用方程思想求三角形中的角 全國一等獎

新人教版八年級數(shù)學(xué)

第十一章第二節(jié)與三角形有關(guān)的角

橫車中學(xué)張曉樂

2017-10-10用方程思想求三角形中的角計算三角形相關(guān)角度時常用定理及其推論：⑴三角形三個內(nèi)角的和為180°；⑵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；典例精解例1∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角，且分別滿足下列條件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度數(shù).⑴∠A－∠B＝15°，∠C＝75°；⑵∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B；⑶∠A:∠B:∠C＝2:3:4解:(1)由∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝75°所以有：∠A+∠B=105°又知：∠A－∠B＝15°聯(lián)立可得，∠A=60°∠B＝45°

(2)設(shè)∠B=x°則∠A=x°+30°，∠C=4x°由∠A+∠B+∠C=180°所以：x+30+x+4x=180解得：x=25所以∠A=55°，∠B=25°，∠C=100°⑶∠A:∠B:∠C＝2:3:4.（3）設(shè)∠A=2x°則∠B=3x°，∠C＝4x°由∠A+∠B+∠C=180°所以2x+3x+4x=180解得：x=20所以∠A=40°則∠B=60°，∠C＝80°例2如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點,∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠BAC＝63°,求∠DAC的度數(shù).解:設(shè)∠1＝x°,則∠2＝x°,由三角形外角性質(zhì)得∠3＝∠1＋∠2＝2x°,∠4＝2x°,再由三角形內(nèi)角和定理知∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°,列方程63＋x＋2x＝180,解得x＝39,故∠DAC＝∠BAC－∠1＝63°－39°＝24°.例

3如圖,在△ABC中,∠ABC=∠BAC,∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D,若∠ADC=∠CAD,求∠ABC的度數(shù)。解：設(shè)∠ABC=x°∠ADC=y°則∠BAC=x°∠CAD=2y°

由三角形外角的性質(zhì)有：∠DAE=∠ABC+∠ADC

∠ACB=∠CAD+∠ADC所以：∠DAE=x°+y°，∠ACB=3y°再由∠DAE=∠CAD和△ABC的內(nèi)角和：

x+y=2y

x+x+3y=180解得x=36y=36所以：∠ABC=36°

課堂小結(jié)

求解三角形內(nèi)角或外角時，需要靈活運用三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)，一般可以直接計算，如果不能直接計算可以列方程解決.鞏固提高1、∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角，且滿足∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；求∠A，∠B的度數(shù).2、∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角，且滿足∠A＝80°，∠B＝∠C；求∠B，∠C的度數(shù).3、∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角，且滿足∠A:∠B:∠C＝3:4:5.求∠A,∠B，∠C的度數(shù)鞏固提高

4、如圖，∠B=∠C，∠ADE=∠AED,∠BAD=40°,求∠B