浙江省溫州市2023-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類（含解析）

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浙江省溫州市2023-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類

一．分式的加減法（共1小題）

1．（2023溫州）計算：

（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；

（2）﹣．

二．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

2．（2023溫州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，m）在直線y＝2x﹣上，過點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求m的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P（t，y1）在線段AB上，點(diǎn)Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．

三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

3．（2023溫州）某公司生產(chǎn)的一種營養(yǎng)品信息如表．已知甲食材每千克的進(jìn)價是乙食材的2倍，用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克．

營養(yǎng)品信息表

營養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克

配料表原料每千克含鐵

甲食材50毫克

乙食材10毫克

規(guī)格每包食材含量每包單價

A包裝1千克45元

B包裝0.25千克12元

（1）問甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價分別是多少元？

（2）該公司每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．

①問每日購進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？

②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時，每日所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？

四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

4．（2023溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．

五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5．（2022溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．

如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？

素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．

素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．

問題解決

任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．

任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

六．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共2小題）

6．（2022溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時，求FG的長．

7．（2023溫州）如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時，求BD的長．

七．圓的綜合題（共2小題）

8．（2022溫州）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知BC＝5，BE＝3，點(diǎn)P，Q分別在線段AB，BE上（不與端點(diǎn)重合），且滿足＝．設(shè)BQ＝x，CP＝y(tǒng)．

（1）求半圓O的半徑．

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

（3）如圖2，過點(diǎn)P作PR⊥CE于點(diǎn)R，連結(jié)PQ，RQ．

①當(dāng)△PQR為直角三角形時，求x的值．

②作點(diǎn)F關(guān)于QR的對稱點(diǎn)F′，當(dāng)點(diǎn)F′落在BC上時，求的值．

9．（2023溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（2，0），B（0，8），連結(jié)AB．直線CM分別交⊙M于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D在左側(cè)），交x軸于點(diǎn)C（17，0），連結(jié)AE．

（1）求⊙M的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)D，E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在線段AC上，連結(jié)PE．當(dāng)∠AEP與△OBD的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的OP的長．

八．利用平移設(shè)計圖案（共1小題）

10．（2023溫州）如圖中4×4與6×6的方格都是由邊長為1的小正方形組成．圖1是繪成的七巧板圖案，它由7個圖形組成，請按以下要求選擇其中一個并在圖2、圖3中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

（1）選一個四邊形畫在圖2中，使點(diǎn)P為它的一個頂點(diǎn)，并畫出將它向右平移3個單位后所得的圖形．

（2）選一個合適的三角形，將它的各邊長擴(kuò)大到原來的倍，畫在圖3中．

九．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）

11．（2023溫州）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個小方格的邊長為1．已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

（1）在圖1中畫一個等腰三角形PEF，使底邊長為，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，再畫出該三角形繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；

（2）在圖2中畫一個Rt△PQR，使∠P＝45°，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)R在AD上，再畫出該三角形向右平移1個單位后的圖形．

一十．相似形綜合題（共1小題）

12．（2023溫州）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知OA＝，AC＝1．如圖2，連結(jié)AF，P為線段AF上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線分別交CE，BE于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)PH＝x，MN＝y(tǒng)．

（1）求CE的長和y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PH＜PN，且長度分別等于PH，PN，a的三條線段組成的三角形與△BCE相似時，求a的值；

（3）延長PN交半圓O于點(diǎn)Q，當(dāng)NQ＝x﹣3時，求MN的長．

一十一．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

13．（2023溫州）根據(jù)背景素材，探索解決問題．

測算發(fā)射塔的高度

背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度MN（如圖1），他們通過自制的測傾儀（如圖2）在A，B，C三個位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發(fā)射塔的高度

問題解決

任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個觀測位置：點(diǎn)和點(diǎn)．

獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點(diǎn)之間的圖上距離．

任務(wù)2推理計算計算發(fā)射塔的圖上高度MN．

任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度DE為12米，請通過測量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．

