小波變換及其應(yīng)用

小波變換及其應(yīng)用第1頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

一什么是小波傅里葉變換：能表示信號(hào)f的各頻率成分的大小，且但不能體現(xiàn)這個(gè)頻率成分是哪個(gè)時(shí)刻或哪個(gè)時(shí)間段的。即不能提供時(shí)-頻定位信息。因此，傅里葉變換是分析平穩(wěn)信號(hào)的有力工具。讓我們從信號(hào)的分析談起！第2頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院假設(shè)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為，含最高頻率。采樣間隔：傅里葉變換離散型DFT（或FFT）：

一什么是小波第3頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

對(duì)于給定的非平穩(wěn)信號(hào),人們感興趣的是信號(hào)在特定的時(shí)間的頻率成分。就像在音樂(lè)演奏中，演奏者需要知道在什么時(shí)候演奏什么音調(diào)一樣。給出了信號(hào)f的時(shí)-頻局部定位信息，且

為了進(jìn)行時(shí)-頻定位分析，引入窗函數(shù)，形成加窗傅里葉變換：

一什么是小波第4頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院窗的中心：窗半徑：例：窗函數(shù)的作用

一什么是小波第5頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院平面上的窗：可見(jiàn)，當(dāng)窗函數(shù)確定后，窗不隨時(shí)間和頻率的變化而變化。

一什么是小波第6頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院表達(dá)了信號(hào)在窗內(nèi)的信息.的減小，時(shí)間分辨率變低，頻率分辨率變高；的增加，時(shí)間分辨率變高，頻率分辨率變低。

一什么是小波第7頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院加窗傅里葉變換的離散型：

一什么是小波第8頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院演示：functionyanshi(A,B,p)fs=3000;Tp=50;T=1/fs;N=Tp/T;F=fs/N;t=-(N-1)*T:T:(N-1)*T;f=0:F:(N-1)*F;y=exp(-t).*(sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*1000*t));%信號(hào)z=A*exp(-B*(t-p).^2);%窗函數(shù)x=z.*y;%時(shí)刻p時(shí)窗下信號(hào)s=x(N:2*N-1);c=fft(s);subplot(3,1,1);plot(t,x);subplot(3,1,2);c1=c(4975:5025)/300;plot(f(4975:5025),abs(c1));subplot(3,1,3);c2=c(49950:50050)/300;plot(f(49950:50050),abs(c2));

一什么是小波第9頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院yanshi(1,1/10,3)

一什么是小波yanshi(1,1/2,3)yanshi(1,1,3)第10頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院為了更有效確定信號(hào)的時(shí)-頻信息，引入具有下列特性的窗函數(shù)：小波的概念是J.Morlet(莫萊)在進(jìn)行地震數(shù)據(jù)分析中提出的。它是窗函數(shù)因?yàn)?/p>

稱為（母）小波函數(shù)所以，

一什么是小波第11頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

對(duì)母小波函數(shù)進(jìn)行伸縮（伸縮因子為a>0）和平移變換（平移因子為），得下列函數(shù)族稱為分析小波(小波基函數(shù))。

一什么是小波母小波函數(shù)是單窗函數(shù)！設(shè)其時(shí)窗中心為，頻窗中心為，時(shí)窗半徑，頻窗半徑為。則窗為:第12頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院低頻高頻b代表時(shí)間！代表頻率，（1），窗面積恒定！（2），窄窗看高頻；，寬窗看低頻。（3）

分析小波具有變焦性能：

一什么是小波第13頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院稱為函數(shù)的連續(xù)小波變換。這里，當(dāng)（母）小波函數(shù)滿足條件時(shí)，有：

二連續(xù)小波變換第14頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院段上，包含中心頻率，帶寬的窗內(nèi)的頻率分量的大小。

的連續(xù)小波變換系數(shù)表示：位置b處，時(shí)間MATLAB實(shí)現(xiàn)：COEFS=CWT(S,SCALES,‘wname’,PLOTMODE，XLIM)PLOTMODE=‘plot'(Byscale)or

PLOTMODE='lvl'(Byscale)orPLOTMODE='glb'(Allscales)orPLOTMODE='abslvl'or'lvlabs'(AbsolutevalueandByscale)orPLOTMODE='absglb'or'glbabs'(AbsolutevalueandAllscales)XLIM:圖的范圍

