湖南省婁底市山溪中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省婁底市山溪中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則x的取值范圍是（）A．R B． C． D．?參考答案：C【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】把不等式兩邊化為同底數(shù)，然后利用指數(shù)式的單調(diào)性求解．【解答】解：由，得2x＞21﹣x，即x＞1﹣x，∴x．∴x的取值范圍是x．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)不等式的解法，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．2.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿(mǎn)足，，數(shù)列{an}滿(mǎn)足，且，(其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和).則（）A.3 B.－2 C.－3 D.2參考答案：A由奇函數(shù)滿(mǎn)足可知該函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，由遞推關(guān)系可得：,兩式做差有：，即，即數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故：，綜上有：，，則：.本題選擇A選項(xiàng).3.已知0＜＜1，m>1，則函數(shù)的圖象大致為參考答案：B4.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（）A．3π B．3π C．6π D．9π參考答案：A【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】先求出圓錐的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，然后再求圓錐的全面積．【解答】解：一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則它的邊長(zhǎng)是a，所以，∴a=2，這個(gè)圓錐的全面積是：×2π×2=3π故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．5.已知平面向量滿(mǎn)足：，，，若，則的值為（

）A. B. C.1 D.-1參考答案：C【分析】將代入，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6.△ABC中，，，則△ABC一定是（

）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形參考答案：D【分析】根據(jù)余弦定理得到，進(jìn)而得到三個(gè)角相等，是等邊三角形.【詳解】中，，,故得到，故得到角A等于角C，三角形等邊三角形.故答案為：D.7.在R上定義運(yùn)算?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），則a+b的值為(

)A．1B．2C．4D．8參考答案：C考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專(zhuān)題：新定義．分析：根據(jù)定義，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集．解答：解：∵x?y=x（1﹣y），∴（x﹣a）?（x﹣b）＞0得（x﹣a）＞0，即（x﹣a）（x﹣b﹣1）＜0，∵不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），∴x=2，和x=3是方程（x﹣a）（x﹣b﹣1）=0的根，即x1=a或x2=1+b，∴x1+x2=a+b+1=2+3，∴a+b=4，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法，利用新定義列出不等式是解決本題的關(guān)鍵．

8.圓心為的圓C與圓相外切，則圓C的方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標(biāo)為，半徑r為3，圓心距為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以有,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9.某時(shí)段內(nèi)共有100輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速頻率分布直方圖如圖2所示，則時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量為（）A．38輛

B．28輛

C．10輛

D．5輛參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】樣本的頻率估計(jì)總體分布.A解：根據(jù)頻率分步直方圖可知時(shí)速超過(guò)60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，

∵共有100輛車(chē)∴時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量為0.38×100=38（輛）

故選A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)頻率分步直方圖看出時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)的頻率比組距的值，用這個(gè)值乘以組距，得到這個(gè)范圍中的頻率，用頻率當(dāng)概率，乘以100，得到時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量．10.橢圓25x2+16y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（±3，0） B．（±，0） C．（±，0） D．（0，±）參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】將橢圓的方程25x2+16y2=1為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得a2=，b2=，即可求得答案．【解答】解：橢圓的方程25x2+16y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：=1，∴a2=，b2=，∴c2=a2﹣b2=，又該橢圓焦點(diǎn)在y軸，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，±）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖像，則

參考答案：略12.若不等式的解集為，則不等式的解集為

．參考答案：

13.已知常數(shù)，若函數(shù)在R上恒有，且，則函數(shù)在區(qū)間[－5,14]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.參考答案：15【分析】根據(jù)可得函數(shù)周期，作出函數(shù)一個(gè)周期上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】函數(shù)在上恒有,,函數(shù)周期為4.常數(shù),,函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn),即函數(shù)與直線(xiàn)及直線(xiàn)之間的直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由，可得函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，做草圖如下：由圖可知，在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上有15個(gè)零點(diǎn).故填15【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，涉及數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用，屬于難題.14.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為

．

1234500．691．101．391．61參考答案：略15.（5分）將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)左移個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是

