九級數(shù)學上冊教案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1?通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，分清二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解．重點通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題．難點一元二次方程及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別．活動1復習舊知1．什么是方程？你能舉一個方程的例子嗎？2．下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式．(1)2χ-1(2)mx+n=0(3)L+1=0(4)x2=1x3?下列哪個實數(shù)是方程2χ-1=3的解？并給出方程的解的概念.A．0 B．1 C．2D．3活動2探究新知根據(jù)題意列方程．1．教材第2頁問題1.提出問題：(1)正方形的大小由什么量決定？本題應該設哪個量為未知數(shù)？(2)本題中有什么數(shù)量關系？能利用這個數(shù)量關系列方程嗎？怎么列方程？(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程．2．教材第2頁問題2.提出問題：(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？(2)比賽隊伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關系？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？(3)如果有X個隊參賽，一共比賽多少場呢？3．一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為0，求這兩個數(shù)．提出問題：本題需要設兩個未知數(shù)嗎？如果可以設一個未知數(shù)，那么方程應該怎么列？4．一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少？活動3歸納概念提出問題：(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點和不同點？(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字？(3)歸納一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣的 方程，叫做一元二次方程．2?一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；C是常數(shù)項.提出問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？(3)2x2—x+1=0的一次項系數(shù)是1嗎？為什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)．活動4例題與練習例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是 ．(1)4x2=81；(2)2x2—1=3y；(3)-1+1=2；x2x(4)2x2—2x(x+7)=0.總結：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．例2教材第3頁例題．例3以—2為根的一元二次方程是( )A．x2+2x—1=0B．x2—x—2=0C．x2+x+2=0D．x2+x—2=0總結：判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．練習：1-若(a—1)x2+3ax—1=0是關于X的一元二次方程，那么a的取值范圍是 .2．將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．(1)4x2=81；(2)(3x—2)(x+1)=8x—3.3．教材第4頁練習第2題．4?若一4是關于X的一元二次方程2x2+7x—k=0的一個根，則k的值為.答案：1.a≠1;2.略；3.略；4.k=4.活動5課堂小結與作業(yè)布置課堂小結我們學習了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程嗎？作業(yè)布置教材第4頁習題21.1第1?7題.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3課時)第1課時直接開平方法理解一元二次方程“降次”——轉化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題．提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重點運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數(shù)學思想.難點通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(X+m)2=n(n≥0)的方程.一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題．問題1：填空(1)x2—8x+=(x—)2；(2)9x2+12x÷=(3x+)2；(3)x2÷px÷=(x÷)2.解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；⑶(2)22.問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？二、探索新知上面我們已經講了x2=9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±3，如果X換元為2t+1，即(2t÷1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢？(學生分組討論)老師點評：回答是肯定的，把2t÷1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t÷1=±3即2t÷1=3，2t÷1=—3方程的兩根為t1=1，t2=—2例1解方程：(1)x2÷4x÷4=1(2)x2÷6x÷9=2分析：(1)x2÷4x÷4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x÷2)2=1.(2)由已知，得：(x÷3)2=2直接開平工，得：x÷3=±?'2IPx÷3=?''2，x÷3=一\：5所以，方程的兩根x1=—3+也，x2=一3—0解：略.例2市政府計劃2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面積增長率．分析：設每年人均住房面積增長率為X，一年后人均住房面積就應該是10÷10x=10(1÷x);二年后人均住房面積就應該是10(1÷x)÷10(1÷x)x=10(1÷x)2解：設每年人均住房面積增長率為x，貝人10(1÷x)2=14.4(1÷x)2=1.44直接開平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1÷x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去.所以，每年人均住房面積增長率應為20%.(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉化思想”．三、鞏固練習教材第6頁練習．四、課堂小結本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±%，轉化為應用直接開平方法解形如(mx÷n)2=p(p≥0)的方程，那么mx÷n=±√p，達到降次轉化之目的.若p<0則方程無解.五、作業(yè)布置教材第16頁復習鞏固1.第2課時配方法的基本形式理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題．通過復習可直接化成x2=p(p≥0)或(mx÷n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟．重點講清直接降次有困難，如x2+6χ-16=0的一元二次方程的解題步驟.難點將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧．一、復習引入(學生活動)請同學們解下列方程：(1)3x2—1=5(2)4(χ-1)2—9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±\；p或mx+n=±?'p(p≥0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9嗎？二、探索新知列出下面問題的方程并回答：(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢？問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，求場地的長和寬各是多少？