統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

統(tǒng)計分布的數(shù)值特征第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)分布的集中趨勢一、主要的統(tǒng)計平均數(shù)(一)統(tǒng)計平均數(shù)的含義(二)統(tǒng)計平均數(shù)的作用(三)統(tǒng)計平均數(shù)的分類2第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、算術(shù)平均數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式計算平均數(shù)的要求：總體標(biāo)志總量必須是總體各單位標(biāo)志值的總和，標(biāo)志值和單位之間一一對應(yīng)。3第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.計算方法（1）簡單算術(shù)平均數(shù)。簡單算術(shù)平均數(shù)主要用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值簡單加總得到的標(biāo)志總量除以單位總量而得。計算公式：4第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。A.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于原始資料已經(jīng)分組，并得出次數(shù)分布的條件。計算公式：

fi

為各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)。5第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

B.權(quán)數(shù)的意義和作用權(quán)數(shù)：各組次數(shù)（頻數(shù)）的大小所對應(yīng)的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響具有權(quán)衡輕重的作用。當(dāng)各組的次數(shù)都相同時，即當(dāng)f1=f2=f3=…=fn時：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于簡單算術(shù)平均數(shù)。

6第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.是非標(biāo)志的平均數(shù)在總體中，具有某種性質(zhì)的單位占總體的比率為p，不具有該種性質(zhì)的單位占總體的比率為q，以1作為具有某種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值，以0作為不具有該種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值：

p也稱為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，是非標(biāo)志的平均數(shù)。7第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：8第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：9第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。（4）對被平均的變量實施某種線性變換后，新變量的算術(shù)平均數(shù)等于對原變量的算術(shù)平均數(shù)實施同樣的線性變換的結(jié)果。（5）對于任意兩個變量x和y，它們的代數(shù)和的算術(shù)平均數(shù)等于兩個變量的算術(shù)平均數(shù)的代數(shù)和。10第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月三調(diào)和平均數(shù)1.簡單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 11第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計算公式：在權(quán)數(shù)選擇合適時，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)實際上是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形：

12第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)各組標(biāo)志總量相等，m1=m2=…=mn時，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)可化簡成為簡單調(diào)和平均數(shù)形式。13第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月四、幾何平均數(shù)1.幾何平均數(shù)：是n項標(biāo)志值連乘積的n次方根。2.分類：（1）簡單幾何平均數(shù)：是n個標(biāo)志值xi連乘積的n次方根。計算公式為：G= 式中G表示幾何平均數(shù)，xi表示各項標(biāo)志值。14第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）加權(quán)幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)是各標(biāo)志值fi次方的連乘積的次方根，計算公式為：

G=

15第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月五、眾數(shù)Mo

1.定義：眾數(shù)是指社會現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。2.眾數(shù)的確定1)單項式分配數(shù)列確定眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。2)組距式分配數(shù)列確定眾數(shù)：由組距數(shù)列確定眾數(shù)，先確定眾數(shù)組，再通過一定的公式計算眾數(shù)的近似值。16第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.眾數(shù)的幾何意義

17第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4.組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：

上限公式：

18第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月六、中位數(shù)1.定義：中位數(shù)是將總體各個單位按其標(biāo)志值的大小順序排列，處于數(shù)列中點的那個單位的標(biāo)志值，在總體中，標(biāo)志值小于中位數(shù)的單位占一半；標(biāo)志值大于中位數(shù)的單位也占一半。19第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.中位數(shù)的確定1)未分組資料確定中位數(shù)。將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列，當(dāng)總體單位數(shù)n為奇數(shù)時：當(dāng)總體單位數(shù)n為偶數(shù)時,：20第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2)單項式分組資料確定中位數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時：，

當(dāng)為偶數(shù)時,21第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3)組距式分組資料確定中位數(shù)下限公式：

上限公式：22第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系

區(qū)別：1）

三者的含義不相同；2）

三者的計算（確定）方法不同；3）

對資料的要求不同，4)對數(shù)據(jù)的“靈敏度”、“抗耐性”和“概括能力”不同。23第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)系：（1）