二連續(xù)小波變換第15頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院例1：連續(xù)小波變換fc=1000;Tp=1;T=1/2048;N=1/T;t=0:T:(N-1)*T;s=sin(2*pi*500*t)+sin(2*pi*1000*t);ss=s;ss(165)=3;ss(207)=3;subplot(2,1,1),plot(s);subplot(2,1,2),plot(ss)

二連續(xù)小波變換第16頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院c=cwt(ss,0.01:5,'db4','plot');

二連續(xù)小波變換第17頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院c=cwt(ss,0.01:5,'coif5','plot');

二連續(xù)小波變換第18頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

三正交小波將a、b離散化，取，則有或連續(xù)小波基函數(shù)具有很大的相關(guān)性，因此之間是有冗余的。大部分工作是希望分解系數(shù)之間沒(méi)有冗余。我們知道，函數(shù)按照線性無(wú)關(guān)的基展開(kāi)的系數(shù)沒(méi)有冗余，特別是標(biāo)準(zhǔn)正交基更好！第19頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院如果構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則其中，稱為正交小波變換表示：在位置

處，時(shí)間段上，包含中心頻率

，帶寬的窗內(nèi)的頻率分量的大小.

三正交小波第20頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院多尺度分析（MRA）：1.選取一個(gè)具有緊支集的函數(shù)（稱為尺度函數(shù)），且關(guān)于k是兩兩標(biāo)準(zhǔn)正交的。定義線性空間2.令,關(guān)于k是兩兩標(biāo)準(zhǔn)正交的。建立線性空間

三正交小波第21頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院（尺度空間）具有下列性質(zhì)：（2）伸縮規(guī)則性：（1）一致單調(diào)性：（3）漸進(jìn)完全性：（4）平移不變性：易證：

是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。但是，不能構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

三正交小波第22頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院令容易證明：3.尋找的標(biāo)準(zhǔn)正交基其中，稱為低通濾波器系數(shù)。由，可得兩尺度方程：

三正交小波第23頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院聯(lián)立式（1）和式（2）,并結(jié)合

正交性，推出：定為正交小波函數(shù)!

，有其中，稱為高通濾波器系數(shù)。

三正交小波第24頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基；構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

三正交小波第25頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院綜上所述，尋找正交小波的方法為：（1）由正交尺度函數(shù)，計(jì)算（2）計(jì)算（3）確定正交小波函數(shù)

三正交小波第26頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院例：構(gòu)造shannon小波取正交尺度函數(shù)

，

三正交小波第27頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

三正交小波第28頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用小波函數(shù)第29頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院四正交小波分析一層分解：

設(shè)

的實(shí)測(cè)信號(hào)為

，則

其中第30頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院m層分解：二層分解：四正交小波分析第31頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

mallat算法分解：重構(gòu):四正交小波分析第32頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院一維離散小波變換的MATLAB實(shí)現(xiàn)重構(gòu)命令:s=idwt(ca,cd,’wname’);%單層重構(gòu)s=waverec(c,l,’wname’);%多層重構(gòu)s=wrcoef(‘type’,c,l,’wname’,N);%重構(gòu)指定層（N）的系數(shù)，type=‘a(chǎn)或d’.s=appcoef(c,l,’wname’,N);%提取N層的近似系數(shù)s=detcoef(c,l,N);%提取N層的細(xì)節(jié)系數(shù)分解命令：[ca,cd]=dwt(s,’wname’,’mode’,MODE),單層分解[c,l]=wavedec(s,n,’wname’),n層分解[ca,cd]=dwt(s,Lo_D,Hi_D),單層分解第33頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月functionyanshi2k=1:2048;s=sin(2*pi*500*(k-1)/2048)+sin(2*pi*1000*(k-1)/2048);ss=s;ss(165)=3;ss(207)=3;[c,l]=wavedec(ss,4,'sym1');[cd1,cd2,cd3,cd4]=detcoef(c,l,[1,2,3,4]);ca4=appcoef(c,l,'sym1',4);subplot(321),plot(ss);title('ss');subplot(322),plot(ca4);title('ca4');subplot(323),plot(cd4);title('cd4');subplot(324),plot(cd3);title('cd3');subplot(325),plot(cd2);title('cd2');subplot(326),plot(cd1);title('cd1');第34頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月functionyanshi3k=1:2048;s=sin(2*pi*500*(k-1)/2048)+sin(2*pi*1000*(k-1)/2048);ss=s;ss(165)=3;ss(207)=3;[c,l]=wavedec(ss,4,'sym1');[cd1,cd2,cd3,cd4]=detcoef(c,l,[1,2,3,4]);ca4=appcoef(c,l,'sym1',4);ca3=idwt(ca4,cd4,'sym1');ca2=idwt(ca3,cd3,'sym1');ca1=idwt(ca2,cd2,'sym1');x=idwt(ca1,cd1,'sym1');subplot(321),plot(ca4),title('ca4');subplot(322),plot(ca3),title('ca3');subplot(323),plot(ca2),title('ca2');subplot(324),plot(ca1),title('ca1');subplot(325),plot(x),title('x');subplot(326),plot(ss),title('ss');第36頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第37頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

