2021年北京豐臺(tái)區(qū)第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021年北京豐臺(tái)區(qū)第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)，以下說法正確的有

(

）①是的函數(shù)；②對(duì)于不同的的值也不同；③表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量；④一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來。A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：B2.已知是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥2時(shí)A．{x|0<x<4}

B．{x|-2<x<2}

C．{x|2<x<6}

D．{x|-4<x<0}參考答案：D3.某企業(yè)打算在四個(gè)候選城市投資四個(gè)不同的項(xiàng)目，規(guī)定在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過兩個(gè)，則該外商不同的投資方案有

（

）

A．24

B．96

C．240

D．384參考答案：答案:C4.在中，是邊上的一點(diǎn)，．若記，則用表示所得的結(jié)果為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．F2C

解析：如圖，B，D，C三點(diǎn)共線，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴．故選C．【思路點(diǎn)撥】B，D，C三點(diǎn)共線，所以根據(jù)已知條件對(duì)于，能夠得到，所以得到，所以．5.已知等差數(shù)列滿足且，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知，那么下列不等式成立的是A． B．

C. D．參考答案：D7.若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為(

) A．﹣4 B． C．4 D．參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：由題意可得z==，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡為+i，由此可得z的虛部．解答： 解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虛部等于，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.若變量x、y滿足約束條件，則z=x-2y的最大值為

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B略9.“人機(jī)大戰(zhàn)，柯潔哭了，機(jī)器贏了”，2017年5月27日，19歲的世界圍棋第一人柯潔3:0不敵人工智能系統(tǒng)AlphaGo，落淚離席.許多人認(rèn)為這場比賽是人類的勝利，也有許多人持反對(duì)意見，有網(wǎng)友為此進(jìn)行了調(diào)查.在參與調(diào)查的2600男性中，有1560人持反對(duì)意見，2400名女性中，有1118人持反對(duì)意見.再運(yùn)用這些數(shù)據(jù)說明“性別”對(duì)判斷“人機(jī)大戰(zhàn)是人類的勝利”是否有關(guān)系時(shí)，應(yīng)采用的統(tǒng)計(jì)方法是（

）A．分層抽樣

B．回歸分析

C．獨(dú)立性檢驗(yàn)

D．頻率分布直方圖參考答案：C10.已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．32

B．4

C．8

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為

．參考答案：12.已知集合，那么

.參考答案：{1，-1}

13.已知，若，則______．參考答案：【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出，結(jié)合二倍角的余弦公式得出，即可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以是第二象限角；因?yàn)椋怨?，故．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式化簡求值，屬于中檔題.14.點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則2x﹣y的最大值與最小值之比為．參考答案：略15.如圖是底面半徑為1，母線長均為2的圓錐和圓柱的組合體，則該組合體的體積為．參考答案：（2+）π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】分別計(jì)算圓錐和圓柱的體積，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓錐的高為，體積為=π，圓柱的體積為π?12?2=2π，∴該組合體的體積為（2+）π．故答案為：（2+）π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐和圓柱的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．16.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=4，則的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由已知得=（）[（a+1）+（b+3）]=（++2），由此利用均值不等式能求出結(jié)果．【解答】解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=4，∴a+1＞1，b+3＞3，a+1+b+3=8，∴=（）[（a+1）+（b+3）]=（++2）≥（2+2）=．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴的最小值為．故答案為：．17.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.“開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目．選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個(gè)年齡段：21～30，31～40（單位：歲），統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．（1）寫出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為答對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）P（K2≥k0）0.10.050.010.005k02.7063.8416.6357.879（2）在統(tǒng)計(jì)過的參考選手中按年齡段分層選取9名選手，并抽取3名幸運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中在21～30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出結(jié)論．（2）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解期望即可．【解答】解：（1）2×2列聯(lián)表

正確錯(cuò)誤合計(jì)21～3010304031～40107080合計(jì)20100120∴K2==3＞2.706有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）按照分層抽樣方法可知：21～30（歲）抽取3人，31～40（歲）抽取6人．設(shè)3名選手中在21～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3﹣﹣﹣﹣P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．﹣﹣﹣﹣﹣ξD的分布列ξ0123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級(jí)開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座．（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：

信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)周一周三周五根據(jù)上表：（1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由題意設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，則有獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得；（2）由于題意可以知道隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，利用隨見變量的定義及相應(yīng)的事件的概率公式即可求得隨機(jī)變量每一個(gè)值下的概率，并列出其分布列，再有期望定義求解．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一，周三，周五都不滿座位事件A，則P（A）=（1﹣，（2）由題意隨機(jī)變量ξ的可能值為0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，所以隨機(jī)變量的分布列為：故Eξ=．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于中檔題型，重在理解題意并分型事件的類型用準(zhǔn)概率公式，考查了隨機(jī)變量的定義及其分布列，還考查了隨機(jī)變量的期望公式及計(jì)算能力．20.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，試證明：Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)和和之間的關(guān)系，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）bn==，=，累加即可求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn【解答】解：（1）由題意得an+1=2Sn+2，an=2Sn﹣1+2，（n≥2），兩式相減得an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，則an+1=3an，n≥2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是以3為公比的等比數(shù)列．因?yàn)閍2=2S1+2=4+2=6，滿足對(duì)任意正整數(shù)成立{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an=2×3n﹣1（2）證明：bn==，=，Tn=×[+…+]=＜．21.（本小題滿分8分）在橢圓上求一點(diǎn)P，使得該點(diǎn)到直線:x-2y-12=0的距離最大，并求出最大值。參考答