空間向量基本定理

1.了解共線向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.2.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用

其證明空間向量的共線、共面問(wèn)題.3.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一共線向量定理與共面向量定理1.共線向量基本定理：如果a≠0且b∥a，則存在

的實(shí)數(shù)λ，使

.2.平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b

，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝

.3.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b

，則向量a，b，c共面的充要條件是存在

的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使c＝

.4.共面向量定理的推論：如果A，B，C三點(diǎn)

，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在

的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使

＝

.唯一b＝λa不共線xa＋yb不共線唯一xa＋yb不共線唯一知識(shí)點(diǎn)二空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a，b，c

，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.①若xa＋yb＋zc＝0?x＝y(tǒng)＝z＝0.②表達(dá)式xa＋yb＋zc稱(chēng)為向量a，b，c的

或

.③如果三個(gè)向量a，b，c不共面，則它們的線性組合

能生成空間的所有向量，a，b，c組成的集合

稱(chēng)為空間向量的一組

.此時(shí)a，b，c都稱(chēng)為

；如果p＝xa＋yb＋zc，則稱(chēng)xa＋yb＋zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.不共面線性組合線性表達(dá)式xa＋yb＋zc{a，b，c}基底基向量思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.向量a，b，c共面，即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.(

)2.若向量e1，e2不共線，則空間任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R).(

)3.若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(

)4.對(duì)于三個(gè)不共面向量a1，a2，a3，不存在實(shí)數(shù)組{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(

)××××2題型探究PARTTWO一、空間向量共面問(wèn)題反思感悟

證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面.(3)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行.二、空間向量基本定理例2

(1)已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是A.a B.bC.a＋2b D.a＋2c√解析只有a＋2c與p，q不共面，故可以與p，q構(gòu)成一個(gè)基底.解如圖所示，反思感悟

用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.三、空間向量基本定理的應(yīng)用例3

已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且彼此的夾角都是60°.∴{a，b，c}為一組基底.＝a·b＋a·c－b·c－c2＝1×1×cos60°＋1×1×cos60°－1×1×cos60°－1＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，反思感悟利用空間向量基本定理求空間向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角的技巧根據(jù)條件確定基底，一般用已知的向量(向量的長(zhǎng)度已知，夾角已知等等)作為基底，用基底表示要求的向量，可證平行、垂直.可求兩向量的數(shù)量積、夾角，可求向量的長(zhǎng)度.跟蹤訓(xùn)練3

(1)對(duì)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，都有OA，OB，OC兩兩垂直，則△ABC是A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形√解析OA，OB，OC兩兩互相垂直，(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E為CC1上的點(diǎn)，且CE＝1，則

夾角的余弦值為_(kāi)_____.∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0，∴{a，b，c}能作為一組基底.3隨堂演練PARTTHREE1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a－b，它們一定是A.共面向量 B.共線向量C.不共面向量 D.既不共線也不共面的向量12345√解析∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b與a，b共面.2.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是12345√解析在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間向量的一個(gè)基底.√1234512345A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D√所以A，B，D三點(diǎn)共線.5.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn).16則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.＝|b|2＝42＝16.12345123450＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.1.知識(shí)清單：(1)共線、共面向量定理.(2)空間向量基本定理.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)基底的概念理解不清，導(dǎo)致出錯(cuò).課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是A.{3a，a－b，a＋2b} B.{2b，b－2a，b＋2a}C.{a，2b，b－c} D.{c，a＋c，a－c}√解析對(duì)于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，則3a，a－b，a＋2b共面，不能作為基底；同理可判斷B，D中的向量共面.√解析連接AE，1234567891011121314151612345678910111213141516A.O，A，B，C四點(diǎn)共面 B.P，A，B，C四點(diǎn)共面C.O，P，B，C四點(diǎn)共面 D.O，P，A，B，C五點(diǎn)共面√又它們有公共點(diǎn)P，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面.故選B.4.{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，則x，y，z的值分別為√解析xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，123456789101112131415165.(多選)下列命題中，真命題是A.向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面B.三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面C.若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線D.若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}

構(gòu)成空間的一個(gè)基底√√解析A不正確.三個(gè)向量共面時(shí)，它們所在的直線在平面內(nèi)，或與平面平行；B正確.基底必須不共面；C正確；D不對(duì)，a，b不共線.當(dāng)c＝λa＋μb時(shí)，a，b，c共面.故選BC.12345678910111213141516√12345678910111213141516√√123456789101112131415167.已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c.若向量m與n共線，則x＝____，y＝_____.2－2解析因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc.123456789101112131415163a＋3b－5c解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.＝3a＋3b－5c.123456789101112131415169.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；12345678910111213141516證明如圖，連接EG，BG.由向量共面的充要條件知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)證明：BD∥平面EFGH.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.∴EH∥BD.又BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.1234567891011121314151610.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，點(diǎn)N為AA1的中點(diǎn).則|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.12345678910111213141516＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c＝4－1＝3.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√且M，A，B，C四點(diǎn)共面，1234567891011121314151612345678