⑴列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有X的完全平方式而后二個不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：x2÷6x-16=0移項→x2+6x=l6兩邊加(6/2)2使左邊配成x2÷2bx÷b2的形式→x2÷6x÷32=16÷9左邊寫成平方形式→(x÷3)2=25降次→x÷3=±5即x÷3=5或x÷3=-5解一次方程-x1=2，X2=-8可以驗證：x1=2，x2=-8都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2m，長為8m.像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．例1用配方法解下列關于x的方程：(1)x2-8x÷1=0(2)x2—2x—2=0乙分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上．解：略．三、鞏固練習教材第9頁練習1，2.(1)(2)．四、課堂小結本節(jié)課應掌握：左邊不含有X的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有X的完全平方形式,右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程．五、作業(yè)布置教材第17頁復習鞏固2，3.(1)(2)．第3課時配方法的靈活運用了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟．通過復習上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目．重點講清配方法的解題步驟．難點對于用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項系數(shù)一半的平方；對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項系數(shù)為1，再用配方法求解．一、復習引入(學生活動)解下列方程：(1)x2-4x+7=0(2)2x2—8x+1=0老師點評：我們上一節(jié)課，已經學習了如何解左邊不含有X的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次解方程的轉化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題．解：略． (2)與(1)有何關聯(lián)？二、探索新知討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1；(3)常數(shù)項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=—p±\：&如果q<0，方程無實根.例1解下列方程：(1)2x2＋1=3x(2)3x2—6x＋4=0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)—4=0分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有X的完全平方式.解：略．三、鞏固練習教材第9頁練習2.(3)(4)(5)(6)．四、課堂小結本節(jié)課應掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過配方，利用非負數(shù)的性質判斷代數(shù)式的正負性．在今后學習二次函數(shù)，到高中學習二次曲線時，還將經常用到．五、作業(yè)布置教材第17頁復習鞏固3.(3)(4)．補充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y—6z+14=0，求x+y+z的值.(2)求證：無論X，y取任何實數(shù)，多項式x2+y2—2x—4y+16的值總是正數(shù).21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程．復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推導，并應用公式法解一元二次方程．重點求根公式的推導和公式法的應用．難點一元二次方程求根公式的推導．一、復習引入1．前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程（1）x2=4（2）（χ-2）2=7提問1這種解法的（理論）依據(jù)是什么？提問2這種解法的局限性是什么？（只對那種“平方式等于非負數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實施于一般形式的二次方程．）2．面對這種局限性，怎么辦？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式．）（學生活動）用配方法解方程2x2+3=7x（老師點評）略總結用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結，老師點評）．（1）先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1；(3)常數(shù)項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=—p±\：&如果q<0，方程無實根.二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2—7x＋3=0(2)ax2＋bx＋3=0如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.問題：已知ax2+bx+C=0(a≠0)，試推導它的兩個根X=——也c，X=1 2a 2—b―、、jb2―4ac(這個方程一定有解嗎？什么情況下有解?)2a分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a，b，c也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．解：移項，得：ax2+bx=-cbC二次項系數(shù)化為1，得x2+bx=—Caa配方，得：x2+ax+(2ba)2=—a+(2bα)2即(x+2?2=b2—4ac

4a2?.?4a2>0，當b2—4ac≥0時b2—4ac^0^≥0,b \；b2—4ac(x+2a)2=(r^)2直接開平方，得：x+葛=±與ac2a2a即x=—b±-?Jb2-4ac

2a. —b+^√b2-4ac —b—`.Jb2—4ac?’xι= 2α，x2= 2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此:(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2—4ac≥0時，將a，b，c代入式子X=一b±\'?2一4筮就得到方程的根.(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．例1用公式法解下列方程：(1)2x2—x—1=0(2)x2+1.5=—3x(3)x2—?√2x+2=0(4)4x2—3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可．補：(5)(x-2)(3x-5)=0三、鞏固練習教材第12頁練習1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．四、課堂小結本節(jié)課應掌握：(1)求根公式的概念及其推導過程；(2)公式法的概念；(3)應用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a>0；2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項的系數(shù)包括符號；3)計算b2-4ac，若結果為負數(shù)，方程無解；4)若結果為非負數(shù)，代入求根公式，算出結果．(4)初步了解一元二次方程根的情況．五、作業(yè)布置教材第17頁習題4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題．重點用因式分解法解一元二次方程．難點讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便．一、復習引入（學生活動）解下列方程：（1）2x2÷x=0（用配方法）（2）3x2÷6x=0（用公式法）老師點評：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應為2

