結(jié)構(gòu)位移計算

結(jié)構(gòu)位移計算1第1頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-1概述§6-2變形體系的虛功原理§6-3位移計算的一般公式§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算§6-5圖乘法§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算§6-7靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理第2頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

前面所學(xué)5種靜定結(jié)構(gòu)(梁、剛架、拱、桁架、組合結(jié)構(gòu))的內(nèi)力計算可歸結(jié)為強度問題,而結(jié)構(gòu)力學(xué)的另一重要任務(wù)是解決剛度問題——結(jié)構(gòu)位移計算。

本章依據(jù)虛功原理，先推導(dǎo)出桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，再討論具體結(jié)構(gòu)的位移。3第3頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月□§6-1概述1.變形和位移變形——形狀的改變；位移——各截面位置的移動。FA△Ay△AxA′A

結(jié)構(gòu)由可變形(固體)材料組成，在荷載作用下會產(chǎn)生變形和位移。F2.位移的分類截面的線位移，截面的角位移，A(△A)△Ay△Ax絕對位移桿件的角位移，AB第4頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月FABCD△C

△D

兩截面的相對線位移：△C+△D相對位移兩桿件的相對角位移：AC+BD兩截面的相對角位移：A+BBAC′D′F廣義的位移——角、線位移；相對、絕對位移3.引起位移的原因（1）荷載作用——內(nèi)力——變形——位移（2）溫度變化——結(jié)構(gòu)變形——位移（3）支座位移——幾何位置改變——位移第5頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4．計算結(jié)構(gòu)位移的目的

鐵路鋼板橋和鋼桁梁：最大撓度<1/700和1/900跨度吊車梁:允許撓度<1/600跨度；高層建筑:最大位移<1/1000高度；最大層間位移<1/800層高1）校核剛度—不超許用值，以防變形過大，影響正常使用。2）滿足施工要求—懸臂拼裝架梁:正常使用時最大撓度在跨中，施工時懸臂端撓度最大。

結(jié)構(gòu)的變形(可能與正常使用時完全不同)。B第6頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)定起拱高度：△3）解超靜定問題

平衡條件+變形協(xié)調(diào)條件(求結(jié)構(gòu)的位移)4）動力計算的需要5．位移計算的有關(guān)假定

1）線彈性

2）小變形

3）理想聯(lián)結(jié)第7頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月功=力×作用點沿其方向的位移§6-2變形體系的虛功原理功的定義S⌒FF常力功變力功第8頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月力偶功M=Fd廣義力——集中力，力偶，一對力偶；廣義位移——沿力方向的線位移，沿力偶轉(zhuǎn)向的角位移。dFF功=廣義力×廣義位移其他形式的力或力系所作的功也用兩個因子的乘積表示：第9頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1)集中力做功2)集中力偶作功4)兩等值反向的集中力偶做功3)兩等值反向的集中力作功功=廣義力×廣義位移第10頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.實功與虛功實功—ABF11△虛功—力在非自身原因（它力、溫度改變、支座移動等）產(chǎn)生的位移上所做的功,力與位移非因果關(guān)系。W12=F1·△2力在其本身引起的位移上作的功：1△2F2F2第11頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月F11.5F1

理想約束的剛體系處于靜力平衡時，外力在任何可能的虛位移上所做的虛功總和為零。2ll=1.5F1根據(jù)力矩平衡條件F2F13.剛體的虛功原理1.5ΔΔ第12頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

力與虛位移無關(guān)，為分析方便，力狀態(tài)與位移狀態(tài)分開。

力狀態(tài)—所有外力(包括反力)處于平衡狀態(tài)；

位移狀態(tài)—其它原因(別的力、溫度變化、支座移動等)引起的虛位移，約束條件允許的微小位移。

4.變形體的虛功原理ABqFAyFAxFByF1F2AB力狀態(tài)：靜力平衡位移狀態(tài)：其它原因引起第13頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月M+dMMFN+dFNFNFS+dFSFSq

微段上所有力(6內(nèi)1外)做的虛功:按外力虛功與內(nèi)力虛功計算:

qkjqi相鄰微段k、j、i連續(xù)，左右截面位移相等，內(nèi)力為作用力與反作用力，內(nèi)力虛功相互抵消，W內(nèi)=0：dsABqFAyFAxFByF1F2ds14第14頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)按剛體虛功與變形虛功計算