．參考答案：y=cosx考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專(zhuān)題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由條件利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．解答： 將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)左移個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y=sin（x+）=cosx，故答案為：y=cosx．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．16.在數(shù)列{an}中，，則數(shù)列的通項(xiàng)________.參考答案：【分析】根據(jù)遞推公式特征，可以采用累加法，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)也適用，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了累和法求數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.17.若2x1+3y1=4，2x2+3y2=4，則過(guò)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）的直線(xiàn)方程是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，,且(1)求函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)時(shí),的最小值是－4,求此時(shí)函數(shù)的最大值,并求出相應(yīng)的x的值.參考答案：（1）函數(shù)的最小正周期π（2）,此時(shí),.(1)即——4分(2)——6分由,,,,——8分,此時(shí),.——10分19.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并求使成立的實(shí)數(shù)m最小值.參考答案：（1）；（2），.【分析】（1）由已知可先求得首項(xiàng)，然后由，得，兩式相減后可得數(shù)列的遞推式，結(jié)合得數(shù)列是等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；（2）對(duì)數(shù)列可用錯(cuò)位相減法求其和．不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為先求的最大值．【詳解】（1）由得.由，可知，可得，即.因?yàn)椋裕室虼耸鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知.所以①兩邊同乘以得②①②相減得從而于是，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)椋?當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，因此.因?yàn)?，所以，的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查錯(cuò)位相減法求和．適用錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列一般是，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．20.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的定義域A；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于的方程總有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解:

(1)由有意義當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),的定義域?yàn)?2)對(duì)任意實(shí)數(shù)方程總有解,則的值域?yàn)閯t至少有一解,，實(shí)數(shù)的取值范圍

21.（本小題滿(mǎn)分12分）某產(chǎn)品生產(chǎn)廠(chǎng)家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品（百臺(tái)），其總成本為（萬(wàn)元），其中固定成本為萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)百臺(tái)的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）；銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）滿(mǎn)足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律:（Ⅰ）要使工廠(chǎng)有贏利，產(chǎn)量應(yīng)控制在什么范圍？（Ⅱ）工廠(chǎng)生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？參考答案：解：依題意，.設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，則

(Ⅰ)要使工廠(chǎng)有贏利，即解不等式，當(dāng)時(shí)，解不等式即.∴

∴。當(dāng)x>5時(shí)，解不等式，得?！唷＞C上所述，要使工廠(chǎng)贏利，應(yīng)滿(mǎn)足，即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi)。(Ⅱ)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有最大值3.6.而當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)工廠(chǎng)生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多.22.（10分）已知函數(shù)f（x）=k?2x+2﹣x（k是常數(shù)）．（1）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，求k的值；（2）若對(duì)于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)恒成立問(wèn)題．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）運(yùn)用f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，求解得出k=﹣1，（2））解法1：對(duì)于任意x∈，不等式都成立．轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．解法2：對(duì)于任意，不等式k?t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k?t2﹣t+1．分類(lèi)討論求解轉(zhuǎn)化為不等式組求解即可．解答： （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（﹣x）=﹣f（x），令x=0，所以f（0）=0，即k?20+20=0，即k+1=0，解得k=﹣1，此時(shí)f（x）=﹣2x+2x，因?yàn)閒（﹣x）=﹣2﹣x+2x，即f（﹣x）=﹣（﹣2x+2﹣x），則f（﹣x）=﹣f（x）．所以當(dāng)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，k=﹣1．（2）解法1：由題意知對(duì)于任意x∈，不等式k?2x+2﹣x＜1都成立．即對(duì)于任意x∈，不等式都成立．因?yàn)?x＞0，則對(duì)于任意x∈，不等式都成立．令，則，且對(duì)于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．因?yàn)?，所以，即（﹣t2+t）min=﹣56，因此k＜﹣56．解法2：由題意知對(duì)于任意x∈，不等式k?2x+2﹣x＜1都成立．因?yàn)?x＞0，所以對(duì)于任意x∈，不等式k?（2x）2﹣2x+1＜0