(含答案)2015年二次函數(shù)專題復(fù)習五(比例及定值問題)

(含答案)2015年二次函數(shù)專題復(fù)習五(比例及定值問題)

題目1：在平面直角坐標系中，點A位于拋物線y=x上，AE⊥y軸于點E，點B坐標為（0，2），直線AB交x軸于點C，點D與點C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，BD的長度為m，△BED的面積為S。（1）當m=2時，求S的值。（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式。（3）①若S=1/2時，求m的值；②當m＞2時，設(shè)S/k=m的值，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明。題目2：雙曲線y=1/x和拋物線y=ax^2+bx交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（-1，-3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E。（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求BN/ND的值。題目3：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+m的圖象與x軸交于A（-1，0），與y軸交于點C。以直線x=2為對稱軸的拋物線C1：y=ax^2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、C兩點，并與x軸正半軸交于點B。（1）求m的值及拋物線C1：y=ax^2+bx+c（a≠0）的函數(shù)表達式。（2）設(shè)點D（1，0），若F是拋物線C1：y=ax^2+bx+c（a≠0）對稱軸上使得△ADF的周長最小的點，過F任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點，試探究y1+y2是否為定值？請說明理由。（3）將拋物線C1作適當平移，得到拋物線C2：y2=-(x-h)，h＞1。若當1＜x≤m時，y2≥-x恒成立，求m的最大值。題目4：在矩形AOCD中，把點D沿AE對折，使點D落在OC上的F點，已知AO=8，AD=10。（1）求F點的坐標。（2）已知拋物線過點O，F(xiàn)，且直線y=6x-36是該拋物線的切線，求拋物線的解析式。如果一條直線不與拋物線對稱軸平行且與拋物線有一個交點，我們稱這條直線為拋物線的切線。因此，該拋物線在點（3，6）處有一條切線，即直線y=6x-36。因為該直線是拋物線的切線，所以拋物線的對稱軸必須垂直于該直線。因此，對稱軸的解析式為x=3。由于對稱軸過點O，F(xiàn)，所以拋物線的頂點為（3，0）。由于拋物線是關(guān)于對稱軸對稱的，因此拋物線的解析式為y=a(x-3)^2。（3）已知直線y=k(x-3)-2與拋物線y=x的交點為P、Q，且點B的坐標為（3，-2），為定值。要證明的是點P、Q的距離為定值。連接點P、Q和B，可以得到△BPQ。因為點B的坐標為（3，-2），所以點B在直線y=-2上。因此，點B在直線y=k(x-3)-2的圖像上的坐標為（3，k-2）。因為直線y=k(x-3)-2與拋物線y=x相交于點P、Q，所以它們的坐標必須滿足以下方程組：k(x-3)-2=xx^2=y解方程組可以得到點P、Q的坐標：P：（（k-1）/2，（k-1）/2）Q：（（1-k）/2，（1+k）/2）因此，BP=PQ=QB，即點P、Q的距離為定值。（2014?龍巖）如圖①，雙曲線y=(k≠x^2)和拋物線y=ax^2+bx（a≠0）交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（-1，-3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E。（1）求雙曲線和拋物線的解析式；解：由題意可得：B（3，1），C（-1，-3），則3k-1=a(3)^2+b(3)（1）-3k+3=a(-1)^2+b(-1)（2）聯(lián)立（1）（2）式，解得：a=1/2，b=-2，k=3/2∴雙曲線的解析式為：y=3/2x^2把B（3，1）代入y=kx^2得：1=27/2k解得：k=2/27∴拋物線的解析式為：y=2/27x^2-8/27x（2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；解：存在點P，使得∠POE+∠BCD=90°；∵B（3，1），C（-1，-3），設(shè)直線BC為y=kx+n，則k=-2，n=-4∴直線BC為：y=-2x-4∴直線BC與坐標軸的交點（2，0），（0，-4），過O作OM⊥BC，則OM=2∵B（3，1），C（-1，-3），∴OB=OC=√10∴BM=CM=√10∴tan∠COM=1/3∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，∴∠POE=∠COM，∴tan∠POE=1/3∵P點是拋物線上的點，設(shè)P（m，am^2+bm）∴tan∠POE=(am^2+bm)/(2/27m^2-8/27m)解得：m=1∴P（1，-6/27）=（1，-2/9）綜上所述，存在點P（1，-2/9），使得∠POE+∠BCD=90°。（3）如圖②，過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求NO的值。解：∵直線CO過C（-1，-3），∴直線CO的解析式為y=3x-2∴D（1，3）∵B（3，1），∴直線OB的斜率=-1/2∵直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，∴DF∥OB，∴直線l的斜率=2直線DF的斜率=-1/2∵直線l過B（3，1），直線DF過D（1，3），∴直線l的解析式為y=2x-5，直線DF解析式為y=-1/2x+7/2解，得F（3，-1）∴DF=√10/2∵DF∥OB，OB=√10∴△DNF∽△BNO，∴NO=2/3DF=√10/3（1）由折疊的性質(zhì)得到：△ADE≌△AFE，則AF=AD=10。又已知AO=8，因此F點的坐標為（6，2）。（2）依題意可設(shè)過點O、F的拋物線解析式為y=a(x-3)(x-6)，即y=ax(x-6)（a≠0）。依題意知，拋物線與直線y=6x-36相切，因此二者的交點為切點。設(shè)切點為（x0，y0），則有y0=ax0(x0-6)和y0=6x0-36，聯(lián)立可得x0=3，y0=-18。又因為切點在拋物線的對稱軸上，即x=4.5處，因此a=-2/9，拋物線的解析式為y=-2/9(x-3)(x-6)。（3）由題意可知，點B的坐標為（3，k-3）。設(shè)交點P、Q的橫坐標分別為x1、x2（x1<x2），則有y=k(x-3)-2=6x-36，即k=6x/7+10。將k代入拋物線的解析式中，得到y(tǒng)=-2/9(x-3)(x-6)=6x/7+10，化簡可得18x^2-91x+126=0。解得x1=7/6，x2=14/3。因此，點P、Q的坐標分別為（7/6，-1/21）和（14/3，-16/9）。根據(jù)兩點間的距離公式可得，BP+BQ=|k-3+1/21|+|k-3+16/9|=2/21+22/9=220/63，為定值。改寫后的文章：要求解拋物線的解析式，已知a=1，2。根據(jù)拋物線的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，代入a=1，得到y(tǒng)=x2+bx+c。再根據(jù)題目中的條件，當x=3時，y=0。代入得到0=9+3b+c，即c=-9-3b。將c代入一般式中，得到y(tǒng)=x2+bx-9-3b，即y=x2+(b-3)x-9。接下來要證明，對于任意的P(x1,y1)和Q(x2,y2)，如果x1>3，x2<3，則有x1+x2=6+k，其中k為常數(shù)。首先，根據(jù)拋物線的解析式，將x1和y1代入得到y(tǒng)1=x12+(b-3)x1-9。同理，將x2和y2代入得到y(tǒng)2=x22+(b-3)x2-9。將兩式相加，得到y(tǒng)1+y2=x12+x22+