BACDB'A'C'D'A''B''C''D''微段ds處于平衡狀態(tài)，dW剛＝０，故：將ds的虛位移分解：(1)剛體虛位移:ABCDA'B'C'D'由(a)(b)兩式，變形體的虛功原理：(2)變形虛位移:A'B'C'D'A''B''C''D''dsABqFAyFAxFByF1F2dsBACD第15頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月變形體的虛功原理：處于平衡狀態(tài)的變形體產(chǎn)生虛位移時，所受外力在該虛位移上所做的總虛功(外力虛功)，等于各微段截面上的內(nèi)力在其變形上所做的虛功之和(變形虛功)。適用于任何材料(彈、非彈性，線、非線性)、任何類型的結(jié)構(gòu)；外力與虛位移獨立，毫不相干，虛位移由其它原因引起，外力在此虛位移上做虛功。外力虛位移毫不相干外力虛功內(nèi)力變形變形虛功=兩種應(yīng)用情形：

1)虛位移原理——給定力狀態(tài)，另設(shè)一位移狀態(tài)，用虛功方程求力狀態(tài)的未知力。

2)虛力原理——給定位移狀態(tài)，另設(shè)一力狀態(tài)，用虛功方程求位移狀態(tài)的未知位移。第16頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月FN+dFNFN5．變形虛功的計算B'A'C'D'A''B''C''D''M+dMMFS+dFSFSFN+dFNFNFN+dFNFNdsdu=dsdFS+dFSFSdsM+dMMMM+dMd=kds軸向變形虛功：dW=FNdu=FNdds剪切變形虛功：

dW=Fsds彎曲變形虛功：

dW=Md=Mkds微段變形虛功：dW變=FNdds+Fsds+Mkds=(FNd+Fs+Mk)ds總變形虛功：W變=(FNd+Fs+Mk)ds由變形體的虛功原理：W外=(FNd+Fs+Mk)ds17第17頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1.位移計算的一般公式設(shè)一剛架因外荷載(F1、F2)、溫度變化(t1、t2)及支座移動(C1、C2、C3)等引起位移，求任一截面K沿k-k的位移△K

?！?-3位移計算的一般公式單位荷載法△Kkkc2c3c1K′F2F1t1t2K第18頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月ds實際－位移狀態(tài)△K，ci虛擬－力狀態(tài)由虛功原理：du、d、ds××△Kkkc2c3c1K′F2F1t1t2KkkKFK=119第19頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月可得：位移計算的一般公式，若計算結(jié)果為正，所求位移△K與假設(shè)的FK=1同向,稱為單位荷載法。實際位移狀態(tài)的位移、變形虛擬力狀態(tài)的外力、內(nèi)力？待求位移虛設(shè)單位力外力虛功變形虛功第20頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2力的虛設(shè)方法大小—一般虛設(shè)單位力；作用點—作用在所求位移的點及方向上；方向—隨意假設(shè)，若求出的位移為正，與假設(shè)方向一致。

性質(zhì)—與所求的位移對應(yīng)。

據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。求線位移加單位集中力；求轉(zhuǎn)角加單位力矩；求二點的相對位移加一對相反的單位集中力；求二點相對轉(zhuǎn)角加一對單位力矩。

第21頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1.求△Ax虛擬狀態(tài)A1A2.求A1虛擬狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B3.求△AB11B4.求AB11課堂練習(xí)給結(jié)構(gòu)設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)，以便用單位荷載法計算位移。第22頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1111ABAB5.求A、B兩點相對豎向位移6.求A、B兩點相對水平位移17.求C點相對轉(zhuǎn)角位移1/L1/LCCDL8.求CD桿相對轉(zhuǎn)角位移廣義力與廣義位移對應(yīng)第23頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算

當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時，求K點沿指定方向的位移△KP?！鱇P=1.一般公式因沒有支座位移，故一般公式為：實際狀態(tài)的變形虛擬狀態(tài)的內(nèi)力由材料力學(xué)知：dP=duP=Pds=代入，得：平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式第24頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.公式簡化1.梁和剛架：△K=2.桁架：△K=3.組合結(jié)構(gòu)：△K=