此，應加上（4）2，同時減去（4）2.（2）直接用公式求解.二、探索新知（學生活動）請同學們口答下面各題．（老師提問）（1）上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？（2）等式左邊的各項有沒有共同因式？（學生先答，老師解答）上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解．因此，上面兩個方程都可以寫成：(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(1)x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-2.(2)3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=—2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的？)因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．例1解方程：(1)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)5x2—2x—4=x2—2x+4(4)(x-1)2=(3—2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？解：略(方程一邊為0，另一邊可分解為兩個一次因式乘積．)練習：下面一元二次方程解法中，正確的是( )A?(x—3)(x—5)=10×2，Ax—3=10，x—5=2，Λx1=13，x2=7B?(2—5x)+(5x—2)2=0，A(5x—2)(5x-3)=0，Ax=2，X=315 25C?(x+2)2+4x=0，Ax1=2，x2=—2D?x2=x，兩邊同除以X，得x=1三、鞏固練習教材第14頁練習1，2.四、課堂小結本節(jié)課要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用．(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.五、作業(yè)布置教材第17頁習題6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系1．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系并會初步應用．2．培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．3．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律．4．培養(yǎng)學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神．重點根與系數(shù)的關系及其推導難點正確理解根與系數(shù)的關系．一元二次方程根與系數(shù)的關系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關系．一、復習引入1?已知方程x2-aχ-3a=0的一個根是6，則求a及另一個根的值.2．由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關系．其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數(shù)的關系，這種關系比較復雜，是否有更簡潔的關系？3．由求根公式可知，元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1—b+-?Jb2-4ac=2a—b一,?,ιb2—4ac …一 .，一一.I . ' x2= 2a .觀察兩式右邊，分母相同，分子是一b+%'b2-4ac與一b—?∣b2-4ac.兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？二、探索新知解下列方程，并填寫表格：方程x1x2x1+x2x1Fx2-2x=0x2÷3x-4=0x2—5x+6=0觀察上面的表格，你能得到什么結論？(1)關于X的方程x2+px+q=0(p，q為常數(shù)，p2-4q≥0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q之間有什么關系？(2)關于X的方程αx2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？解下列方程，并填寫表格：方程x1x2x1+x2x1*x22x2-7x-4=03x2÷2x-5=05x2—17x+6=0小結：根與系數(shù)關系：(1)關于X的方程x2÷px÷q=0(p，q為常數(shù)，p2-4q≥0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q的關系是：'+xzM-p，、-*2=^注意：根與系數(shù)關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零．)(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，可以先將二次項系數(shù)化為1，再利用上面的結論.即：對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)Va≠0，Λx2÷αx÷α=0.,b C??xι÷x2=-a，xi?x2=a(可以利用求根公式給出證明)例1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：(1)x2—3x—1=0 (2)2x2÷3x—5=0(3)3x2—2x=0(4)?ι'2x2÷-Vl6x=?,'3(5)x2—1=0(6)x2—2x÷1=0例2不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？(1)x2—2?'2x÷1=0(x1=%,'2÷1，x2=γ1r2-1)7÷-..;173 5—-/73(2)2x2—3x—8=0(XI=^^，x2=例3已知一元二次方程的兩個根是—1和2，請你寫出一個符合條件的方程．(你有幾種方法？)例4已知方程2x2+kx—9=0的一個根是一3，求另一根及k的值.變式一：已知方程x2—2kx—9=0的兩根互為相反數(shù)，求k；變式二：已知方程2x2—5x÷k=0的兩根互為倒數(shù)，求k.三、課堂小結1．根與系數(shù)的關系．2．根與系數(shù)關系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零．四、作業(yè)布置1．不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積．(1)x2—5x—3=0(2)9x÷2=x2(3)6x2—3x÷2=0(4)3x2÷x÷1=02?已知方程x2—3x÷m=0的一個根為1，求另一根及m的值.3?已知方程x2÷bx÷6=0的一個根為一2，求另一根及b的值.21.3實際問題與一元二次方程(2課時)第1課時解決代數(shù)問題1．經歷用一元二次方程解決實際問題的過程，總結列一元二次方程解決實際問題的一般步驟．2．通過學生自主探究，會根據(jù)傳播問題、百分率問題中的數(shù)量關系列一元二次方程并求解，熟悉解題的具體步驟．3．通過實際問題的解答，讓學生認識到對方程的解必須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實際意義為標準．重點利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題．難點如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長（降低）過程，找到傳播問題和百分率問題中的數(shù)量關系．一、引入新課1．列方程解應用題的基本步驟有哪些？應注意什么？2．科學家在細胞研究過程中發(fā)現(xiàn)：(1)一個細胞一次可分裂成2個，經過3次分裂后共有多少個細胞？(2)一個細胞一次可分裂成X個，經過3次分裂后共有多少個細胞？(3)如是一個細胞一次可分裂成2個，分裂后原有細胞仍然存在并能再次分裂，試問經過3次分裂后共有多少個細胞？二、教學活動活動1：自學教材第19頁探究1，思考教師所提問題．有一人患了流感，經過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(1)如何理解“兩輪傳染”？如果設每輪傳染中平均一個人傳染了X個人，第一輪傳染后共有 人患流感．第二輪傳染后共有 人患流感．(2)本題中有哪些數(shù)量關系？(3)如何利用已知的數(shù)量關系選取未知數(shù)并列出方程？解答：設每輪傳染中平均一個人傳染了X個人，則依題意第一輪傳染后有(x+1)人患了流感，第二輪有x(1+x)人被傳染上了流感.于是可列方程：1÷x÷x(1÷x)=121解方程得x1=10，x2=—12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人．變式練習：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？活動2：自學教材第19頁?第20頁探究2,思考老師所提問題.兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？(2)若設甲種藥品年平均下降率為X，則一年后，甲種藥品的成本下降了元，此時成本為 元；兩年后，甲種藥品下降了 元，此時成本為 元．(3)增長率(下降率)公式的歸納：設基準數(shù)為a,增長率為X，則一月(或一年)后產量為a(1±x)；二月（或二年）后產量為a（1±x）2;n月（或n年）后產量為a（1±x）n;如果已知n月（n年）后總產量為M，則有下面等式：M=a（1±x）n.（4）對甲種藥品而言根據(jù)等量關系列方程為： .三、課堂小結與作業(yè)布置課堂小結1．列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答．最后要檢驗根是否符合實際．2．傳播問題解決的關鍵是傳播源的確定和等量關系的建立．3?若平均增長（降低）率為x，增長（或降低）前的基準數(shù)是a，增長（或降低）n次后的量是b，則有：a（1±x）n=b（常見n=2）.4．成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也較?。鳂I(yè)布置教材第21－22頁習題21.3第2－7題．第2課時解決幾何問題1．通過探究，學會分析幾何問題中蘊含的數(shù)量關系，列出一元二次方程解決幾何問題．2．通過探究，使學生認識在幾何問題中可以將圖形進行適當變換，使列方程更容易．3．通過實際問題的解答，再次讓學生認識到對方程的解必須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實際意義為標準．