行列式按行展開

行列式按行展開第1頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

內(nèi)容分布一、行列式按一行(列)展開二、行列式按某k行(列)展開

基本要求

利用展開定理計(jì)算行列式

第2頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。問(wèn)題：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n－1階行列式來(lái)計(jì)算？第3頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.4.1行列式按一行（列）展開定義1.9在n階行列式D=|aij|中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij的余子式,記為Mij．稱Aij=(-1)i+jMij為元素aij的代數(shù)余子式．第4頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。第5頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．第6頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時(shí),（根據(jù)P.16例8的結(jié)論）第7頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們以4階行列式為例.第8頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月被調(diào)換到第1行，第1列第9頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定理1.2行列式D=|aij|等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或第10頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：i=1,2,···n第11頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1分別按第一行與第三列展開行列式解（1）按第一行展開（2）按第三列展開．第12頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由例1我們可以看出，按第一行展開計(jì)算比按第三列展開計(jì)算要簡(jiǎn)單，這是因?yàn)樾辛惺降谝恍欣锏牧阍叵鄬?duì)要多．為此，在計(jì)算行列式時(shí)，可以先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行（列）化為僅含有一個(gè)非零元，再按此行（列）展開，變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式．第13頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算行列式解由于D中第三行有一個(gè)零元素，并且非零元素中有1，所以利用行列式的性質(zhì)，把該行除元素“1”外其余的非零元素全化為0，然后按第三行展開．第14頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算行列式解：第16頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3討論當(dāng)k為何值時(shí)解所以，當(dāng)且時(shí)，第18頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4求證第19頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第20頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5證明范德蒙行列式其中，∏表示全部同類因子的乘積（連乘），注意下標(biāo)條件的理解。第22頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立，要證結(jié)論對(duì)n階范德蒙德行列式也成立．為此，設(shè)法把Dn降階第23頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月按第1列展開，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就得到上式右端的行列式是n-1階范德蒙德行列式，按歸納假設(shè)，它等于所有(xi-xj)因子的乘積,其中n≥i>j≥2．故

n?1階范德蒙德行列式第24頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例利用范德蒙德行列式計(jì)算如下行列式解：根據(jù)范德蒙德行列式計(jì)算公式，有第25頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.3

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則第26頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.2

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即定理1.3行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得第27頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求分析利用及第28頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解第29頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)D中aij元的余子式和代數(shù)余子式依次記為Mij和Aij，求第31頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）根據(jù)展開定理，表達(dá)式為行列式按照第3行展開，故（2）表達(dá)式為第一行元素與第三行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相乘的和，根據(jù)定理1.3，有（3）根據(jù)展開定理，表達(dá)式為如下行列式的第1行展開：第32頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）根據(jù)代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系，有再根據(jù)行列式展開定理，有第34頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.4.2行列式按某k行（列）展開其中i1,…,ik為k階子式M在D中的行標(biāo)，j1,…,jk為M在D中的列標(biāo)．定義1.10在n階行列式D=|aij|中，任意選定k行k列(1≤k≤n)，位于這些行和列交叉處的k2個(gè)元素，按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)k階行列式M，稱為D的一個(gè)k階子式，劃去這k行k列，余下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成n-k階行列式在其前面冠以符號(hào)，稱為M的代數(shù)余子式第35頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例選取第1,2行，第1,3列2階子式M的余子式M的代數(shù)余子式余子式第36頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.4（拉普拉斯（Laplace）定理）在n階行列式D中，任意取定k行(列)(1≤k≤n-1)，由這k行(列)組成所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D．例計(jì)算2n階行列式其中未寫出的元素為0第37頁(yè)，課件共40頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：把D2n行依次與第2n-1行,···,第2行對(duì)調(diào)（作2n-2次相鄰對(duì)換），再把第2n列依次與第2n-1列,···,第2列對(duì)調(diào)，得