實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況，一般公式可以簡化：彎曲變形為主，軸向、剪切變形可略去：只有軸力，同一桿件軸力為常數(shù)：第25頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月3.計算步驟1）虛設(shè)單位力2）求3）求4）代入相應(yīng)的簡化公式求解。第26頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-1

求圖示剛架A點的豎向移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA`實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：1）設(shè)置虛擬狀態(tài)xx選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為:xxAB段：BC段：2.實際狀態(tài)各桿彎矩方程：3.代入公式,得：△Ay=()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx注：若同時考慮軸向、剪切變形的影響，則結(jié)果見P101。第27頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.圖示桁架結(jié)點C水平位移不等于零。。C1EAEA12=C=。FEAEA121.求圖示梁鉸C左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角時，其虛擬狀態(tài)應(yīng)?。篊A.CB.CD.MCC.MM=1=1=1F=1課堂練習(xí)28第28頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月3.圖示桁架各桿EA相同，結(jié)點A和結(jié)點B的豎向位移均為零。BAFBA000010000拉壓壓壓1000029第29頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月ABABMP圖§6-5圖乘法

下述情況可簡化:1）直桿；

2）EI=常數(shù)；

3）和M圖其一為直線。

MP(x)dxdAxxyO⌒公式推導(dǎo)梁和剛架在荷載作用下的位移，需積分:

設(shè)AB直桿MP圖任意,則:為直線直桿ds=dx第30頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月ABABMP圖MP(x)dxdAxxyO⌒C形心xCyC

=xCtg×形心AyC這種直接在MP圖和M圖上相乘求位移的方法即圖乘法。Vereshagin于1925年提出，當(dāng)時是莫斯科鐵路運輸學(xué)院學(xué)生幾何意義-—某截面處的位移=一個M圖的面積A乘以其形心對應(yīng)的另一直線M圖的豎標(biāo)yC，再除以EI，。第31頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月若各桿段均可圖乘，則位移公式：

注意:（2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形；兩圖均為直線時，yC可任??；（3）若A與yC在基線同側(cè)則乘積為正；（4）不要漏掉1/EI。

（1）須符合上述前提條件；第32頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.熟記常見圖形的面積和形心直角三角形標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線頂點——拋物線上切線平行于底邊的點；標(biāo)準(zhǔn)拋物線——頂點在中點或端點的拋物線。ll/2lh形心2l/3l/33l/85l/8A1A23l/4l/4頂點頂點第33頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月圖（

）BAq例求圖示梁(EI=常數(shù)，跨長為l)B截面的轉(zhuǎn)角。1MP圖解：1.作MP圖、2.圖乘計算。第34頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-4

求剛架C、D兩點間距離的改變量，EI=常數(shù)。ABCDLhq解：作實際狀態(tài)的MP圖，設(shè)置虛擬狀態(tài)并作11hhyC=h圖乘計算：（→←）第35頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1)當(dāng)yC所屬M圖為折線，或各段截面不等時，應(yīng)分段圖乘。A1A2A3y1y2y3A1A2A3y1y2y3△=(A1y1+A2y2+A3y3)I1I2I3練習(xí)：P1186-5判斷正誤3.復(fù)雜圖形圖乘時的分解36第36頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2）當(dāng)面積和形心不易確定時，分解成簡單圖形，分別與另一圖形相乘，最后再疊加。MP圖abcdly1=2c/3+d/3y2=c/3+2d/3y2y1A1A2第37頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月abcdl兩梯形之間圖乘的速記公式：a、b、c、d在基線同側(cè)時乘積為正，反之為負(fù)。第38頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：21136m1246m1326m2第39頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月＝MAFsAFsBMB3）均布荷載作用下，M圖可視為梯形與標(biāo)準(zhǔn)拋物線的疊加。疊加后與原拋物線圖形的面積大小和形心位置以及形心處豎標(biāo)仍然相同。ABLMAMB第40頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-5

求圖示剛架A點的豎向位移△Ay。FABCDEIEI2EILLL/2FFLMP圖1L解：1.作MP圖、2.圖乘計算。第41頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月qABCL圖1y2y3+解：1.作MP圖，圖2.圖乘計算y1MP圖A2A3例6-6