重點通過實際圖形問題，培養(yǎng)學生運用一元二次方程分析和解決幾何問題的能力．難點在探究幾何問題的過程中，找出數(shù)量關系，正確地建立一元二次方程．活動1創(chuàng)設情境1．長方形的周長 ，面積 ，長方體的體積公式 2．如圖所示：(1)一塊長方形鐵皮的長是10Cm,寬是8Cm，四角各截去一個邊長為2Cm的小正方形，制成一個長方體容器，這個長方體容器的底面積是 ，高是 ，體積是(2)一塊長方形鐵皮的長是10Cm,寬是8Cm，四角各截去一個邊長為XCm的小正方形，制成一個長方體容器，這個長方體容器的底面積是 ，高是 ，體積是活動2自學教材第20頁?第21頁探究3,思考老師所提問題要設計一本書的封面，封面長27Cm,寬21Cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(精確到0.1Cm)．(1)要設計書本封面的長與寬的比是 ，則正中央矩形的長與寬的比是 ．(2)為什么說上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7?試與同伴交流一下.(3)若設上、下邊襯的寬均為9xCm,左、右邊襯的寬均為7xCm，則中央矩形的長為Cm，寬為Cm，面積為 Cm2.(4)根據(jù)等量關系： ，可列方程為： .（5）你能寫出解題過程嗎？（注意對結果是否合理進行檢驗．）（6）思考如果設正中央矩形的長與寬分別為9xCm和7xCm，你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？活動3變式練習如圖所示，在一個長為50米，寬為30米的矩形空地上，建造一個花園，要求花園的面積占整塊面積的75%，等寬且互相垂直的兩條路的面積占25%，求路的寬度．答案：路的寬度為5米．活動4課堂小結與作業(yè)布置課堂小結1．利用已學的特殊圖形的面積（或體積）公式建立一元二次方程的數(shù)學模型，并運用它解決實際問題的關鍵是弄清題目中的數(shù)量關系．2．根據(jù)面積與面積（或體積）之間的等量關系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對所得結果是否合理要進行檢驗．作業(yè)布置教材第22頁習題21.3第8，10題．第二十二章二次函數(shù)22．1二次函數(shù)的圖象和性質22．1.1二次函數(shù)1．從實際情景中讓學生經歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關系的過程，進步體驗如何用數(shù)學的方法去描述變量之間的數(shù)量關系．2．理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式．3．會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍．重點二次函數(shù)的概念和解析式．難點本節(jié)“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜，要求學生有較強的概括能力．一、創(chuàng)設情境，導入新課問題1現(xiàn)有一根12m長的繩子，用它圍成一個矩形，如何圍法，才使矩形的面積最大？小明同學認為當圍成的矩形是正方形時，它的面積最大，他說的有道理嗎？問題2很多同學都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？怎樣計算籃球達到最高點時的高度？這些問題都可以通過學習二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決，今天我們學習“二次函數(shù)”(板書課題)．二、合作學習，探索新知請用適當?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個變量y與X之間的關系：(1)圓的半徑X(Cm)與面積y(cm2)；(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期，設一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元；(3)擬建中的一個溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個矩形，周長為120m，室內通道的尺寸如圖，設一條邊長為X(m)，種植面積為y(m2).(一)教師組織合作學習活動：1?先個體探求，嘗試寫出y與X之間的函數(shù)解析式.2．上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎上，小組進行合作交流，共同探討．(1)y=∏x2(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+20000(3)y=(60—x—4)(x—2)=－x2＋58x－112(二)上述三個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？讓學生充分發(fā)表意見，提出各自看法．教師歸納總結：上述三個函數(shù)解析式經化簡后都具有y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式.板書：我們把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(quadraticfunction)，稱a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，C為常數(shù)項.請講出上述三個函數(shù)解析式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．三、做一做1．下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？(1)y=x2(2)y=—?(3)y=2x2—x—1x2(4)y=x(1—x)(5)y=(x—1)2—(x+1)(x—1)2．分別說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：(1)y=x2+1(2)y=3x2+7x—12(3)y=2x(1—x)3?若函數(shù)y=(m2—1)xm2—m為二次函數(shù)，則m的值為.四、課堂小結反思提高，本節(jié)課你有什么收獲？五、作業(yè)布置教材第41頁第1，2題.22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質通過畫圖，了解二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象是一條拋物線，理解其頂點為何是原點，對稱軸為何是y軸，開口方向為何向上(或向下)，掌握其頂點、對稱軸、開口方向、最值和增減性與解析式的內在關系，能運用相關性質解決有關問題．重點從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=aχ2的性質，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2與函數(shù)圖象的內在關系.難點畫二次函數(shù)y=ax2的圖象.一、引入新課1．下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？(1)y=3χ-1(2)y=2x2÷7(3)y=χ-2(4)y=3(χ-1)2÷12．一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質呢？3．上節(jié)課我們學習了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y=ax2的圖象和性質.二、教學活動活動1：畫函數(shù)y=-x2的圖象.(1)多媒體展示畫法(列表，描點，連線)．(2)提出問題：它的形狀類似于什么？(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點．活動2：在坐標紙上畫函數(shù)y=—0.5x2，y=-2χ2的圖象.(1)教師巡視，展示學生的作品并進行點撥；教師再用多媒體課件展示正確的畫圖過程．(2)引導學生觀察二次函數(shù)y=-0.5x2,y=-2χ2與函數(shù)y=-χ2的圖象，提出問題：它們有什么共同點和不同點？(3)歸納總結：共同點：①它們都是拋物線；②除頂點外都處于X軸的下方；③開口向下；④對稱軸是y軸；⑤頂點都是原點(0，0).不同點：開口大小不同．(4)教師強調指出：這三個特殊的二次函數(shù)y=ax2是當a<0時的情況.系數(shù)a越大，拋物線開口越大．活動3：在同一個直角坐標系中畫函數(shù)y=x2，y=0,5χ2，y=2χ2的圖象.類似活動2：讓學生歸納總結出這些圖象的共同點和不同點，再進一步提煉出二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質圖象(草圖)開口方向頂點對稱軸最高或最低點最值a>0當X= 時，y有最 值，是 .a<0當x= 時，y有最 值，是 .活動4：達標檢測(1)函數(shù)y=-8x2的圖象開口向，頂點是 ，對稱軸是 ，當X時，y隨X的增大而減小.(2)二次函數(shù)y=(2k-5)x2的圖象如圖所示，則k的取值范圍為(3)如圖，①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2.比較a，b，c，d的大小，用“〉”連接．答案：(1)下，(0，0)，x=0，>0；(2)k>2.5;(3)a>b>d>c.三、課堂小結與作業(yè)布置課堂小結1．