等邊三角形綜合探究 全國(guó)獲獎(jiǎng)

專題講座等邊三角形綜合探究1．(青山區(qū)期末)已知△ABC是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，且CD＝AB，連接BD交AC于點(diǎn)O.

(1)如圖①，求證：AC垂直平分BD；

(2)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段AC上，且ND＝NM，連接BN，DM.

①如圖②，點(diǎn)N在線段CO上，求∠NMD的度數(shù)；

②如圖③，點(diǎn)N在線段AO上，求證：NA＝MC.【解析】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠A＝60°＝∠ACB，又∵CD＝AB＝BC,∴BO＝DO，CO⊥BD,∴AC垂直平分BD.(2)①由(1)知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∠CBD＝∠ABC＝30°.∴∠1＝∠2，∴∠BND＝180°－2∠2.∵ND＝NM，∴NB＝NM，∴∠3＝∠4，∠BNM＝180°－2∠4，∴∠DNM＝360°－(180°－2∠2)－(180°－2∠4)＝2(∠2＋∠4)＝60°，又∵ND＝NM，∴△NMD為等邊三角形，∴∠NMD＝60°.②證明：連接AD.由題意知，△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°，AD＝CD.與①同理可證∠1＝∠2，∠3＝∠NBM,∠BND＝180°－2∠2，∠BNM＝180°－2∠NBM,∴∠MND＝∠BND－∠BNM＝2(∠NBM－∠2)＝60°.∵ND＝NM,∴△MND是等邊三角形．∴DN＝DM，∠NDM＝60°，∠ADC＝∠NDM,∴∠NDA＝∠MDC.在△AND與△CMD中，DN＝DM，∠NDA＝∠MDC，AD＝DC，∴△AND≌△CMD(SAS),∴NA＝MC.2．(東湖高新區(qū)期末模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：DE＝EB；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，猜想ED和EB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，EH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作GE∥AB，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG＝5CG，BH＝3.求CG的長(zhǎng)．【解析】(1)證明：∵△CDE是等邊三角形，∴∠CED＝60°.∴∠EDB＝60°－∠B＝30°，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝EB.(2)ED＝EB.證明：取AB的中點(diǎn)O，連接CO，EO.∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，OC＝OA＝OB,∴△ACO為等邊三角形，∴CA＝CO.∵△CDE是等邊三角形，∴∠ACO＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠OCE.在△ACD和△OCE中，CA＝CO，∠ACD＝∠OCE，CD＝CE,∴△ACD≌△OCE(SAS),∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°.在△COE和△BOE中，OC＝OB，∠COE＝∠BOE，OE＝OE,∴△COE≌△BOE(SAS),∴EC＝EB,∴ED＝EB.(3)取AB的中點(diǎn)O，連接CO，EO，EB，由(2)得△ACD≌△OCE,∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°.易證△COE≌△BOE(SAS),∴EC＝EB,∴ED＝EB.∵EH⊥AB,∴DH＝BH＝3.∵GE∥AB,∴∠G＝180°－∠A＝120°.在△CEG和△DCO中，∠G＝∠COD，∠GEC＝∠OCD(易證)，CE＝CD,∴△CEG≌△DCO(