三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢）的平均指標(biāo)：（2）

三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，A.在對稱的正態(tài)分布條件下：算術(shù)平均數(shù)等于眾數(shù)等于中位數(shù)：B.在非對稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。24第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)次數(shù)分配呈右偏(正偏)時：算術(shù)平均數(shù)受極大值的影響當(dāng)次數(shù)分配呈左偏(負偏)時，算術(shù)平均數(shù)受極小值的影響中位數(shù)則總是介于眾數(shù)和平均數(shù)之間。25第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3、皮爾生經(jīng)驗法則分布在輕微偏斜的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗公式為：

26第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

第二節(jié)分布的離中趨勢一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義：變異指標(biāo)反映總體內(nèi)部的離中趨勢或變異狀況。變異指標(biāo)值越大，表明總體各單位標(biāo)志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標(biāo)的代表性。（2）反映現(xiàn)象變動的均衡性。（3）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。（4）進行抽樣推斷等統(tǒng)計分析的一個基本指標(biāo)。27第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極差與四分位差1、極差：1）極差也稱全距，它是統(tǒng)計總體中兩個極端標(biāo)志值之差，表明總體中標(biāo)志值變動的范圍。2）計算公式： （未分組） （分組） 式中：Umax代表最高組的上限；

Lmin代表最低組的下限。3）特點：計算簡便，直觀易于理解。28第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2、四分位差1）計算公式：數(shù)列的3/4位次與1/4位次的標(biāo)志值之差除以2。2）特點：四分位差避免了數(shù)列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數(shù)據(jù)。

29第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月三、平均差（A.D）1、定義：平均絕對偏差，總體所有單位的標(biāo)志值與其平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。2、計算公式：3、特點：概括地反映了所有單位標(biāo)志值的變異程度，但因取絕對值，數(shù)學(xué)性質(zhì)不理想，實際中較少用。30第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(一)數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1、數(shù)量標(biāo)志方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算。其計算公式為：未分組的資料：方差：標(biāo)準(zhǔn)差：31第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月用分組資料計算方差：標(biāo)準(zhǔn)差32第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2、總方差、組間方差和組內(nèi)方差。在資料分組的條件下，總體各標(biāo)志值對平均數(shù)的方差可以分解為組內(nèi)方差和組間方差。其關(guān)系式：式中：代表總體方差；代表組內(nèi)方差的平均數(shù)；代表組間方差。33第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)：1)變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。即：34第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2)變量對其算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任意常數(shù)的方差。3)n個同性質(zhì)獨立變量和的方差等于各個變量方差的和。

35第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4)n個同性質(zhì)獨立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。

5)變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。

36第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差37第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月四、變異系數(shù)1、變異系數(shù)：變異系數(shù)也稱離散系數(shù)，是各變異指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)的比值。極差系數(shù)：極差與其平均數(shù)的比值。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的比值。2、作用：消除現(xiàn)象由于不同計量單位、不同平均水平所產(chǎn)生的影響。38第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

第三節(jié)分布的偏度和峰度一、統(tǒng)計動差1、統(tǒng)計動差：也稱為距，反映分布偏斜或離散程度的指標(biāo)。2、原點動差：變量x關(guān)于原點的k階距，一般形式：（未分組）（分組）k=1時，即1階的原點動差就是算術(shù)平均數(shù)。k=2時，即2階的原點動差就是平方平均數(shù)。39第39頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3、中心動差：變量x關(guān)于分布中心（平均數(shù)）的k階距。一般形式：

（未分組）（分組）當(dāng)k=0時，即零階中心動差=1；當(dāng)k=1時，即一階中心動差=0；當(dāng)k=2時，即二階中心動差=。40第40頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、偏度1、偏度：衡量頻數(shù)分配不對稱程度，或偏斜程度的指標(biāo)。2、計算公式：（用距法測定）41第41頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)=0時，左右完全對稱，為正態(tài)分布；當(dāng) >0時為正偏斜；當(dāng)<0時為負