山西省長治市縣第二中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省長治市縣第二中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線在點(diǎn)P(1，12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

（

）

A．―9

B．―3

C．9

D．15參考答案：C2.設(shè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （

） A． B． C． D．參考答案：D略3.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.在中，，則等于（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）

（Ｄ）參考答案：C5.已知某幾何體的三視圖（單位：dm）如圖所示，則該幾何體的體積是A．dm3

B．dm3 C．1dm3 D．dm3參考答案：D6.已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的最大值為D．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)參考答案：C略7.若拋物線y2=2px，（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)重合，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)（﹣2，﹣1），則雙曲線的離心率是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的右頂點(diǎn)，以及拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到a=2，b=1，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到．解答： 解：拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（，0），雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為（a，0），則由題意可得a=，由于拋物線的準(zhǔn)線為x=﹣，雙曲線的漸近線方程為y=±x，則交點(diǎn)為（﹣a，±b），由題意可得a=2，b=1，c==．e==．故選B．點(diǎn)評：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線是其圖像的一條對稱軸，則下列各式中符合條件的解析式是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.（5分）（2015?上海模擬）設(shè)p，q是兩個(gè)命題，（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】：計(jì)算題．【分析】：先分別化簡p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考慮p與q的推出關(guān)系，即可得結(jié)論．解：由題意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分條件故選B．【點(diǎn)評】：本題的考點(diǎn)是四種條件，以不等式解集為依托，合理運(yùn)用定義時(shí)解題的關(guān)鍵．10.已知雙曲線（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，若拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，且x1x2=﹣，則m的值為（）A． B． C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的定義可得a=2，可得y1=2x12，y2=2x22，A點(diǎn)坐標(biāo)是（x1，2x12），B點(diǎn)坐標(biāo)是（x2，2x22）A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)是（，），因?yàn)锳，B關(guān)于直線y=x+m對稱，所以A，B的中點(diǎn)在直線上，且AB與直線垂直，可得=+m，=﹣1，結(jié)合條件，由此能求得m．【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，可得2a=4，即a=2．拋物線y=2x2上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1=2x12，y2=2x22，A點(diǎn)坐標(biāo)是（x1，2x12），B點(diǎn)坐標(biāo)是（x2，2x22），A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)是（，），因?yàn)锳，B關(guān)于直線y=x+m對稱，所以A，B的中點(diǎn)在直線上，且AB與直線垂直，可得=+m，=﹣1，即x12+x22=+m，x2+x1=﹣，因?yàn)閤1x2=﹣，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=，代入得=﹣+m，求得m=．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖過⊙0外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A,B,且PB=7,C是圓上一點(diǎn)使得BC=5,∠BAC=∠APB,則AB=

.參考答案：

因?yàn)槭菆A的切線，所以，又，所以與相似，所以，所以，所以。12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為

．參考答案：因?yàn)?，所以?3.若點(diǎn)O、F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn)，則的最大值為 參考答案：6略14.已知函數(shù)的值域?yàn)?，集合，則=

