3.1.2+函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課題：3.1.2函數(shù)的表示法一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容?在初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的三種表示法——解析法、列表法和圖象法的基礎(chǔ)上，明確三種表示法各自的特點；通過例題引出分段函數(shù)，滲透研究分段函數(shù)的一般思想方法.2.內(nèi)容解析(1).對于函數(shù)，常用的表示法有解析法、列表法和圖象法，其中解析法和圖象法在后續(xù)的研究中起著非常重要的作用.(2)蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法：函數(shù)的三種表示法之間的轉(zhuǎn)化蘊含了數(shù)形結(jié)合思想，分段函數(shù)的研究蘊含了分類討論思想.(3)知識的上下位關(guān)系：本節(jié)內(nèi)容上承前面兩個課時所學(xué)的“函數(shù)概念”，在充分認識函數(shù)定義和函數(shù)三要素的基礎(chǔ)上，研究函數(shù)的表示法，給學(xué)生提供了一個從兩個變量之間的依賴關(guān)系、兩個實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個角度認識函數(shù)概念的機會,有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)表達與抽象定義之間建立聯(lián)系，全面理解y=f(x)中f的意義.本節(jié)課的兩個例題都突出了圖象表示函數(shù)的直觀性，為后續(xù)利用圖像解決問題打下基礎(chǔ).(4)育人價值：函數(shù)的解析式與圖象的綜合使用是向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)很好的載體；分段函數(shù)的研究是向?qū)W生滲透分類討論，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)很好的契機.(5)教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生歸納不同表示法各自的特點，使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇ā⒘斜矸?、圖象法）表示函數(shù).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);(2)推理素養(yǎng);1人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計（2課時）(3)經(jīng)歷圖象（形）與解析式（數(shù)）的綜合使用，加強學(xué)生的數(shù)形結(jié)合觀念和直觀想象能力.2.目標(biāo)解析達成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：(1)面對實際情境時，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù);(2)能從圖象和解析式兩個角度分別研究分段函數(shù);(3)能根據(jù)解析式畫函數(shù)圖象，也能利用圖象理解解析式.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生初中雖然學(xué)過函數(shù)的三種常用表示法，但是對于函數(shù)的認識多局限在一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，對于這三種表示法各自的特點并沒有系統(tǒng)認識,尤其對于函數(shù)圖象的認識是非常狹隘的，重新認識函數(shù)圖象是教學(xué)的第一個難點.此外，學(xué)生對于分段函數(shù)整體性的理解，是教學(xué)的第二個難點.教學(xué)難點：函數(shù)圖像的認識，分段函數(shù)概念的理解.四、教學(xué)支持條件分析幫助學(xué)生整理歸納不同表示法的特點.此外，本節(jié)課中函數(shù)圖象貫穿始末，可以借助幾何畫板繪制精美的函數(shù)圖象，有助于學(xué)生感受圖象的直觀性.五、教學(xué)過程設(shè)計引導(dǎo)語：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，我們知道函數(shù)是兩個非空數(shù)集間一種特殊的對應(yīng)關(guān)系,我們常用抽象符號f來統(tǒng)一表示.但是，為了進一步研究函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，我們還需要深入學(xué)習(xí)函數(shù)的具體表示方法.（一）整理舊知，鋪墊新課問題1：請同學(xué)們回顧一下，初中，我們學(xué)習(xí)的函數(shù)表示法有哪些？師生活動：先由學(xué)生獨立思考并作答，師生幫助一起完善并配以3.1.1的具體實例.（1）解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.如教科書3.1.1中的問題1;（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.如教科書3.1.1中的問題4;（3）圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.如教科書3.1.1中的問題3.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的表示方法，回顧3.1.1中的具體實例，引入本節(jié)新課，體現(xiàn)知識間的聯(lián)系性和整體性.2人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計（2課時）（二）體驗方法，感悟特點??問題2某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,,3,4,5})個筆記本需要y元.你能表示出函數(shù)y=f(x)嗎？師生活動：學(xué)生自主選擇合適的方法對函數(shù)進行表示，然后在小組內(nèi)部交流，進行修正和完善.教師展示學(xué)生中有代表性的答案，注意強調(diào)“研究函數(shù)，先看定義域”，尤其注意函數(shù)圖象為五個離散的點.???設(shè)計意圖:讓學(xué)生回憶并熟悉三種表示法的具體呈現(xiàn)過程，并再次強調(diào)定義域的作用，使學(xué)生進一步理解函數(shù)的三種表示方法，建構(gòu)自己的知識體系.追問1：相比于初中學(xué)過的函數(shù)圖象，你對函數(shù)的圖象有什么新的認識？學(xué)生對比初中一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的圖像，重新認識函數(shù)的圖象：函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線（或直線），也可以是離散的點.追問2：(教師調(diào)整散點的位置，學(xué)生辨析是否仍然表示函數(shù))判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？師生活動：組織學(xué)生根據(jù)函數(shù)的定義辨析函數(shù)的圖象.教師總結(jié)：對于一個圖形，若垂直于x軸的直.x軸的交點橫坐標(biāo)屬于定義域，則直線與圖形有一個交點，反之，直線與圖形無交點.設(shè)計意圖：完善對函數(shù)圖象的認識,加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解.追問3：綜合上面的解題過程，比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點是什么？?