二次函數(shù)的圖象都是拋物線．2?二次函數(shù)y=ax2的圖象性質：(1)拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點.(2)當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點；⑸越大，拋物線的開口越小.作業(yè)布置教材第32頁練習．22-1.3二次函數(shù)y=a(χ-h)2+k的圖象和性質1．經歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義．2?了解y=ax2，y=a(x—h)2，y=a(x—h)2+k三類二次函數(shù)圖象之間的關系.3?會從圖象的平移變換的角度認識y=a(χ-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.重點從圖象的平移變換的角度認識y=a(χ-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.難點對于平移變換的理解和確定，學生較難理解．一、復習引入二次函數(shù)y=ax2的圖象和特征：1?名稱；2.頂點坐標；3.對稱軸；4.當a>0時，拋物線的開口向,頂點是拋物線上的最點，圖象在X軸的(除頂點外)；當a<0時，拋物線的開口向,頂點是拋物線上的最點，圖象在x軸的 (除頂點外)．二、合作學習在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2χ2，y=2(x+2)2，y=2(x-2)2的圖象.(1)請比較這三個函數(shù)圖象有什么共同特征？(2)頂點和對稱軸有什么關系？(3)圖象之間的位置能否通過適當?shù)淖儞Q得到？(4)由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？三、探究二次函數(shù)y=ax2和y=a(x—h)2圖象之間的關系1?結合學生所畫圖象，引導學生觀察y=1(x+2)2與y=2x2的圖象位置關系，直觀得出y=2x2的圖象向左—兩個單位y=2(x+2)2的圖象.教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個對應點的位置關系，如:(0，0)向左—兩個單位(一2，0)(2，2)向左—兩個單位(0，2)；(-2，2)向左—兩個單位(一4，2).②也可以把這些對應點在圖象上用彩色粉筆標出，并用帶箭頭的線段表示平移過程.?用同樣的方法得出y=2x2的圖象向右—兩個單位y=2(x-2)2的圖象.?請你總結二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質.y=ax2(a≠0)的圖象當h>0時，—右平移h個單位y=a(x-h)2的圖象.當h<0時，向左平移Ihl個單位函數(shù)y=a(x—h)2的圖象的頂點坐標是(h，0)，對稱軸是直線x=h.4．做一做(1)拋物線開口方向對稱軸頂點坐標y=2(x+3)2y=-3(x—1)2y=-4(x—3)2(2)填空：①拋物線y=2x2向平移個單位可得到y(tǒng)=2(x+1)2;②函數(shù)y=-5(x-4)2的圖象可以由拋物線向平移個單位而得到．四、探究二次函數(shù)y=a(x-h)2+k和y=ax2圖象之間的關系1?在上面的平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=2(x+2)2+3的圖象.首先引導學生觀察比較y=2(x+2)2與y=2(x+2)2+3的圖象關系，直觀得出：y=+2)2的圖象向上――個單位y=2(x+2)2+3的圖象.(結合多媒體演示)再引導學生觀察剛才得到的y=1x2的圖象與y=2(x+2)2的圖象之間的位置關系，由此得出：只要把拋物線y=2x2先向左平移2個單位，在向上平移3個單位，就可得到函數(shù)y=1(x+2)2+3的圖象.乙2．做一做：請?zhí)顚懴卤恚汉瘮?shù)解析式圖象的對稱軸圖象的頂點坐標1y=2x2y=2(x+2)2y=1(x+2)2+33.總結y=a(x-h)2+k的圖象和y=ax2圖象的關系y=ax2(a≠0)的圖象當百0時，―右平移八個單位V=a(x-h)2的圖象當k>0時，――平移卜個單位y=當h<0時，向左平移Ihl個單位 當k<0時，向下平移Ikl個單位a(x-h)2+k的圖象.y=a(x-h)2+k的圖象的對稱軸是直線x=h,頂點坐標是(h，k).口訣：(h，k)正負左右上下移(h左加右減，k上加下減)從二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象可以看出：如果a>0,當x<h時，y隨X的增大而減小，當x>h時，y隨X的增大而增大；如果a<0,當x<h時，y隨X的增大而增大，當x>h時，y隨X的增大而減小.4．練習：課本第37頁練習五、課堂小結1?函數(shù)y=a(χ-h)2÷k的圖象和函數(shù)y=ax2圖象之間的關系.2?函數(shù)y=a(χ-h)2÷k的圖象在開口方向、頂點坐標和對稱軸等方面的性質.六、作業(yè)布置教材第41頁第5題22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(2課時)

第1課時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質?掌握用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2÷bx÷c的圖象.?掌握用圖象或通過配方確定拋物線y=ax2÷bx÷c的開口方向、對稱軸和頂點坐標.?經歷探索二次函數(shù)y=ax2÷bx÷c的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標以及配方的過程，理解二次函數(shù)y=ax2÷bx÷c的性質.重點過圖象和配方描述二次函數(shù)y=ax2÷bx÷c的性質.難點理解二次函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax2÷bx÷c(a≠0)的配方過程，發(fā)現(xiàn)并總結y=ax2÷bx÷c與y=a(x-h)2÷k的內在關系.一、導入新課-二次函數(shù)y=a(χ-h)2+k的圖象，可以由函數(shù)y=ax2的圖象先向平移 個單位，再向 平移 個單位得到．?二次函數(shù)y=a(χ-h)2+k的圖象的開口方向，對稱軸是 ,頂點坐標是 ．3-二次函數(shù)y=2x2-6x+21，你能很容易地說出它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點乙坐標，并畫出圖象嗎？二、教學活動活動1：通過配方，確定拋物線y=2x2-6x+21的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再乙描點畫圖．(1)多媒體展示畫法(列表，描點，連線)；(2)提出問題：它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么？(3)引導學生合作、討論觀察圖象：在對稱軸的左右兩側，拋物線從左往右的變化趨勢．活動2：1.不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)y=-x2+2x-3的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎？2?你能畫出函數(shù)y=-x2+2x-3的圖象，并說明這個函數(shù)具有哪些性質嗎？(1)在學生畫函數(shù)圖象的同時，教師巡視、指導；(2)抽一位或兩位同學板演，學生自糾，老師點評；(3)讓學生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關系？這個值與函數(shù)圖象的頂點坐標有什么關系？活動3：對于任意一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標？你能把結果寫出來嗎？(1)組織學生分組討論，教師巡視；(2)各組選派代表發(fā)言，全班交流，達成共識，抽學生板演配方過程；教師課件展示二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)和y=ax2+bx+c(a<0)的圖象.(3)引導學生觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，在對稱軸的左右兩側，y隨X的增大有什么變化規(guī)律？(4)引導學生歸納總結二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質.活動4：已知拋物線y=x2—2ax+9的頂點在坐標軸上，求a的值.活動5：檢測反饋1．填空：(1)拋物線y=x2-2x+2的頂點坐標是 ；(2)拋物線y=2x2-2x-1的開口，對稱軸是 ；(3)二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3，則a=.2．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．(1)y=3x2+2x；(2)y=-2x2+8x-8.3?求二次函數(shù)y=mx2+2mx+3(m>0)的圖象的對稱軸，并說出該圖象具有哪些性質.4?拋物線y=ax2+2x+c的頂點是(一1，2)，則a，c的值分別是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x=2；(3)-1;2.(1)開口向上，x=—3，(-3，-1)；⑵開口向下，x=2，(2，0)；3.對稱軸x=-1，當m>0時，開口向上，頂點坐標是(一1，3-m)；4.a=1，c=3.