給定二維信號(hào),其實(shí)測(cè)信號(hào)為:四正交小波分析第38頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

一層分解:四正交小波分析第39頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院二層分解：一直分解下去……第40頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

二維離散小波變換matlab實(shí)現(xiàn)分解命令:

[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,‘wname’)；%單層分解[C,S]=wavedec2(X,N,‘wname’)；%N層分解S(1,:);%第N層近似系數(shù)的長(zhǎng)度S(i,:),i=2:N+1;%第(N-i+2)層細(xì)節(jié)系數(shù)的長(zhǎng)度S(N+2,:),%原始信號(hào)的長(zhǎng)度x=idwt2(ca,ch,cv,cd,’wname’);%本層系數(shù)重建上一層近似系數(shù)xx=waverec2(c,s,’wname’);%多層重構(gòu)原始信號(hào)x=wrcoef2(‘type’,c,s,’wname’,N);%重構(gòu)N層的類‘type’=‘a(chǎn)’,’h’,’v’,’d’的系數(shù)重構(gòu)命令:第41頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月D=detcoef2(o,c,s,’wname’,N);%提取第N層o型的系數(shù)，其中o=’h’,’v’,’d’,’compact’[H,V,D]=detcoef2(‘a(chǎn)ll’,c,s,’wname’,N);%提取第N層所有的細(xì)節(jié)系數(shù)A=appcoef2(c,s,’wname’,N);%提取第N層近似系數(shù)更多重構(gòu)命令四正交小波分析第42頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院

loadclown;whosNameSizeBytesClassAttributesX200x320512000doublecaption2x14charmap81x31944doubleimage(X);colormap(map),colorbar;索引表不連續(xù)，不能對(duì)X直接進(jìn)行小波變換！四正交小波分析第43頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院%依索引表提取三個(gè)通道的分量值

R=map(X,1);R=reshape(R,size(X));G=map(X,2);G=reshape(G,size(X));B=map(X,3);B=reshape(B,size(X));%轉(zhuǎn)為灰度矩陣X1=0.2990*R+0.5870*G+0.1140*B;%給定灰度階數(shù)n=256;%從灰度矩陣轉(zhuǎn)化為索引號(hào)矩陣X2=round(X1*(n-1))+1;

map2=gray(n););%建立灰度索引表image(X2);colormap(map2),colorbar;索引表連續(xù)了，能進(jìn)行小波變換，但沒(méi)有顏色信息了！四正交小波分析第44頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院loadnoiswom;whosNameSizeBytesClassAttributesX96x9673728doublemap255x36120double

image(X);colormap(map),colorbar;索引表連續(xù)，可直接進(jìn)行小波變換。第45頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(X,'db4');A1=upcoef2('a',ca1,'db4',1);H1=upcoef2('h',ch1,'db4',1);V1=upcoef2('v',cv1,'db4',1);D1=upcoef2('d',cd1,'db4',1);colormap(map);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,96));subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,96));subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,96));subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,96));四正交小波分析第46頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第47頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院colormap(map);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,96));subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,96));subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,96));subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,96));四正交小波分析第48頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院四正交小波分析第49頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院實(shí)際應(yīng)用時(shí)，選擇小波的原則：1.自相似；2.支集長(zhǎng)度3.對(duì)稱性,消失矩階數(shù),正則性對(duì)稱性用于圖像處理可避免相移;消失矩階數(shù)高的小波變換能量更集中;正則性好可使重構(gòu)的信號(hào)更平滑;支集長(zhǎng)度越長(zhǎng)消失矩和正則性越高！五小波應(yīng)用舉例第50頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月降噪準(zhǔn)則：1.光滑性，即降噪后的信號(hào)至少與原信號(hào)具有相同的光滑性；

