P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的平面區(qū)域內且到直線x

－2y＋2＝0的距離等于，則點P的坐標為

.解析：∵3a＋4－3＞0?a＞－；或a＝11.答案：(1,4)或(11,4)5.若實數(shù)x、y滿足則s＝x＋y的最大值為

.解析：可行域如圖所示，作直線y＝－x，當平移直線y＝－x至點A處時，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.答案：9二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法(1)直線定界，特殊點定域注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.若直線不過原點，特殊點常選取原點；若直線過原點，則特殊點常選取(1,0)或(0,1)來驗證.(2)同號上，異號下即當B(Ax＋By＋C)＞0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方，當B(Ax＋By＋C)＜0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)如圖，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，寫出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.

(1)分別畫出每個不等式所表示的平面區(qū)域，然后取其公共部分；(2)先由兩點式分別求出直線AB、AC、BC的方程，然后寫出不等式組.【解】(1)不等式x＜3表示x＝3左側點的集合.不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方點的集合.不等式3x＋2y≥6表示直線3x＋2y－6＝0上及右上方點的集合.不等式3y＜x＋9表示直線3y－x－9＝0右下方點的集合.綜上可得：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.(2)由兩點式得直線AB、BC、CA的方程并化簡為：直線AB：x＋2y－2＝0，直線BC：x－y＋4＝0，直線CA：5x－2y＋2＝0.∴原點(0,0)不在各直線上，將原點坐標代入到各直線方程左端，結合式子的符號可得不等式組為1.(1)由不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是(

)A.2

B.1C.D.4(2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(

)解析：(1)不等式組表示的平面區(qū)域為：圖中陰影部分三角形面積為×1×2＝1.(2)由圖可知，線性規(guī)劃區(qū)域為△ABC邊界及內部，y＝kx＋恰過A(0，)，y＝kx＋將區(qū)域平均分成面積相等兩部分，故過BC的中點D答案：(1)B

(2)A1.利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：第

一步：在平面直角坐標系內作出可行域；第二步：利用平

移直線的方法在可行域內找到最優(yōu)解所對應的點；第三步：

將最優(yōu)解代入目標函數(shù)求出最大值或最小值.2.線性目標函數(shù)的最大值和最小值一般在可行域的頂點處或

邊界上取得.3.求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析目標函數(shù)所表示的

幾何意義，通常與截距、斜率、距離等聯(lián)系.已知實數(shù)x，y滿足(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝，求z的最大值和最小值.

(1)中z表示直線在y軸上的截距.(2)中表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率.【解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

圖中陰影部分即為可行域.由得由由∴∴M(2,3).(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，當直線y＝－2x＋z經過可行域內點M(2,3)時，直線在y軸上的截距最大，z也最大，此時zmax＝2×2＋3＝7.當直線y＝－2x＋z經過可行域內點A(1,2)時，直線在y軸上的截距最小，z也最小，此時zmin＝2×1＋2＝4.所以z的最大值為7，最小值為4.(2)∵kOA＝2，kOB＝所以z的最大值為2，z的最小值為.2.(1)已知點P(x，y)滿足條件(k為常數(shù))，若z＝

x＋3y的最大值

為8，則k＝

.(2)不等式組所確定的平面區(qū)域記為D，若圓

O：x2＋y2＝r2上的所有點都在區(qū)域D內，則圓O的面積的最

大值是

.解析：(1)目標函數(shù)在點(2,2)處取得最大值，所以k＝－6.(2)畫出可行域如圖：⊙O的所有點在△ABC內，圓心O到直線BC的距離為⊙O半徑最大值，答案：（1）-6（2）解決線性規(guī)劃實際應用題的一般步驟(1)認真審題分析，設出未知數(shù)，寫出線性約束條件和目標函數(shù).(2)作出可行域.(3)作出目標函數(shù)值為零時對應的直線l.(4)在可行域內平行移動直線l，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或是有無窮最優(yōu)解或無最優(yōu)解.(5)求出最優(yōu)解，從而得到目標函數(shù)的最值.【注意】解線性規(guī)劃問題的關鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范，假若圖上的最優(yōu)點并不明顯時，不妨將幾個有可能是最優(yōu)點的坐標都求出來，然后逐一檢驗，以“驗明正身”.另外對最優(yōu)整數(shù)解問題，可使用“局部微調法”，此方法的優(yōu)點是思路清晰，操作簡單，便于掌握.用“局部微調法”求整點最優(yōu)解的關鍵是“微調”，其步驟可用以下十二字概括：微調整、求交點、取范圍、找整解.某公司倉庫A存有貨物12噸，倉庫B存有貨物8噸，現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調運給甲、乙、丙三個商店.從倉庫A運貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為8元、6元、9元；從倉庫B運貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為3元、4元、5元.問應如何安排調運方案，才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少？由于題目中量比較多，所以最好通過列出表格以便清晰地展現(xiàn)題目中的條件.設出倉庫A運給甲、乙商店的貨物噸數(shù)可得運到丙商店的貨物噸數(shù)，列出可行域，即可求解.

商店

每噸運費倉庫甲乙丙A869B345解：已知數(shù)據(jù)列成下表

設倉庫A運給甲、乙商店的貨物分別為x噸，y噸，則倉庫A運給丙商店的貨物為(12－x－y)噸，從而倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7－x)噸、(8－y)噸、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)噸，于是總運費為z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.

∴線性約束條件為目標函數(shù)為z＝x－2y＋126.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作出直線l：x－2y＝0，把直線l平行移動，顯然當直線l移動到過點(0,8)時，在可行域內z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110，則x＝0，y＝8時總運費最少.安排的調運方案如下：倉庫A運給甲、乙、丙商店的貨物分別為0噸、8噸、4噸，倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為7噸、0噸、1噸，此時可使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少.3.某公司計劃2010年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300

分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告

收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，假定甲、乙兩個

電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分

別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視

臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬

元？

解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標函數(shù)z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x＝100，y＝200.∴點M的坐標為(100,200)，∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元).答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元.從近