注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1mm．

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參考答案與試題解析

一．分式的加減法（共1小題）

1．（2023溫州）計算：

（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；

（2）﹣．

【答案】（1）12；

（2）a﹣1．

【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4

＝12；

（2）原式＝

＝

＝a﹣1．

二．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

2．（2023溫州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，m）在直線y＝2x﹣上，過點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求m的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P（t，y1）在線段AB上，點(diǎn)Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．

【答案】（1）m＝；直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3．

（2）當(dāng)t＝0，y1﹣y2的最大值為．

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；

設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：

，解得，

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3．

（2）∵點(diǎn)P（t，y1）在線段AB上，

∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），

∵點(diǎn)Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，

∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，

∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，

∵﹣＜0，

∴y1﹣y2隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t＝0，y1﹣y2的最大值為．

三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

3．（2023溫州）某公司生產(chǎn)的一種營養(yǎng)品信息如表．已知甲食材每千克的進(jìn)價是乙食材的2倍，用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克．

營養(yǎng)品信息表

營養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克

配料表原料每千克含鐵

甲食材50毫克

乙食材10毫克

規(guī)格每包食材含量每包單價

A包裝1千克45元

B包裝0.25千克12元

（1）問甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價分別是多少元？

（2）該公司每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．

①問每日購進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？

②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時，每日所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？

【答案】（1）甲食材每千克進(jìn)價為40元，乙食材每千克進(jìn)價為20元；（2）①每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；②當(dāng)A為400包時，總利潤最大，最大總利潤為2800元．

【解答】解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價為a元，則甲食材每千克進(jìn)價為2a元，

由題意得，

解得a＝20，

經(jīng)檢驗(yàn)，a＝20是所列方程的根，且符合題意，

∴2a＝40（元），

答：甲食材每千克進(jìn)價為40元，乙食材每千克進(jìn)價為20元；

（2）①設(shè)每日購進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克，

由題意得，解得，

答：每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；

②設(shè)A為m包，則B為＝（2000﹣4m）包，

∵A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，

∴m≥2000﹣4m，

∴m≥400，

設(shè)總利潤為W元，根據(jù)題意得：

W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，

∵k＝﹣3＜0，

∴W隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m＝400時，W的最大值為2800，

答：當(dāng)A為400包時，總利潤最大，最大總利潤為2800元．

四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

4．（2023溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．

（2）﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．

【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，

解得a＝1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣8，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9）．

（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，

∴m＝16，

把y＝7代入函數(shù)解析式得7＝x2﹣2x﹣8，

解得x＝5或x＝﹣3，

∴n＝5或n＝﹣3，

∵n為正數(shù)，

∴n＝5，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，16），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，7）．

∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9），

∴拋物線頂點(diǎn)在AB下方，

∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．

五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5．（2022溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．

如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？

素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．

素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．

問題解決

任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．

任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

【答案】任務(wù)1：y＝﹣x2；

任務(wù)2：﹣1.8m，﹣6≤x≤6；

任務(wù)3：掛7盞或8盞，橫坐標(biāo)分別為﹣4.8和﹣5.6，方案見解答．

【解答】解：任務(wù)1：

以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為（0，0），且過點(diǎn)B（10，﹣5），

設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，

把點(diǎn)B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，

∴a＝﹣，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2；

任務(wù)2：

∵該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長0.4m，

∴當(dāng)懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，

即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m，

當(dāng)y＝﹣1.8時，﹣x2＝﹣1.8，

∴x＝±6，

∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：﹣6≤x≤6；

任務(wù)3：

方案一：如圖2（坐標(biāo)軸的橫軸），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠，

∵﹣6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，

∴若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時，1.6×4＞6，

若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛3盞燈籠時，1.6×3＜6，

∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，

∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，

∴共可掛7盞燈籠，

∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣1.6×3＝﹣4.8；

方案二：如圖3，

∵若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛5盞燈籠時，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，

