第四章1講平面向量概念及線性運算

第1 向量：零向量：0單位向量：1平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0相等向量：ab向量－b的和的λa|λa|＝|λ||a|λ>0時，λaa的方向相同；λ<0時，λaaλ＝0時，λλ(μa)＝(λμ)a；baλ在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0λA，P，B三點共線?→＝

≠0)?→

→＋

→＋

A，P，B

1.習(xí)題改編下列結(jié)論正確的是 Ba，bDAB＝AC，則→＝[解析]如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點，則向量→ A．－→1B．－→1→1→1[解析]因為

→1

→13．(2017·東北三省四市聯(lián)考)ABCD中，若＝→ABCD 定是 B．菱C．正方 [解析]依題意得→＝→，則＝，因此BC∥AD，且ABCD是平行四邊形，

1→

[解析]A，B，D三點共線，于是有 3[答案]3 (a，b表示[解析]如圖

[答案] 給出下列命題：

平面向量的有關(guān)概念[學(xué)生P91]abab③向量→與向量A、B、C、D其中正確命題的個數(shù)為 】①③不正確，共線向量所在的直線可以重合，④不正確b＝0時，ac【答案 給出下列命題：③若λa＝0(λ為實數(shù))λ④若λa＝μb(λ，μ為實數(shù))，則a與b共線． ＝μb＝0，此時，ab 卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，→＝→，則 1→4→1→4→4→1→4→1 卷)在△ABC中點MN滿足→＝

＝＝→＋則

【解析

→1 →1 4→1 1→4(2)因為＝，所以＝2 因為 →1

→1→ 2＝1→1又 MN＝xAB＋yAC，【答案 角度一

1→1

3→13→11→3[解析]因為

→1 AB＝－2CD1 →1→ 3→1故選角度二 2DABCBCP滿足→＋→＝0

實數(shù)λ的值 [解析]DBC的中點，所以→＝

所AP＝λPD比較，AP＝λPD比較，[答案]

ab不共線．(1)若→＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)，求證：A，B，D(2)kka＋ba＋kb【解 (1)證明：因為→＝a＋b，→＝2a＋8b，→ 所以 AB，BD共線，A，B，D(2)ka＋ba＋kb共線λ，即a，b是兩個不共線的非零向量k－λ＝λk－1＝0.k2－1＝0.若將本例(2)k[解]ka＋ba＋kb反向共線λ，所以 所以λ＜0，k＝λ，k＝－1時，如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)BC，AC的中點，→2，→＝a，AE＝3AD→(1)a，b表示向量→→→→；(2)求證：B，E，F(xiàn)[解1)ADG，使＝1 BG，CG，所以→1→→2→→1→→→→ →→→ (2)證明：由(1)可知→＝2→， 又因為→→B，E，F(xiàn)[學(xué)生P282(獨立成冊)]1．下列各式中不能化簡為→的是( →B．→＋→＋ →

→＋→

→→→ ]] → 顯然由 所以不能化簡為2A，B，C，D①→ [解析]①式的等價式是→＝，左邊＝→，右邊＝不一定相等；②式的等價式是＝＝＝→成立；③價式是

與△PBC的面積的比值是

[解析]因為

→，所以|CP|＝2，又△PABPA上的高與△PBCPC

→

的高相等，

4a，b，ca＋bc共線，b＋caa＋b＋c等于)[解析]a＋bc共線，所以a＋b＝λ1c.①b＋ca共線，所以b＋c＝λ2a.由①所以

即5．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的( [解析]a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，若|a＋b|＝|a|＋|b|，ab同向共線，即a＝λb，且λ＞0，故q?/p.pq的充分不必要條件，6．(2017·石家莊市第一次?？?A，B，COCOABD，若＝

C．(1，2 D．(0， [解析]由題意可得→＝→ → ＜k＜1)，又A，D，B三點共線kkλ＋kμ＝1，λ＋μ＝1＞1，λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)，Bk若→＝8，→＝5，則[

→＝

]AC－AB，當(dāng)AB，AC同向時，|BC|＝8－5＝3；當(dāng)AB，AC反向時]AC－AB，當(dāng)AB，AC同向時，|BC|＝8－5＝3；當(dāng)AB，AC反向時[答案

→，M為BC的中點，則→ a，b表示

3 3[解析]3

，

→＝→ a＋1 所以

統(tǒng)考)已知a與－b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ的值為 [解析]a＋λb與－(b－3a)共線μ，

3即3

所以

在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，點ECD上，若→＝→＋→，則μ的取值范圍 [解析]AD＝1，CD＝所以 因為點E段CD上因為又 →2μAE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λ λ＝1，μ＝2.0≤λ≤1，[答案]

a，bA，M，C →

－1 [解EAD中點

所以→1→ EF是梯形的中位線，且→＝所以→＝1→→

2 M，NEF的三等分點，所以＝1所以

→

1 (2)證明：由(1)知＝2

→

MC與AMM，MC與AMM，A，M，CO