2022-2023學年廣東省深圳市南山區(qū)南頭城學校八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

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學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.如圖汽車標志中不是中心對稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.已知，則下列選項不正確是()

A.B.C.D.

3.已知點和點關(guān)于原點對稱，則的值為()

A.B.C.D.

4.把多項式分解因式，結(jié)果正確的是()

A.B.C.D.

5.不等式組的解集在數(shù)軸上應表示為()

A.B.C.D.

6.下列命題的逆命題正確的是()

A.兩條直線平行，內(nèi)錯角相等B.若兩個實數(shù)相等，則它們的絕對值相等

C.全等三角形的對應角相等D.若兩個實數(shù)相等，則它們的平方也相等

7.如圖，在等邊三角形中，，是邊上一點，且，則的長為()

A.

B.

C.

D.

8.若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有個，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

9.如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是()

A.

B.

C.

D.

10.一副三角板如圖擺放，點是角三角板的斜邊的中點，當角三角板的直角頂點繞著點旋轉(zhuǎn)時，直角邊，分別與，相交于點，在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：：四邊形有可能為正方形；長度的最小值為；四邊形的面積保持不變；面積的最大值為其中正確的個數(shù)是()

A.B.C.D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.不等式組的整數(shù)解為______．

12.已知等腰三角形的兩邊分別為厘米和厘米，則周長是______厘米．

13.如圖，點，的坐標分別為，，將線段平移至，若點，的坐標分別為，，則的值為______．

14.如圖，，，，若，則的長為______．

15.如圖，是邊長為的等邊三角形，將向右平移得到第個等邊三角形，再將向右平移得第個等邊三角形，重復以上做法得到第個等邊三角形，若在的邊上，則的值是______．

三、解答題（本大題共7小題，共55.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.本小題分

分解因式：

；

；

；

解不等式組；

解不等式組．

17.本小題分

已知，，先因式分解，再求值：．

18.本小題分

如圖，在邊長為的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點為原點．

將向下平移個單位后得到，請在圖中畫出，其中，點的坐標為______．

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，請在圖中畫出，其中，點的坐標為______．

在的旋轉(zhuǎn)過程中，求線段掃過圖形的面積．

19.本小題分

如圖，在中，，、是腰、上的高，交于點．

求證：．

若，求的度數(shù)．

20.本小題分

某中學決定開設“足球大課間活動”，準備購買、兩種品牌的足球，已知購買個品牌足球和個品牌足球，需元；購買個品牌足球和個品牌足球，需元．

求、兩種品牌足球的單價各多少元？

若學校決定購進品牌的足球不少于個，且此次學校購買、兩種品牌足球的總費用不超過元，現(xiàn)需要購買兩種品牌的足球共個，問有幾種購買方案？為了節(jié)約資金，學校應選擇哪種方案？

21.本小題分

如圖，在中，平分，，于點，點在上，．

求證：．

若，，求的長．

22.本小題分

探究題：特殊情景：

如圖，在四邊形中，，以點為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于點，，且，連接，若，探究：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：______．

提示：延長到，使，鏈接

類比猜想：類比特殊情景，在上述條件下，把“”改成一股情況“，”如圖，小明猜想：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明結(jié)論．

解決問題：如圖，在中，，，點，均在邊上，且，若，計算的長度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是中心對稱圖形．故錯誤；

B、不是中心對稱圖形．故正確；

C、是中心對稱圖形．故錯誤；

D、是中心對稱圖形．故錯誤．

故選：．

根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．

本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．

2.【答案】

【解析】解：，

，故本選項符合題意；

B.，

，故本選項不符合題意；

C.，

，故本選項不符合題意；

D.，，

，故本選項不符合題意；

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都加或減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

3.【答案】

【解析】解：點和點關(guān)于原點對稱，

，

故選：．

平面內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，據(jù)此可得的值．

本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點關(guān)于原點的對稱點是．

4.【答案】

【解析】解：，

故選：．

直接提取公因式即可．

此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．

5.【答案】

【解析】解：不等式組的解集是，在數(shù)軸上可表示為：

故選：．

根據(jù)不等式畫出數(shù)軸，實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．

本題考查不等式組解集的表示方法．把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來向右畫；，向左畫，在表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．

6.【答案】

【解析】解：、兩條直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題為內(nèi)錯角相等，兩條直線平行，故本選項正確，符合題意；

B、若兩個實數(shù)相等，則它們的絕對值相等的逆命題為若兩個實數(shù)的絕對值相等，則這兩個實數(shù)相等，故本選項錯誤，不符合題意；

C、全等三角形的對應角相等的逆命題為對應角相等的三角形是全等三角形，故本選項錯誤，不符合題意；

D、若兩個實數(shù)相等，則它們的平方也相等的逆命題是若兩個實數(shù)的平方相等，則它們相等，故本選項錯誤，不符合題意；

故選：．

利用平行線的性質(zhì)、實數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識分別判斷后即可確定正確的選項．

考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的寫出一個命題的逆命題，難度不大．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用等邊三角形的三線合一，找出為的中線是解題的關(guān)鍵．

由為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出，，結(jié)合，可得出，進而可得出為的角平分線，再利用等邊三角形的三線合一可得出為的中線，結(jié)合即可求出的長．