求外伸梁C點的豎向位移△Cy。EI=常數(shù)。A1第42頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例剛架EI=1.5×105kN.m2，求△Cy和C。6m6mCAB10kN/m20kN300300MP

45166MCABM111第43頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)1.用圖乘法可求得各種結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。（X）2.圖示剛架B點的水平位移是：

A不定，方向取決于a的大小B向左C等于零D向右laBF0B1144第44頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月F2EIEIAll2Fl1112l3

求△Ay和A。45第45頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月受彎桿件抗彎剛度EI，壓桿抗拉剛度EA，且A=I/(30m2)，求D端的轉(zhuǎn)角。D8kN/m3m2m2mD11-0.50.5016kN.m32-3246第46頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月K虛1K實§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算（自學(xué)）溫度變化時不產(chǎn)生內(nèi)力，但熱脹冷縮將使其產(chǎn)生變形和位移。設(shè)結(jié)構(gòu)外側(cè)溫升t1，內(nèi)側(cè)溫升t2,求K點的豎向位移△Kt。t1t2任一微段ds,溫度變化產(chǎn)生的變形：t1t2t2dst1dsdt伸長：dut=(t1ds+t2ds)/2=tdsdsdsK`dsh式中轉(zhuǎn)角：dt=(t2ds-t1ds)/h=△Kt=剪切角：t=0△Ktds△t=t2－t1h?tds47第47頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月若各桿均為等截面：乘積的正負(fù)：當(dāng)實際溫度變形與虛擬內(nèi)力方向一致為正，不一致則為負(fù)。

梁和剛架略去軸力影響：桁架可簡化為：P110例題6-8自學(xué)。第48頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月LLt1t2實解：外側(cè)溫變：繪圖，AA1虛1代入公式，注意正負(fù)號(判斷)：L△Ayt1=-10℃-20℃=-30℃內(nèi)側(cè)溫變：t2=0℃-20℃=-20℃t=(t1+t2)/2=-25℃例6-5

剛架施工時溫度為20℃，求冬季外側(cè)溫度為-10℃，內(nèi)側(cè)溫度為0℃時A點位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。49第49頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-7靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算支座移動會使某些截面產(chǎn)生位移，但不會使其變形，實際狀態(tài)變形為零計算公式可化簡:虛擬狀態(tài)的支反力實際狀態(tài)的支座移動

??注:第50頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月8m6m6mABC

例6-9三鉸剛架右支座位移△By=0.06m，△Bx=0.04m，已知L=12m，h=8m。求A

。0.04m0.06m實解：虛擬狀態(tài)如圖。ABC1=0.0075rad()虛A僅需求位置移動處的反力第51頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解：虛擬狀態(tài)如圖。=0.005rad()又例.剛架支座A位移a=3cm和b=1.5cm，求支座C截面轉(zhuǎn)角。AB0.015mCA'4m3m3m6m0.03m虛實ABC11/41/41/6第52頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月制造誤差引起的位移計算原理與溫度變化位移計算相同，只需將制造誤差引起的實際變形視為虛擬狀態(tài)的虛位移。由一般公式：對桁架：虛擬狀態(tài)的桿軸力桿件的制造誤差第53頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解：虛擬狀態(tài)如圖。=-0.01a()2、圖示桁架，設(shè)其制作完工后，各桿均發(fā)生1/1000的收縮，則結(jié)點

C

的豎向位移

例.桁架制作時兩上弦桿均比設(shè)計尺寸長了1/100，求結(jié)點C

的豎向位移。-0.5-0.51虛擬狀態(tài)=

。=

。=

。Caaa=

。=

。C僅需求有制造誤差桿件的軸力第54頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月12§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理

第一狀態(tài)M1、FN1、FS1、F1、△21F1△2112第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W12;兩組外力F1、F2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，分別稱為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。

第二狀態(tài)M2、FN2、FS2、F2、△12第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)相應(yīng)的變形上所作的虛功W12i;原因方位△12F2據(jù)虛功原理：W12=W12i，第55頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月W12=或W12=W21故F1△12=F2△21F1△12W21=F2△21同理有：結(jié)論：在線彈性體系中：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W21。

注意：F1,F2可以是廣義力,△12,△21為相應(yīng)廣義位移12

第一狀態(tài)M1、FN1、FS1、F1、△21F1△21