師生活動：小組討論，總結(jié)歸納三種表示法各自的特點，最后與教師一起總結(jié)出結(jié)論：?表示法解析法列表法圖象法特點一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值.不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值.直觀形象地表示自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì).設(shè)計意圖：讓學(xué)生總結(jié)歸納三種表示法各自的特點，明確了特征，才能靈活運用.（三）例題講解，強化認識3人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計（2課時）例1.畫出函數(shù)y=|x|的圖像.師生活動：教師出示問題后，先讓學(xué)生獨立思考，之后可引導(dǎo)學(xué)生對含有絕對值的函數(shù)y=|x|進行,這里的函數(shù)圖象是由兩條射線組成的一條折線，這是因為從解析式看，自變量取值在不同的范圍時，函數(shù)有不同的對應(yīng)關(guān)系,引入分段函數(shù)概念.段函數(shù)形式.最后，總結(jié)思路:分別畫出每段的函數(shù)圖象，并注意端點的開閉即可.??.的轉(zhuǎn)化有助于加強學(xué)生數(shù)形結(jié)合觀念.追問：生活中，有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，你可以舉出一些例子嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考，列舉生活中與分段函數(shù)有關(guān)的實例.設(shè)計意圖：考查學(xué)生的理解、掌握的程度.加深學(xué)生對分段函數(shù)的理解，體會其普遍性與應(yīng)用價值.??例2：給定函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=(x+1),x∈R.(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x),g(x)的圖象;(2)?x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}.例如，當(dāng)x=1時，M(1)=max{f(1),g(1)}=max{2，4}=4.請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).師生活動：給學(xué)生充分時間畫圖，有初中的基礎(chǔ)，學(xué)生基本都可畫出函數(shù)f(x),g(x)的圖象.然后給出第（2）問，并對函數(shù)M(x)做適當(dāng)解讀：當(dāng)x每取一個值時，f(x),g(x)各有唯一一個函數(shù)值與之對應(yīng)，而M(x)對應(yīng)的則是這兩個函數(shù)值中的較大者，由函數(shù)定義可知，M(x)是x的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生從圖象上對f(x),g(x)M(x)的函數(shù)值,學(xué)生很自然地根據(jù)圖1得到圖2所示的函數(shù)M(x)利用圖象和解方程知識，學(xué)生即可順利求出M(x)的解析式.g(x)=(x+1)2f(x)=x+1M(x)人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計（2課時）圖1圖1圖2圖2追問：剛才我們首先研究了圖象，從圖象得出了解析式.那么，你還能用其他方法研究M(x)嗎？f(x),g(x)的大小關(guān)系進行分類討論，先得到M(x)的解析式，再根據(jù)解析式分段畫出M(x)的圖象.設(shè)計意圖：例2同時研究兩個函數(shù)，考察學(xué)生對新概念的分析理解能力，感受分段函數(shù)的另一種構(gòu)造方式及其圖象和解析式的求法，加深對分段函數(shù)的理解與運用.兩種解題思路對比使用，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.變式:給定函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=(x+1),x∈R.?x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者，記為m(x)=min{f(x),g(x)}.你能用圖象法和解析法表示函數(shù)m(x)嗎？師生活動：學(xué)生自主完成，然后找代表分享思路與結(jié)果.有了例題的鋪墊，學(xué)生對函數(shù)m(x)的理解應(yīng)比較到位，解決此問題會相對順利.設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)類似的問題情境，檢驗學(xué)生對例2的掌握程度，加深學(xué)生對解題方法的理解.思考：所有函數(shù)都能用解析法表示嗎？列表法與圖象法呢？請舉出實例加以說明。先找學(xué)生代表回答.3.1.1的問題3、問題43.1.1的問題1不能用列表法表示；狄利克雷函數(shù)不能用圖象法表示.??設(shè)計意圖：突出三種方法各自的局限性，從而在處理實際問題時選擇合適的表示方法.（四）課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進行總結(jié)：（1）本節(jié)課我們是如何學(xué)習(xí)函數(shù)表示法的？請總結(jié)我們的學(xué)習(xí)過程.（2）函數(shù)的常用表示法有哪些？各有怎樣的特點？（3）本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想?學(xué)生自主總結(jié)、交流分享，教師提煉概括：本節(jié)課我們首先梳理初中學(xué)過的三種常用的函數(shù)表示法，在此基礎(chǔ)上，我們實踐了函數(shù)的不同表示，體會了三種表示法各自的特點.特別地，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線、直線，還可以是折線、甚至是離散的點等.解題中我們還學(xué)習(xí)了一種新的函數(shù),叫做分段函數(shù)...5人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.1.2函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計（2課時）（五）布置作業(yè)：(1)基礎(chǔ)性作業(yè)：教材第69頁練習(xí)1-3題,第73頁習(xí)題3.1第7，10題;(2)提高性作業(yè)：完成教材第73頁習(xí)題3.1第11-13題;談?wù)勀銓瘮?shù)圖像有什么新的認識？(3)探究性作業(yè)：請從生活中舉出一些函數(shù)的例子，并用合適的方式表示出來.六、目標(biāo)檢測設(shè)計A組：適用普通高中學(xué)生1．下列三個圖形中，是函數(shù)圖象的是（??）（1）（2）（3）A．（1）（2）答案：B．B．（2）（3）C．（2）D．（3）x+2(x≤-1){22．設(shè)f(x)=x(-1<x<2)，2x(x≥2)（1）在下列直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象；（2）若f(t)=3，求t的值．答案：（1）函數(shù)圖象略;（2）t=3.3．已知函數(shù)f(x)=x|x-m|(x∈R)，且f(1)=0．（1）求m的值，并用分段函數(shù)的形式來表示f(x)；（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象.2x-x(x≥1)答案：（1）m=1；f(x)=x|x-1|={（2）函數(shù)圖象略.