若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，

∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，

∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，

∴共可掛8盞燈籠，

∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．

六．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共2小題）

6．（2022溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時，求FG的長．

【答案】（1）證明見解析；

（2），

【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥BC，

∴∠EFO＝∠GDO，

∵O是DF的中點(diǎn)，

∴OF＝OD，

在△OEF和△OGD中，

，

∴△OEF≌△OGD（ASA），

∴EF＝GD，

∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵E是AC的中點(diǎn)，

∴DE＝AC＝CE，

∴∠C＝∠EDC，

∴tanC＝＝tan∠EDC＝，

即＝，

∴CD＝2，

∴AC＝＝＝，

∴DE＝AC＝，

由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，

∴FG＝DE＝．

7．（2023溫州）如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時，求BD的長．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，

設(shè)AE＝3a，則BE＝4a，

由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，

解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），

∴AE＝3，BE＝4，

由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，

∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，

∵∠CBE＝∠EAF，

∴∠ECF＝∠CBE，

∴tan∠CBE＝tan∠ECF，

∴＝，

∴CF2＝EF×BF，

設(shè)EF＝x，則BF＝x+4，

∴32＝x（x+4），

解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），

即EF＝﹣2，

由（1）得：△ABE≌△CDF，

∴BE＝DF＝4，

∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．

七．圓的綜合題（共2小題）

8．（2022溫州）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知BC＝5，BE＝3，點(diǎn)P，Q分別在線段AB，BE上（不與端點(diǎn)重合），且滿足＝．設(shè)BQ＝x，CP＝y(tǒng)．

（1）求半圓O的半徑．

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

（3）如圖2，過點(diǎn)P作PR⊥CE于點(diǎn)R，連結(jié)PQ，RQ．

①當(dāng)△PQR為直角三角形時，求x的值．

②作點(diǎn)F關(guān)于QR的對稱點(diǎn)F′，當(dāng)點(diǎn)F′落在BC上時，求的值．

【答案】（1）；

（2）y＝；

（3）①或；

②．

【解答】解：（1）如圖1，連接OD，設(shè)半徑為r，

∵CD切半圓于點(diǎn)D，

∴OD⊥CD，

∵BE⊥CD，

∴OD∥BE，

∴△COD∽△CBE，

∴，

∴，

解得r＝，

∴半圓O的半徑為；

（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，

∵＝，BQ＝x，

∴AP＝，

∴CP＝AP+AC，

∴y＝；

（3）①顯然∠PRQ＜90°，所以分兩種情形，

當(dāng)∠RPQ＝90°時，則四邊形RPQE是矩形，

∴PR＝QE，

∵PR＝PC×sinC＝，

∴，

∴x＝，

當(dāng)∠PQR＝90°時，過點(diǎn)P作PH⊥BE于點(diǎn)H，如圖，

則四邊形PHER是矩形，

∴PH＝RE，EH＝PR，

∵CR＝CPcosC＝，

∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，

∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，

∴∠PQH＝45°＝∠QPH，

∴HQ＝HP＝3﹣x，

由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，

∴x＝，

綜上，x的值為或；

②如圖，連接AF，QF'，由對稱可知QF＝QF'，

∵CP＝，

∴CR＝x+1，

∴ER＝3﹣x，

∵BQ＝x，

∴EQ＝3﹣x，

∴ER＝EQ，

∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，

∴∠BQF'＝90°，

∴QF＝QF'＝BQtanB＝，

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∴BF＝ABcosB＝，

∴，

∴x＝，

∴．

9．（2023溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（2，0），B（0，8），連結(jié)AB．直線CM分別交⊙M于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D在左側(cè)），交x軸于點(diǎn)C（17，0），連結(jié)AE．