三、課堂小結與作業(yè)布置課堂小結二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質.作業(yè)布置教材第41頁第6題．第2課時用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1．掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，并會選用不同的形式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．2．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，最值和增減性．3．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，并能從圖象上觀察出函數(shù)的一些性質．重點二次函數(shù)的解析式和利用函數(shù)的圖象觀察性質．難點利用圖象觀察性質．一、復習引入1-拋物線y=-2(x+4)2—5的頂點坐標是，對稱軸是，在側，即X-4時，y隨著X的增大而增大；在側，即χ-4時，y隨著χ的增大而減??；當X=時，函數(shù)y最值是 ．2．拋物線y=2(X-3)2＋6的頂點坐標是 ，對稱軸是 ，在側，即X3時，y隨著X的增大而增大；在側，即X3時，y隨著X的增大而減?。划擷=時，函數(shù)y最 值是二、例題講解例1根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式：(1)函數(shù)圖象經過點A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-2)；(2)函數(shù)圖象的頂點坐標是(2，4)，且經過點(0，1)；(3)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=3，且圖象經過點(1，0)和(5，0).說明：本題給出求拋物線解析式的三種解法，關鍵是看題目所給條件．一般來說：任意給定拋物線上的三個點的坐標，均可設一般式去求；若給定頂點坐標(或對稱軸或最值)及另一個點坐標，則可設頂點式較為簡單；若給出拋物線與X軸的兩個交點坐標，則用分解式較為快捷.例2已知函數(shù)y=x2-2x—3，(1)把它寫成y=a(x—h)2+k的形式;并說明它是由怎樣的拋物線經過怎樣平移得到的？(2)寫出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值；(3)求出圖象與坐標軸的交點坐標；(4)畫出函數(shù)圖象的草圖；(5)設圖象交X軸于A，B兩點，交y軸于P點，求AAPB的面積；(6)根據(jù)圖象草圖，說出X取哪些值時，①y=0；②y<0；③y>0?說明：(1)對于解決函數(shù)和幾何的綜合題時要充分利用圖形，做到線段和坐標的互相轉化；(2)利用函數(shù)圖象判定函數(shù)值何時為正，何時為負，同樣也要充分利用圖象，要使y<0，其對應的圖象應在X軸的下方，自變量X就有相應的取值范圍.例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，貝U：a 0；b 0；c 0；b2—4ac 0.說明：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與系數(shù)a，b，C的符號的關系:系數(shù)的符號 圖象特征 a的符號a>0拋物線開口向 a<0拋物線開口向 T的符號—y->02a拋物線對稱軸在y軸的 側b=0拋物線對稱軸是 軸-y-<02a拋物線對稱軸在y軸的——側C的符號c>0拋物線與y軸交于 c=0拋物線與y軸交于 c<0拋物線與y軸交于 三、課堂小結本節(jié)課你學到了什么？四、作業(yè)布置教材第40頁練習1，2.22.2二次函數(shù)與一元二次方程1?總結出二次函數(shù)的圖象與X軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根．2．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．3．會用計算方法估計一元二次方程的根．重點方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．難點二次函數(shù)的圖象與X軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系.一、復習引入-二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的開口由什么決定呢？補充：當a的絕對值相等時，其形狀完全相同，當a的絕對值越大，則開口越小，反之成立．?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質：(1)頂點坐標與對稱軸；(2)位置與開口方向；(3)增減性與最值．當a>0時，在對稱軸的左側，y隨著X的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側，y隨著X的增大而增大；當x=-b-時，函數(shù)y有最小值4acb2.2a 4a當a<0時，在對稱軸的左側，y隨著X的增大而增大；在對稱軸的右側，y隨著X的增大而減??；當X=—卷時，函數(shù)y有最大值4acb2.2a 4a二、新課教學探索二次函數(shù)與一元二次方程：二次函數(shù)y=x2÷2x，y=x2—2x+1，y=x2—2x+2的圖象如圖所示.(1)每個圖象與X軸有幾個交點？(2)一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有幾個根？驗證一下一元二次方程X2—2X+2=0有根嗎？(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和X軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系？歸納：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況：①有兩個交點，②有一個交點，③沒有交點．當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和X軸有交點時，交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一■元二次方程ax2+bx+c=0的根.當b2-4ac>0時，拋物線與x軸有兩個交點，交點的橫坐標是一元二次方程0=ax2+bx+c的兩個根X1與x2;當b2—4ac=0時，拋物線與X軸有且只有一個公共點；當b2—4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.舉例：求二次函數(shù)圖象y=x2—3x+2與x軸的交點A，B的坐標.結論:方程X2—3x+2=0的解就是拋物線y=x2—3x+2與X軸的兩個交點的橫坐標.因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的．即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1，X2，則拋物線y=ax2+bx+c與X軸的兩個交點坐標分別是A(x1，0)，B(x2，0).例1已知函數(shù)y=-7X2—7x+15，乙 乙(1)寫出函數(shù)圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點，然后畫出函數(shù)圖象的草圖；(2)自變量x在什么范圍內時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著X的增大而減少；并求出函數(shù)的最大值或最小值.三、鞏固練習請完成課本練習：第47頁1，2四、課堂小結二次函數(shù)與一元二次方程根的情況的關系.五、作業(yè)布置教材第47頁第3，4，5，6題.22.3實際問題與二次函數(shù)(2課時)第1課時用二次函數(shù)解決利潤等代數(shù)問題能夠理解生活中文字表達與數(shù)學語言之間的關系，建立數(shù)學模型.利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的性質解決簡單的實際問題，能理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關系，并能應用這些關系解決實際問題．重點把實際生活中的最值問題轉化為二次函數(shù)的最值問題．難點1．讀懂題意，找出相關量的數(shù)量關系，正確構建數(shù)學模型．2．理解與應用函數(shù)圖象頂點、端點與最值的關系．一、復習舊知，引入新課1．二次函數(shù)常見的形式有哪幾種？二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點坐標是 ，對稱軸是 ；二次函數(shù)的圖象是一條,當a>0時，圖象開口向,當a<0時，圖象開口向2．二次函數(shù)知識能幫助我們解決哪些實際問題呢？二、教學活動活動1：問題：從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h=30t—5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？活動2：問題：某商場的一批襯衣現(xiàn)在的售價是60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知該襯衣的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？