第三章-離散傅里葉變換(DFT)課件

第三章DFT§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論§3-8利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近§3-6DFT的性質(zhì)§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性質(zhì)§3-2傅氏變換的幾種可能形式§3-1引言一.DFT是重要的變換

1.分析有限長序列的有用工具。

2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。

3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)?！?-1 引言二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁

DFT要解決兩個(gè)問題： 一是離散與量化， 二是快速運(yùn)算。信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化

§3-2 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對(duì)稱性:

時(shí)域連續(xù)，則頻域非周期頻域連續(xù)，則時(shí)域非周期二.連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級(jí)數(shù)0t------0時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的周期的非周期的離散的*時(shí)域周期為

頻域譜線間隔為三.離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換

--序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0------時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時(shí)間、離散頻率的傅氏變換--DFTx(nT)=x(n)t0T2Tn0k四.離散時(shí)間、離散頻率的傅氏變換--DFT0

0123kx(nT)=x(n)t0T2Tn12N

NT由上述分析可知，要想在時(shí)域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演：在一個(gè)周期內(nèi)，可進(jìn)行如下變換：視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，這樣,正反

§3-3周期序列的DFS一、周期序列DFS的引入（一）對(duì)上式進(jìn)行抽樣，得：導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號(hào)的復(fù)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)開始的：，代入因是離散的，所以應(yīng)是周期的。，代入而且，其周期為，因此應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。由于

所以求和可以在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，即

這就是說，當(dāng)在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。（連續(xù)）周期信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)：

基頻序列周期基頻Ｋ次諧波序列連續(xù)周期離散周期三、

的k次諧波系數(shù)的求法

1.預(yù)備知識(shí)同樣，當(dāng) 時(shí)，p也為任意整數(shù)，則所以亦即的表達(dá)式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：的DFS通常將常數(shù)1/N移到表示式中。即：

的周期性周期性：3.離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法

通常用符號(hào) 代入，則：正變換：反變換：

的一個(gè)周期內(nèi)序列記作

,而且=,0nN-10,其他n對(duì)

作Z變換，4.用Z變換求4.用Z變換求可見，是Z變換在單位圓上抽樣，抽樣點(diǎn)在單位圓上的N個(gè)等分點(diǎn)上，且第一個(gè)抽樣點(diǎn)為k=0。如果，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數(shù)?！?-4 DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二.序列的移位則有：如果證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時(shí)，i=m;n=N-1時(shí)，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調(diào)制特性

如果

則有

證明：時(shí)域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。四.周期卷積和

1、如果則：

2.兩個(gè)周期序列的周期卷積過程（1）畫出和的圖形；（2）將翻摺,得到

m計(jì)算區(qū)mm

0123（3）將右移一位、得到可計(jì)算出：m計(jì)算區(qū)mm

0123m（4）將再右移一位、得到，可計(jì)算出：（5）以此類推，

n1344計(jì)算區(qū)313.頻域卷積定理如果，則證明從略。

§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預(yù)備知識(shí)

1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，

m為整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱作取余數(shù),或說作n對(duì)N取模值,或簡稱為取模值,n模N。例如：

(1)N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。取余的運(yùn)算相當(dāng)于將有限長序列進(jìn)行周期延拓，以形成對(duì)應(yīng)的周期序列2.例：

(1)(2)二.有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。三.周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。因此可得到新的定義，即有限長序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0kN-1,0nN-1或者：例、求矩形脈沖序列

的DFT解：由定義可得

§3-6DFT的性質(zhì)一.線性1.兩序列都是N點(diǎn)時(shí)如果

則有：2.和的長度N1和N2不等時(shí)，選擇

為變換長度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。二.序列的圓周移位1.定義一個(gè)有限長序列

的圓周移位定義為

這里包括三層意思：1、先將

進(jìn)行周期延拓2、再進(jìn)行移位3、最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義

由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把

排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于

在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6時(shí)域移位定理若：則：信號(hào)序列延時(shí)，相當(dāng)于相位譜各次諧波相位平移。幅度頻譜不變證明：令n-m=p,則有頻域移位定理若：則：此定理可看作信號(hào)的頻譜搬移，也稱其為調(diào)制定理。如果，則三.圓周卷積和1.時(shí)域圓周卷積定理設(shè)和均為長度為N的有限長序列，且，NN證明：證明（續(xù)）：證明：方法2