（1）求⊙M的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)D，E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在線段AC上，連結(jié)PE．當(dāng)∠AEP與△OBD的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的OP的長．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，

∴AB為⊙M的直徑，

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M（1，4），

則圓的半徑為AM＝＝，

設(shè)直線CM的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，

故直線CM的表達(dá)式為y＝﹣x+；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+），

由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，

解得x＝5或﹣3，

故點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（﹣3，5）、（5，3）；

（3）過點(diǎn)D作DH⊥OB于點(diǎn)H，則DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，

故∠DBO＝45°，

由點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，同理可得∠EAP＝45°；

由點(diǎn)A、E、B、D的坐標(biāo)得，AE＝＝3，

同理可得：BD＝3，OB＝8，

①當(dāng)∠AEP＝∠DBO＝45°時，

則△AEP為等腰直角三角形，EP⊥AC，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0），

故OP＝5；

②∠AEP＝∠BDO時，

∵∠EAP＝∠DBO，

∴△EAP∽△DBO，

∴，即＝＝，解得AP＝8，

故PO＝10；

③∠AEP＝∠BOD時，

∵∠EAP＝∠DBO，

∴△EAP∽△OBD，

∴，即，解得AP＝，

則PO＝2+＝，

綜上所述，OP為5或10或．

八．利用平移設(shè)計圖案（共1小題）

10．（2023溫州）如圖中4×4與6×6的方格都是由邊長為1的小正方形組成．圖1是繪成的七巧板圖案，它由7個圖形組成，請按以下要求選擇其中一個并在圖2、圖3中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

（1）選一個四邊形畫在圖2中，使點(diǎn)P為它的一個頂點(diǎn)，并畫出將它向右平移3個單位后所得的圖形．

（2）選一個合適的三角形，將它的各邊長擴(kuò)大到原來的倍，畫在圖3中．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）如圖2所示，即為所求；

（2）如圖3所示，即為所求．

九．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）

11．（2023溫州）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個小方格的邊長為1．已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

（1）在圖1中畫一個等腰三角形PEF，使底邊長為，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，再畫出該三角形繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；

（2）在圖2中畫一個Rt△PQR，使∠P＝45°，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)R在AD上，再畫出該三角形向右平移1個單位后的圖形．

【答案】（1）（2）作圖見解析部分．

【解答】解：（1）圖形如圖1所示（答案不唯一）；

（2）圖形如圖2所示（答案不唯一）．

一十．相似形綜合題（共1小題）

12．（2023溫州）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知OA＝，AC＝1．如圖2，連結(jié)AF，P為線段AF上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線分別交CE，BE于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)PH＝x，MN＝y(tǒng)．

（1）求CE的長和y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PH＜PN，且長度分別等于PH，PN，a的三條線段組成的三角形與△BCE相似時，求a的值；

（3）延長PN交半圓O于點(diǎn)Q，當(dāng)NQ＝x﹣3時，求MN的長．

【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；

（2）a的值為或或；

（3）MN的長為．

【解答】解：（1）如圖1，連接OD，

∵CD切半圓O于點(diǎn)D，

∴OD⊥CE，

∵OA＝，AC＝1，

∴OC＝，BC＝4，

∴CD＝＝2，

∵BE⊥CE，

∴OD∥BE，

∴，

∴，

∴CE＝，

如圖2，∵∠AFB＝∠E＝90°，

∴AF∥CE，

∴MN∥CB，

∴四邊形APMC是平行四邊形，

∴CM＝PA＝＝＝＝x，

∵NM∥BC，

∴△BCE∽△NME，

∴，

∴＝，

∴y＝﹣x+4；

（2）∵PN＝y(tǒng)﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三邊之比為3：4：5，

∴可分為三種情況，

當(dāng)PH：PN＝3：5時，x＝﹣x+3，解得：x＝，

∴a＝x＝，

當(dāng)PH：PN＝4：5時，x＝﹣x+3，解得：x＝，

∴