【解答】

解：為等邊三角形，

，．

，

，

為的角平分線，

為的中線，

．

故選：．

8.【答案】

【解析】解：不等式組整理得：，即，

所以不等式組的整數(shù)解有個整數(shù)解為，，

則的范圍為．

故選：．

表示出不等式組的解集，由整數(shù)解有個，確定出的范圍即可．

此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

9.【答案】

【解析】解：函數(shù)與的圖象相交于點，

關(guān)于的不等式的解集是：．

故選：．

利用函數(shù)圖象得出不等式的解集．

此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出答案．

10.【答案】

【解析】解：連接，

為中點，，，

，，

．

，，

．

同理，，，

，

在與中，

，

≌，

．

故正確；

當時，四邊形是矩形，此時，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知正確；

連接，當為的中點時，，根據(jù)邊長為知，此時最小，最小值為，故錯誤；

當、分別為、中點時，四邊形是正方形．

≌，

．

故正確；

由于是等腰直角三角形，因此當最小時，也最??；

即當時，最小，此時．

；

當面積最大時，此時的面積最?。?/p>

此時，

故正確．

故選：．

利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個結(jié)論，找到正確的即可．

此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題．

11.【答案】，

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式組的解集為，

不等式組的整數(shù)解為，，

故答案為：，．

分別求出不等式組中每個不等式的解集，從而得到不等式組的解集，即可得出答案．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

12.【答案】或

【解析】解：當厘米為腰時，由，則，，能構(gòu)成三角形；此時三角形周長為厘米．

當厘米為腰時，由，則，，能構(gòu)成三角形，此時三角形周長為厘米．

故答案為：或．

分兩種情況厘米為腰時和厘米為腰兩種情況，并根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和三角形周長的公式即可解答．

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識點，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：、的坐標分別為、將線段平移至，若、的坐標分別為、，

向右平移個單位，向上平移個單位得到，，

，，

，

故答案為：．

根據(jù)平移變化的規(guī)律解決問題即可．

本題考查的是坐標與圖形變化平移，牢記平面直角坐標系內(nèi)點的平移規(guī)律：上加下減、右加左減是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：過作，交與點，

，，，

，

，

，

又，

，

又為的外角，

，

在直角三角形中，，，

，

則．

故答案為：．

過作垂直于，由，垂直于，利用角平分線定理得到，由與平行，根據(jù)兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，又為角平分線得到一對角相等，等量代換可得，又為三角形的外角，利用三角形外角的性質(zhì)求出，在直角三角形中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊的長求出的長，即得的長．

此題考查了含角直角三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．同時注意輔助線的作法．

15.【答案】或

【解析】解：過點作于．

是邊長為的等邊三角形，，

，，

縱坐標為的點在邊上或邊上，其垂足是的三等分點．

，，

若在邊上，則的值是或．

故答案為：或．

過點作于，先解直角，得，，即縱坐標為的點在邊上或邊上，其垂足在的三等分點，然后求出，的長度，進而求出的值．

本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，有一定難度．得出在中，縱坐標為的點在邊上或邊上，其垂足在的三等分點是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：

；

；

；

，

解，得，

解，得，

原不等式組的解集為；

，

解，得，

解，得，

原不等式組的解集為．

【解析】利用提公因式法分解；

利用平方差公式分解；

利用完全平方公式分解；

先解組中的每一個不等式，再確定不等式組的解集．

本題主要考查了因式分解和解一元一次不等式組，掌握因式分解的方法和一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：

，

當，時，

原式

．

【解析】先將原式提公因式后再利用完全平方公式進行因式分解，然后代入已知數(shù)值進行計算即可．

本題主要考查因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法并正確進行因式分解是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】

【解析】解：如圖，即為所求，點的坐標為．

故答案為：；

如圖，即為所求，點的坐標為．

故答案為：；

，

線段掃過圖形的面積．

利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應點，，即可；

利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，的對應點，即可；

求出，利用扇形的面積公式求解．

本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．

19.【答案】證明：，

，

、是的兩條高線，

，

在和中，

，

≌，

，，

在和中，

，

≌，

；

解：，，

，

．

【解析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后利用高線的定義得到，從而得證；

首先求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；關(guān)鍵是掌握等腰三角形等角對等邊．

20.【答案】解：設品牌足球的單價是元，品牌足球的單價是元，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：品牌足球的單價是元，品牌足球的單價是元；

設購買個品牌的足球，則購買個品牌的足球，

根據(jù)題意得：，

解得：，

又為正整數(shù)，

可以為，，，

該校共有種購買方案，

方案：購買個品牌的足球，個品牌的足球，所需總費用為元；

方案：購買個品牌的足球，個品牌的足球，所需總費用為元；

方案：購買個品牌的足球，個品牌的足球，所需總費用為元．

，

為了節(jié)約資金，學校應購買個品牌的足球，個品牌的足球．

【解析】設品牌足球的單價是元，品牌足球的單價是元，根據(jù)“購買個品牌足球和個品牌足球，需元；購買個品牌足球和個品牌足球，需元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

設購買個品牌的足球，則購買個品牌的足球，根據(jù)“購進品牌的足球不少于個，且此次學校購買、兩種品牌足球的總費用不超過元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出各購買方案，再求出各購買方案所需總費用，比較后即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量