1．問題中的定價可能在現(xiàn)在售價的基礎上漲價或降價，獲取的利潤會一樣嗎？2．如果你是老板，你會怎樣定價？3?以下問題提示，意在降低題目梯度，提示考慮X的取值范圍.(1)若設每件襯衣漲價x元，獲得的利潤為y元，則定價為元，每件利潤為元，每星期少賣件，實際賣出件.所以y=.何時有最大利潤，最大利潤為多少元？(2)若設每件襯衣降價x元，獲得的利潤為y元，則定價為元，每件利潤為元，每星期多賣件，實際賣出件.所以y=.何時有最大利潤，最大利潤為多少元？根據(jù)兩種定價可能，讓學生自愿分成兩組，分別計算各自的最大利潤；老師巡視，及時發(fā)現(xiàn)學生在解答過程中的不足，加以輔導；最后展示學生的解答過程，教師與學生共同評析．活動3：達標檢測某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖所示的關系.(1)求出y與X之間的函數(shù)關系式；(2)寫出每天的利潤W與銷售單價X之間的函數(shù)關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？答案：(1)y=-x+180；(2)w=(χ-100)y=-(χ-140)2+1600，當售價定為140元，W最大為1600元．三、課堂小結與作業(yè)布置課堂小結通過本節(jié)課的學習，大家有什么新的收獲和體會？尤其是數(shù)形結合方面你有什么新的體會？作業(yè)布置教材第51?52頁習題第1?3題第8題．第2課時二次函數(shù)與幾何綜合運用能根據(jù)具體幾何問題中的數(shù)量關系列出二次函數(shù)關系式，并能應用二次函數(shù)的相關性質解決實際幾何問題，體會二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型．重點應用二次函數(shù)解決幾何圖形中有關的最值問題．難點函數(shù)特征與幾何特征的相互轉化以及討論最值在何處取得．一、引入新課上節(jié)課我們一起研究用二次函數(shù)解決利潤等代數(shù)問題，這節(jié)課我們共同研究二次函數(shù)與幾何的綜合應用．二、教學過程問題1：教材第49頁探究1.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當l為多少米時，場地的面積S最大？分析：提問1：矩形面積公式是什么？提問2：如何用l表示另一邊？提問3：面積S的函數(shù)關系式是什么？問題2：如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m,這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？分析：提問1：問題2與問題1有什么不同？提問2：我們可以設面積為S，如何設自變量？提問3：面積S的函數(shù)關系式是什么？答案：設垂直于墻的邊長為X米，S=x(60-2x)=-2x2+60x.提問4：如何求解自變量X的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？答案：0<60一2x≤32，即14≤x<30.提問5：如何求最值？答案：X=-2a=-2×(-2)=15時，Smax=450.問題3：將問題2中“墻長為32m”改為“墻長為18m”，求這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？提問1：問題3與問題2有什么異同？提問2：可否模仿問題2設未知數(shù)、列函數(shù)關系式？提問3：可否試設與墻平行的一邊為x米？則如何表示另一邊？60－xx2答案：設矩形面積為Sm2，與墻平行的一邊為X米，則S=-2—?x=—不+30x.提問4：當x=30時，S取最大值.此結論是否正確？提問5：如何求自變量的取值范圍？答案：0<x≤18.提問6：如何求最值？答案：由于30>18，因此只能利用函數(shù)的增減性求其最值.當x=18時，Smax=378.小結：在實際問題中求解二次函數(shù)最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．通過問題2與問題3的對比，希望學生能夠理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值．三、回歸教材閱讀教材第51頁的探究3，討論有沒有其他“建系”的方法？哪種“建系”更有利于題目的解答？四、基礎練習1．教材第51頁的探究3，教材第57頁第7題．2?閱讀教材第52?54頁.五、課堂小結與作業(yè)布置課堂小結1．利用求二次函數(shù)的最值問題可以解決實際幾何問題．2．實際問題的最值求解與函數(shù)圖象的頂點、端點都有關系，特別要注意最值的取得不一定在函數(shù)的頂點處．作業(yè)布置教材第52頁習題第4?7題，第9題.第二十三章旋轉23．1圖形的旋轉1．了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應用它們解決一些實際問題．2．通過復習平移、軸對稱的有關概念及性質，從生活中的數(shù)學開始，經歷觀察，產生概念，應用概念解決一些實際問題．3．旋轉的基本性質．重點旋轉及對應點的有關概念及其應用．難點旋轉的基本性質．一、復習引入（學生活動）請同學們完成下面各題．1?將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D，作出平移后的圖形.2?如圖，已知△ABC和直線l，請你畫出AABC關于l的對稱圖形aA'B'C'.3．圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？（口述）老師點評并總結：（1）平移的有關概念及性質．（2）如何畫一個圖形關于一條直線（對稱軸）的對稱圖形并口述它具有的一些性質．（3）什么叫軸對稱圖形？二、探索新知我們前面已經復習平移等有關內容，生活中是否還有其它運動變化呢？回答是肯定的，下面我們就來研究．1．請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋轉圍繞什么點呢？從現(xiàn)在到下課時針轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時鐘的中心．從現(xiàn)在到下課時針轉了 度，分針轉了 度，秒針轉了 度．2．再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動．如何轉到新的位置？(老師點評略)3．第1，2兩題有什么共同特點呢？共同特點是如果我們把時鐘、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固定點轉動一定的角度．像這樣，把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．如果圖形上的點P經過旋轉變?yōu)辄cP'，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點.下面我們來運用這些概念來解決一些問題．例1如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB，它繞O點按順時針方向旋轉得到△OEF，在這個旋轉過程中：(1)旋轉中心是什么？旋轉角是什么？(2)經過旋轉，點A，B分別移動到什么位置？解：(1)旋轉中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋轉角.(2)經過旋轉，點A和點B分別移動到點E和點F的位置.自主探究：請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點O作為旋轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案(AABC)，然后圍繞旋轉中心O轉動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形(^A'B'C')，移去硬紙板.(分組討論)根據(jù)圖回答下面問題(一組推薦一人上臺說明)?線段OA與OA'，OB與OB’，OC與OC'有什么關系？?∠AOA'，∠BOB'，∠COC‘有什么關系？?△ABC與^A'B'C'的形狀和大小有什么關系？師點評：1.OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，也就是對應點到旋轉中心的距離相等.?∠AOA'=∠BOB'=∠COC'，我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心所連線段的夾角稱為旋轉角．?△ABC和^A'B'C'形狀相同和大小相等，即全等.綜合以上的實驗操作得出：(1)對應點到旋轉中心的距離相等；(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；(3)旋轉前、后的圖形全等．例2如圖，AABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D,試確定頂點B的對應點的位置，以及旋轉后的三角形．分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是∠ACD，根據(jù)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即∠BCB'=∠ACD，又由對應點到旋轉中心的距離相等，即CB=CB'，就可確定B'的位置，如圖所示.解：⑴連接CD；(2)以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD;⑶在射線CE上截取CB'=CB，則B'即為所求的B的對應點;(4)連接DB'，則^DB'C就是AABC繞C點旋轉后的圖形.