相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將周期延拓：則有：在主值區(qū)間，所以：N同樣可證：N2.時(shí)域圓周卷積過程例：N-10mN-10m0m0m0m0m0233211N-1nN最后結(jié)果：四.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m設(shè)的長度為的長度為則它們的線性卷積為2.用圓周卷積計(jì)算線性卷積它們的L點(diǎn)圓周卷積為圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積如下圖：

圓周卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L.由于有個(gè)非零值,所以周期L必須滿足:

圓周卷積能夠代表線性卷積五、共軛對(duì)稱性復(fù)習(xí)：對(duì)于任意序列1.周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量周期為N的周期序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量分別定義為同樣，有2.有限長序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量有限長序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量分別定義為由于所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個(gè)長度相同的兩個(gè)分量。3.共軛對(duì)稱特性之一證明：4.共軛對(duì)稱特性之二證明：可知：5.共軛對(duì)稱特性之三證明：6.共軛對(duì)稱特性之四證明：7.共軛對(duì)稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱性

§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一、DFT、DTFT、Z變換的關(guān)系設(shè)x(n)為有限長序列，x(n)的Z變換為：單位圓上的的Z變換為：單位圓上的的Z變換為有限長序列的DTFT在單位圓上進(jìn)行等間隔采樣：即令1234567(N-1)k=0把單位圓圓周N等分，并把N等分點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，k=0，1，2…..N-1在單位圓上進(jìn)行等間隔采樣為該有限長序列的DFT二、如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列１、頻域抽樣:

對(duì)一有限長序列進(jìn)行DFT變換，所得X(k)就是對(duì)序列的傅立葉變換的采樣.同時(shí)，DFT也是序列的Z變換在單位圓上的均勻抽樣所以，DFT就是頻域抽樣。2、由頻域抽樣

恢復(fù)序列x(n)對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為對(duì)進(jìn)行反變換,并令其為,則1,m=n+rN,0,其他m

結(jié)論：

由

得到的周期序列

是非周期序列x(n)的周期延拓。

頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。3.頻域抽樣不失真的條件當(dāng)序列x(n)的長度為M時(shí),只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí),才能由X(k)不失真的恢復(fù)信號(hào)x(n),即三、由X(k)表達(dá)

X(Z)與的問題——內(nèi)插公式1.由X(k)恢復(fù)X(Z)

序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于，所以上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式——內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性

令分子為零,得:

令分母為零,得:為一階極點(diǎn)為(N-1)階極點(diǎn)N個(gè)零點(diǎn)極點(diǎn)與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn)

稱作本抽樣點(diǎn)。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零,其他(N-1)個(gè)抽樣點(diǎn)均為零。3.頻率響應(yīng)單位圓上的Z變換即為頻響,代入

既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為：3.頻率響應(yīng)單位圓上的Z變換即為頻響,代入內(nèi)插函數(shù)的頻率特性可見,

既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為：當(dāng)k=0時(shí),則有時(shí),由于i與k均為整數(shù),所以i

k

時(shí)

這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn)上,

而在其他抽樣點(diǎn)上

與X(k)的關(guān)系

與X(k)的關(guān)系在每個(gè)抽樣點(diǎn)上其值為1,故就精確等于X(k)。即

而在抽樣點(diǎn)之間,等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值

疊加而得。1.用DFT進(jìn)行譜分析

1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)2.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)變換對(duì)§3-8DFT的應(yīng)用3.DFT變換對(duì):

4.對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)的傅立葉變換的DFT逼近

用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T，就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換，再乘以就得到所需信號(hào)的正常幅度電平。所以,從時(shí)間到頻率,

再從頻率到時(shí)間，整個(gè)過程總共乘了

幅度電平未受到影響。設(shè)用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T的理由：用IDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換乘以的理由５.對(duì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)的DFS逼近采樣t=nTFT周期延拓DTFT截?cái)郉TFT卷積