2.相似性，即降噪后的信號(hào)與原信號(hào)的方差最小，即應(yīng)用1：小波變換用于信號(hào)降噪(壓縮)sigma=wnoisest(c,l,s);

%估算第s層的細(xì)節(jié)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，作為噪聲強(qiáng)度；噪聲模型為：這里，

為信號(hào)，為被噪聲污染后的信號(hào)，為噪聲強(qiáng)度。第51頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院小波降噪過(guò)程：1.信號(hào)的小波分解，一般需要多層分解；2.對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行閥值處理（降噪）；3.重構(gòu)。關(guān)鍵是閥值！第52頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月缺省策略

（全局閾值）：[thr,sorh,keepapp]=ddencmp(‘o’,‘wv’,x);%x為原始信號(hào)，o=‘den’降噪，o=’cmp’壓縮;thr閾值，sorh=‘s’軟閾值，sorh=‘h’硬閾值,keepapp保留的近似系數(shù)的層數(shù)。Birge-Massart策略（分層閾值）：[thr,nkeep]=wdcbm(c,l,alpha)；%Alpha=1.5壓縮，=2，3降噪。thr各層

閾值，nkeep保留的近似系數(shù)的層數(shù)。penalty策略(用于小波包)：thr=wbmpen(c,l,sigma,alpha)；thr=thselet(y,tptr)；%用指定的閾值選取方法tptr（tptr=‘rigsure’嚴(yán)格無(wú)偏估計(jì)閾值選擇、‘sqtwolog’對(duì)數(shù)長(zhǎng)度、’heusure’啟發(fā)式無(wú)偏估計(jì)、‘minimaxi’最大最小方差），得到對(duì)信號(hào)y降噪的閾值thr。應(yīng)用1：小波變換用于信號(hào)降噪(壓縮)確定閾值的命令第53頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(‘gbl’,x,‘wname’,N,thr,sorh,k)%全局(‘gbl’)閾值的降噪（壓縮）命令,保留k層以上的所有系數(shù),PERF0、PERFL2降噪或壓縮所保留的能量成分（%）。[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(‘lvd’,x,‘wname’,N,thr,sorh)%分層(‘lvd’）閾值的降噪（壓縮）命令。THR各層閾值。[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(‘lvd’,c,l,‘wname’,N,thr,sorh)%分層(‘lvd’）閾值的降噪（壓縮）命令。THR各層閾值。Matlab降噪（壓縮）函數(shù)[xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,N,‘wname’)；%根據(jù)傳入的參數(shù)對(duì)信號(hào)x降噪，結(jié)果返回xd，[cxd,lxd]是xd的小波分解系數(shù)。Tptr如上，sorh=‘s’軟閾值、’h’硬閾值，scal作用閾值時(shí)的乘子，scal=’one’不使用乘子、’sln’用對(duì)第一層細(xì)節(jié)系數(shù)的估計(jì)作為乘子、’mln’用層數(shù)相關(guān)的乘子，N分解層數(shù)。第54頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院一維信號(hào)降噪functionyanshi10loadnoisbump;x=noisbump;[c,l]=wavedec(x,5,'sym6');[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x);%全局降噪的閥值thr。[thr1,nkeep]=wdcbm(c,l,2);%使用birge-massart策略確定各層降噪的閥值。%全局軟閾值降噪信號(hào)xc,保留一層以上的所有分解系數(shù)[cxc,lxc][xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,l,'sym6',5,thr,'s',1);