三、課堂小結(學生總結，老師點評)本節(jié)課應掌握：1．對應點到旋轉中心的距離相等；2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；3．旋轉前、后的圖形全等及其它們的應用．四、作業(yè)布置教材第62~63頁習題4，5，6.23．2中心對稱23．2.1中心對稱1．正確認識什么是中心對稱、對稱中心，理解關于中心對稱圖形的性質特點．2．能根據(jù)中心對稱的性質，作出一個圖形關于某點成中心對稱的對稱圖形．重點中心對稱的概念及性質．難點中心對稱性質的推導及理解．復習引入問題：作出下圖的兩個圖形繞點O旋轉180°后的圖案，并回答下列的問題:1?以O為旋轉中心，旋轉180°后兩個圖形是否重合？2?各對應點繞O旋轉180°后，這三點是否在一條直線上？老師點評：可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個圖案繞O旋轉180°后都是重合的，即甲圖與乙圖重合，AOAB與ACOD重合.像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．探索新知(老師)在黑板上畫一個三角形ABC，分兩種情況作兩個圖形：(1)作AABC一頂點為對稱中心的對稱圖形；(2)作關于一定點O為對稱中心的對稱圖形.第一步，畫出AABC.第二步，以AABC的C點(或O點)為中心，旋轉180°畫出AA'B'C和AA'B'C'，如圖(1)和圖(2)所示．從圖(1)中可以得出AABC與AA'B'C是全等三角形；分別連接對稱點AA'，BB'，CC',點O在這些線段上且O平分這些線段.下面，我們就以圖(2)為例來證明這兩個結論．證明：(1)在AABC和AA'B'C'中，OA=OA'，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，Λ△AOB^△A‘OB'，.?.AB=A'B'，同理可證：AC=AC'，BC=B'C'，.?.AABC0AA'B'C’；(2)點A'是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA繞點O旋轉180°得到線段OA'，所以點O在線段AA'上，且OA=OA'，即點O是線段AA'的中點.同樣地，點O也在線段BB^口CC'上，且OB=OB'，OC=OC'，即點O是BB^口CC'的中點．因此，我們就得到1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分．2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．例題精講例1如圖，已知△ABC和點O，畫出ADEF，?ADEF和^ABC關于點O成中心對稱．分析：中心對稱就是旋轉180°,關于點O成中心對稱就是繞O旋轉180°,因此，我們連AO，BO，CO并延長，取與它們相等的線段即可得到.解：（1）連接AO并延長AO到D，使OD=OA，于是得到點A的對稱點D，如圖所示.（2）同樣畫出點B和點C的對稱點E和F.⑶順次連接DE，EF，F(xiàn)D，貝UADEF即為所求的三角形.例2（學生練習，老師點評）如圖，已知四邊形ABCD和點O，畫四邊形A'B'C'D'，使四邊形A‘B‘C‘D'和四邊形ABCD關于點O成中心對稱（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.課堂小結（學生總結，老師點評）本節(jié)課應掌握：中心對稱的兩條基本性質：1．關于中心對稱的兩個圖形，對應點所連線都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形及其它們的應用．作業(yè)布置教材第66頁練習23.2.2中心對稱圖形了解中心對稱圖形的概念及中心對稱圖形的對稱中心的概念，掌握這兩個概念的應用．復習兩個圖形關于中心對稱的有關概念，利用這個所學知識探索一個圖形是中心對稱圖形的有關概念及其他的運用．重點中心對稱圖形的有關概念及其它們的運用．難點區(qū)別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形．一、復習引入1．（老師口問）口答：關于中心對稱的兩個圖形具有什么性質？（老師口述）：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．2．（學生活動）作圖題．（1）作出線段AO關于O點的對稱圖形，如圖所示.（2）作出三角形AOB關于O點的對稱圖形，如圖所示.延長AO使OC=AO，延長BO使OD=BO，連接CD,則4COD即為所求，如圖所示.二、探索新知從另一個角度看，上面的(1)題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°，因為OA=OB，所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180°后與它本身重合.上面的(2)題，連接AD，BC，則剛才的關于中心O對稱的兩個圖形就成了平行四邊形，如圖所示．VAO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD???△AOBSCODΛAB=CD也就是，ABCD繞它的兩條對角線交點O旋轉180°后與它本身重合.因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．（學生活動）例1從剛才講的線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，每一位同學舉出三個圖形，它們也是中心對稱圖形．老師點評：老師邊提問學生邊解答的特點．（學生活動）例2請說出中心對稱圖形具有什么特點？老師點評：中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩(wěn)的特點．例3求證：如圖，任何具有對稱中心的四邊形是平行四邊形．分析：中心對稱圖形的對稱中心是對應點連線的交點，也是對應點間的線段中點，因此，直接可得到對角線互相平分．證明：如圖，O是四邊形ABCD的對稱中心，根據(jù)中心對稱性質，線段AC，BD必過點O，且AO=CO，BO=DO，即四邊形ABCD的對角線互相平分，因此，四邊形ABCD是平行四邊形．三、課堂小結（學生歸納，老師點評）本節(jié)課應掌握：1．中心對稱圖形的有關概念；2．應用中心對稱圖形解決有關問題．四、作業(yè)布置教材第70頁習題8，9，10.23.2.3關于原點對稱的點的坐標理解點P與點P'關于原點對稱時它們的橫縱坐標的關系，掌握P（X，y）關于原點的對稱點為P’（—X，—y）的運用.復習軸對稱、旋轉，尤其是中心對稱，知識遷移到關于原點對稱的點的坐標的關系及其運用．重點兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點P'（-χ，—y）及其運用.難點運用中心對稱的知識導出關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用它解決實際問題．一、復習引入（學生活動）請同學們完成下面三題．1?已知點A和直線l，如圖，請畫出點A關于l對稱的點A.2?如圖，AABC是正三角形，以點A為中心，把AABC順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形．3?如圖AABO，繞點O旋轉180°，畫出旋轉后的圖形.老師點評：老師通過巡查，根據(jù)學生解答情況進行點評．（略）二、探索新知（學生活動）如圖，在直角坐標系中，已知A（—3，1），B（—4，0），C（0，3），D（2，2），E（3，—3），F(xiàn)（—2，—2），作出A，B，C，D，E，F(xiàn)點關于原點O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答：這些坐標與已知點的坐標有什么關系？老師點評：畫法：（1）連接AO并延長AO；（2）在射線AO上截取OA'=OA；（3）過A作AD'⊥x軸于點D'，過"作A'D"⊥x軸于點D〃.?二△AD′O與^A'D"O全等，.?.AD'=A'D"，OA=OA'，.?.A'（3，—1），同理可得B，C，D，E，F(xiàn)這些點關于原點的中心對稱點的坐標.（學生活動）分組討論（每四人一組）：討論的內容：關于原點作中心對稱時，①它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？②坐標與坐標之間符號又有什么特點？提問幾個同學口述上面的問題．老師點評：（1）從上可知，橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱坐標的絕對值相等.（2）坐標符號相反，即P（x，y）關于原點O的對稱點P’（—x，—y）.兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點為P’（—x，—y）?例1如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與線段AB關于原點對稱的圖形．分析：要作出線段AB關于原點的對稱線段，只要作出點A、點B關于原點的對稱點A，B'即可.解：點P（X，y）關于原點的對稱點為P’（一x，—y），因此，線段AB的兩個端點A（0，1），B（3，0）關于原點的對稱點分別為A‘（0，—1），B（—3，0）.連接A'B’.則就可得到與線段AB關于原點對稱的線段A'B’.（學生活動）例2已知△ABC，A（1，2），B（—1，3），C（—2，4），利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出AABC關于原點對稱的圖形.老師點評分析：先在直角