人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修變化率問題

5.1.1變化率問題激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥珠穆朗瑪峰簡(jiǎn)稱珠峰,高度8844.43米,是世界第一高峰,是很多登山愛好者的終極之地.很多人為了征服這座山峰,每年都會(huì)向它發(fā)起挑戰(zhàn),但到現(xiàn)在為止能順利登頂?shù)娜瞬⒉欢?。?dāng)山勢(shì)的陡峭程度不同時(shí),登山隊(duì)員的感受也是不一樣的,試想如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)反映山勢(shì)的陡峭程度呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、平均速度與瞬時(shí)速度1.平均速度:物體的位移與所用時(shí)間的比值,通常指物體在某一時(shí)間段的速度.若物體運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式是s=f(t),函數(shù)f(t)在t0與t0+Δt之間的平均速度是2.瞬時(shí)速度:在物理中,做變速運(yùn)動(dòng)的物體在不同的時(shí)刻,速度是不同的,我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析從物理的角度看,瞬時(shí)速度就是將平均速度的時(shí)間段改為時(shí)間點(diǎn),即讓時(shí)間段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]中的時(shí)間間隔|Δt|無(wú)限趨近于0,此時(shí)時(shí)間段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]內(nèi)的平均速度就無(wú)限趨近于t時(shí)刻的瞬時(shí)速度.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)一物體按規(guī)律s(t)=2t2運(yùn)動(dòng),則其在時(shí)間段[1,2]內(nèi)的平均速度為

,在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度是

.

答案:6

12激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考平均速度與瞬時(shí)速度有什么不同?提示:平均速度表示的是運(yùn)動(dòng)的物體在某或某一段時(shí)間內(nèi)的快慢程度.瞬時(shí)速度反映的是物體在運(yùn)動(dòng)過程的某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況,能精確表示任一時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的快慢和方向.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、割線斜率與切線斜率1.割線與切線的關(guān)系如圖所示,當(dāng)點(diǎn)Pn(xn,f(xn))沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P(x0,f(x0))時(shí),割線PPn趨近于確定的位置。這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線。激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.割線斜率與切線斜率的關(guān)系

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)

過曲線y=f(x)=圖象上一點(diǎn)(2,-2)及鄰近一點(diǎn)(2+Δx,-2+Δy)作割線,則當(dāng)Δx=0.5時(shí)割線的斜率為

,在點(diǎn)(2,-2)處的切線斜率為

.

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微點(diǎn)撥(1)當(dāng)Δx→0時(shí),割線PPn的斜率稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.這樣就提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法.(2)曲線在某點(diǎn)處的切線:①與該點(diǎn)的位置有關(guān).②要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如割線有極限位置,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如割線不存在極限位置,則曲線在此點(diǎn)處無(wú)切線.③曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè)交點(diǎn).探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度及瞬時(shí)速度例1(2019大同煤礦第四中學(xué)高二月考)某質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的方程為f(x)=-2x2+1(x表示時(shí)間,f(x)表示位移),則該質(zhì)點(diǎn)從x=1到x=2的平均速度為(

)A.-4 B.-8 C.6 D.-6解析:由題得該質(zhì)點(diǎn)從x=1到x=2的平均速度為

故選D.答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的三個(gè)步驟第一步,求時(shí)間的增量Δx=x2-x1;第二步,求位移的增量Δy=f(x2)-f(x1);探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1(2020定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高二月考)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3(t表示時(shí)間,s表示位移),則在時(shí)間[3,3+Δt]中,質(zhì)點(diǎn)的平均速度等于(

)答案:A探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)例2某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t2+t+1表示,求物體在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度.分析:計(jì)算物體在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)內(nèi)的平均速度

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究1在本例條件不變的前提下,試求物體的初速度.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究2在本例條件不變的前提下,試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.則2t0+1=9,∴t0=4.則物體在4

s時(shí)的瞬時(shí)速度為9

m/s.反思感悟求運(yùn)動(dòng)物體在t=t0的瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求解曲線在某點(diǎn)處的割線、切線斜率例3設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-6),則此函數(shù)圖象在x=0處的切線斜率為(

)A.0 B.-1 C.3 D.-6 答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求曲線上某點(diǎn)處的割線或切線的步驟

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.-1 B.0 C.1 D.2答案:A探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求解較為復(fù)雜函數(shù)圖象在某點(diǎn)處的斜率問題

分析:利用立方和公式化簡(jiǎn)求解.答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟復(fù)雜函數(shù)在某點(diǎn)處的斜率求解1.關(guān)鍵是利用公式進(jìn)行合理準(zhǔn)確的運(yùn)算.2.常見的公式有:(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方和與完全平方差公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(3)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).(4)完全立方差公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.完全立方和公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練已知曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a的值是(

)A.9 B.6 C.-9 D.-6=-4-2a=8.故a=-6.答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.(2020河北石家莊二中高二月考)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為(

)A.-1 B.1 C.2 D.3解析:因?yàn)閒(x)=x2,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.已知一直線運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)時(shí)間從t變到t+Δt時(shí),物體的位移為

A.時(shí)間從t變到t+Δt時(shí)物體的速度B.在t時(shí)刻該物體的瞬時(shí)速度C.當(dāng)時(shí)間為Δt時(shí)物體的速度D.時(shí)間從t變到t+Δt時(shí)物體的平均速度答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.(2020陜西高二期末)某運(yùn)動(dòng)物體的位移s(單位:米)關(guān)于時(shí)間t(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系式為s=2t+1,則該物體在t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為(

)A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒則物體在t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為2米/秒.故選B.答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.(2019全國(guó)高一