%分層軟閥值降噪xc;[xc1,cxc1,lxc1,perf01,perfl21]=wdencmp('lvd',c,l,'sym6',5,thr1,'s');subplot(3,1,1);plot(x);title('原始信號(hào)','fontsize',8);subplot(3,1,2);plot(xc);title(‘全局軟閾值降噪信號(hào)，能量成分[perf01,perfl21]','fontsize',8);subplot(3,1,3);plot(xc1);title(分層軟閥值降噪信號(hào)，能量成分[perf01,perfl21]','fontsize',8);第55頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第56頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第57頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院二維信號(hào)降噪loadwomanrandn('seed',2055615866);x=X+15*randn(size(X));%加噪[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x);%全局閥值降噪[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(‘gbl’,x,‘sym4’,2,thr,sorh,keepapp);%顯示colormap(pink(255)),sm=size(map,1);subplot(221),image(wcodemat(X,sm));title('X');subplot(222),image(wcodemat(x,sm));title('x');subplot(223),image(wcodemat(xc,sm));title('xc');[c,s]=wavedec2(x,3,'sym4');%三層二維小波分解[th1,nkeep1]=wdcbm2(c,s,1.5,2.7*prod(s(1,:)));[xc1,cxc1,lxc1,perf01,perfl21]=wdencmp('lvd',c,s,'sym4',3,th1,'s');subplot(224),image(wcodemat(xc1,sm));title('xc1');第58頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第59頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用2：小波變換用于信號(hào)奇異點(diǎn)檢測(cè)

信號(hào)的奇異點(diǎn)（突變點(diǎn)）常包含重要的故障信息（對(duì)于圖像它是邊緣）。提取此突變點(diǎn)的位置及奇異性（光滑度）是信號(hào)分析與處理的重要工作之一第60頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院函數(shù)奇異性的描述，李氏（Lipschitz）指數(shù)α：連續(xù)不可導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f(t)在點(diǎn)

的李氏指數(shù)為（），如果滿足：

不連續(xù)函數(shù)：稱函數(shù)f(t)在點(diǎn)的李氏指數(shù)α（），如果其原函數(shù)F(t)的李氏指數(shù)為α+1。n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，但n+1階不可導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f(t)在點(diǎn)

的李氏指數(shù)為α（），如果滿足：第61頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院例如：李氏指數(shù)α=1李氏指數(shù)α=0李氏指數(shù)α=-1第62頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院函數(shù)奇異性在小波變換下的特征：

設(shè)

的李氏指數(shù)為α(0<α

<=1），則其小波變換系數(shù)滿足：是小波變換模的上界（模極大值），若在某時(shí)刻小波變換模達(dá)到這個(gè)上界，則說(shuō)明f(t)在此處的李氏指數(shù)為α。另外，時(shí)，小波變換模隨j增而增；時(shí)，小波變換模隨j減而減；時(shí)，小波變換模不隨j變！第63頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

綜上，用小波變換模極大值，可以確定信號(hào)奇異點(diǎn)及奇異性。第64頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院連續(xù)間斷點(diǎn)的檢測(cè)functionyanshi13loadfreqbrks=freqbrk;[c,l]=wavedec(s,5,'db5');fori=1:5ca(i,:)=wrcoef('a',c,l,'db5',i);cd(i,:)=wrcoef('d',c,l,'db5',i);endsubplot(611),plot(s);title('s');subplot(612),plot(ca(1,:));title('ca1');subplot(613),plot(ca(2,:));title('ca2');subplot(614),plot(ca(3,:));title('ca3');subplot(615),plot(ca(4,:));title('ca4');subplot(616),plot(ca(5,:));title('ca5');figure;subplot(612),plot(cd(1,:));title('cd1');subplot(613),plot(cd(2,:));title('cd2');subplot(614),plot(cd(3,:));title('cd3');subplot(615),plot(cd(4,:));title('cd4');subplot(616),plot(cd(5,:));title('cd5');end第65頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院導(dǎo)數(shù)間斷點(diǎn)的檢測(cè)loadscddvbrk;s=scddvbrk;[c,l]=wavedec(s,2,'db4');fori=1:2ca(i,:)=wrcoef('a',c,l,'db4',i);cd(i,:)=wrcoef('d',c,l,'db4',i);endt=350:650;subplot(321),plot(t,s(t));title('s');subplot(323),plot(t,ca(1,t));title('ca1');subplot(324),plot(t,cd(1,t));title(‘cd1’)；subplot(325),plot(t,ca(2,t));title('ca2');subplot(326),plot(t,cd(2,t));title(‘cd2’)；第66頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用3識(shí)別信號(hào)發(fā)展趨勢(shì)functionyanshi15loadcnoislop;s=cnoislop;[c,l]=wavedec(s,6,'db3');fori=1:6ca(i,:)=wrcoef('a',c,l,'db3',i);cd(i,:)=wrcoef('d',c,l,'db3',i);endsubplot(711),plot(s),title('s');subplot(712),plot(ca(1,:));title('ca1');subplot(713),plot(ca(2,:));title('ca2');subplot(714),plot(ca(3,:));title('ca3');subplot(715),plot(ca(4,:));title('ca4');subplot(716),plot(ca(5,:));title('ca5');subplot(717),plot(ca(6,:));title('ca6');figure;subplot(712),plot(cd(1,:));title('cd1');subplot(713),plot(cd(2,:));title('cd2');subplot(714),plot(cd(3,:));title('cd3');subplot(715),plot(cd(4,:));title('cd4');subplot(716),plot(cd(5,:));title('cd5');subplot(717),plot(cd(6,:));title('cd6');end第67頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院在一個(gè)電廠采集的三天負(fù)荷信號(hào)s=leleccum