.參考答案：略15.直線與圓的位置關(guān)系是

.參考答案：相交16.春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)．已知某種盆栽植物每株成活的概率為p，各株是否成活相互獨(dú)立．該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成活的株數(shù)，若X的方差，，則p=________．參考答案：0.7【分析】由題意可知：，且，從而可得值．【詳解】由題意可知：∴，即,∴故答案為：0.7【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．17.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.則f(－2)，f(1)，f(3)從小到大的順序是________．參考答案：f(3)<f(－2)<f(1)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2013?黃埔區(qū)一模）如圖所示，ABCD是一個(gè)矩形花壇，其中AB=6米，AD=4米．現(xiàn)將矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，對角線MN過C點(diǎn)，且矩形AMPN的面積小于150平方米．（1）設(shè)AN長為x米，矩形AMPN的面積為S平方米，試用解析式將S表示成x的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求最小面積．參考答案：（1）解：設(shè)AN的長為x米（x＞4）由題意可知：∵=，∴=，∴|AM|=，∴SAMPN=|AN|?|AM|=，由SAMPN＜150，得＜150，（x＞4），∴4＜x≤25，∴S=．定義域?yàn)?＜x≤25．（2）∵S===6（x﹣4）++4≥2+4=8+4（10分）當(dāng)且僅當(dāng)6（x﹣4）=，即x=4+時(shí)，取“=”號即AN的長為4+米，矩形AMPN的面積最小，最小為80+4米．略19.已知圓的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.若直線與圓相交于,兩點(diǎn)，且.（Ⅰ）求圓的直角坐標(biāo)方程，并求出圓心坐標(biāo)和半徑；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的值.參考答案：略20.（本小題滿分12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取20件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量得到如圖3的頻率分布直方圖，從左到右各組的頻數(shù)依次記為，，，，．⑴求圖3中的值；⑵圖4是統(tǒng)計(jì)圖3中各組頻數(shù)的一個(gè)算法流程圖，求輸出的結(jié)果；⑶從質(zhì)量指標(biāo)值分布在、的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值之差大于10的概率．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；程序框圖．K2L1⑴；⑵18；（3）

解析：⑴依題意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）輸出的……8分（列式、結(jié)果各1分）⑶記質(zhì)量指標(biāo)在的4件產(chǎn)品為，，，，質(zhì)量指標(biāo)在的1件產(chǎn)品為，則從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10種……10分記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A，則事件A中包含的基本事件為：，，，共4種……11分∴……12分【思路點(diǎn)撥】（1）依題意，利用頻率之和為1，直接求解a的值．（2）由頻率分布直方圖可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框圖可得S=A2+A3+A4，代入即可求值．（3）記質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）的4件產(chǎn)品為x1，x2，x3，x4，質(zhì)量指標(biāo)在[80，90）的1件產(chǎn)品為y1，可得從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果共10種，記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A，可求事件A中包含的基本事件共4種，從而可求得P（A）．21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0,－1)，求a的值；（2）是否存在負(fù)整數(shù)a，使函數(shù)的極大值為正值？若存在，求出所有負(fù)整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)，求證：函數(shù)既有極大值，又有極小值．參考答案：解：（1）∵∴,∴函數(shù)在處的切線方程為：，又直線過點(diǎn)∴，解得：

………2分（2）若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上無極值；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上無極值；

方法（一）在上，若在處取得符合條件的極大值，則，5分則，由（3）得：，代入（2）得：，結(jié)合（1）可解得：，再由得：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即是增函數(shù)，所以，又，故當(dāng)極大值為正數(shù)時(shí)，，從而不存在負(fù)整數(shù)滿足條件．

………8分方法（二）在時(shí)，令，則∵∴

∵為負(fù)整數(shù)

∴

∴∴

∴

∴在上單調(diào)減又，∴，使得

…5分且時(shí)，，即；時(shí)，，即；∴在處取得極大值

（*）又∴代入（*）得：∴不存在負(fù)整數(shù)滿足條件．

………8分（3）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故至多兩個(gè)零點(diǎn)．又，，所以存在，使再由在上單調(diào)遞增知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值．

………12分

當(dāng)時(shí)，，且，所以，函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，必存在負(fù)實(shí)數(shù)，使，又，故在上存在，使，再由在上單調(diào)遞減知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞減；所以函數(shù)在處取得極大值．

綜上，函數(shù)既有極大值，又有極小值．

………16分

22.（本題滿分12分）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中點(diǎn)E做平行于AD,BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點(diǎn),F,G,H.證明：四邊形EFGH是矩形：（II）求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：由三視圖可知，四面體ABCD的底面BDC是以∠BDC為直角的等腰直角三角形，且側(cè)棱AD⊥底面BDC．如圖，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD?平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD?平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC?平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC?平面ABC，∴B