。具體是：1.采樣時(shí)間間隔1分鐘；2.數(shù)據(jù)的采集是通過(guò)幾百個(gè)高度密集的傳感器完成的；3.負(fù)荷數(shù)據(jù)大體一半是來(lái)自于工業(yè)，一半來(lái)自于大量個(gè)人用戶。來(lái)自于工業(yè)的負(fù)荷成分規(guī)律性更強(qiáng)，體現(xiàn)為緩慢變化的低頻成分；與此相反，個(gè)人用戶的負(fù)荷成分變化更為劇烈，其信號(hào)成分也以高頻為主；噪聲可能來(lái)源傳感器或系統(tǒng)狀態(tài)！

應(yīng)用4電網(wǎng)監(jiān)測(cè)第68頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院準(zhǔn)備研究以下問(wèn)題：每日中部時(shí)間段（3600～3700或12：00～13：30）信號(hào)分析；深夜時(shí)段（1530～1730或01：30～04：30）的信號(hào)分析；檢測(cè)傳感器故障；抑制噪聲；識(shí)別信號(hào)模式；定位并抑制偏離點(diǎn)；研究丟失信息。第69頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院functionyanshi23loadleleccum;s=leleccum;[c,l]=wavedec(s,5,'db3');fori=1:5ca(i,:)=wrcoef('a',c,l,'db3',i);cd(i,:)=wrcoef('d',c,l,'db3',i);endsubplot(311),plot(s),title('s');subplot(312),plot(ca(1,:));title('ca1');subplot(313),plot(cd(1,:));title('cd1');figure;subplot(311),plot(ca(1,:));title('ca1');subplot(312),plot(ca(2,:));title('ca2');subplot(313),plot(cd(2,:));title('cd2');figure;subplot(311),plot(ca(2,:));title('ca2');subplot(312),plot(ca(3,:));title('ca3');subplot(313),plot(cd(3,:));title('cd3');figure;subplot(311),plot(ca(3,:));title('ca3');subplot(312),plot(ca(4,:));title('ca4');subplot(313),plot(cd(4,:));title('cd4');figure;subplot(311),plot(ca(4,:));title('ca4');subplot(223),plot(ca(5,:));title('ca5');subplot(224),plot(cd(5,:));title('cd5');第70頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第71頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第72頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第73頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第74頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第75頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院第76頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Schoolofmathematics&physics華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院1.每日中部時(shí)間段負(fù)荷數(shù)據(jù)分析functionyanshi19loadleleccum;s=leleccum;t=3600:3700;[c,l]=wavedec(s(t),5,'db3');fori=1:5ca(i,:)=wrcoef('a',c,l,'db3',i);cd(i,:)=wrcoef('d',c,l,'db3',i);endsubplot(221),plot(t,s(t)),title('s(3600:3700)');subplot(223),plot(t,ca(1,:));title('ca1');subplot(224),plot(t,c