數(shù)學(xué)建模講解

數(shù)學(xué)建模講解第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月A題零件的參數(shù)設(shè)計

一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成。標志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)，零件參數(shù)包括標定值和容差兩部分。進行成批生產(chǎn)時，標定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機變量，則標定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定為均方差的三倍。第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月進行零件設(shè)計，就是要確定其標定值和容差，這時要考慮兩方面因素：

1、當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標值，就會造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大。

2、零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計的越小，成本越高。第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月試通過如下的具體問題給出一般的零件設(shè)計方法

粒子分離器某參數(shù)（y）由7個零件的參數(shù)（記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）決定，經(jīng)驗公式為第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月y的目標值（記作y0）為1.501、當(dāng)y偏離y0±0.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1，000元。2、當(dāng)y偏離y0±0.3時，產(chǎn)品為廢品，損失為9，000元。

第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月零件參數(shù)的標定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與標定值的相對值表示，A等為±1%,B等為±5%,C等為±10%。7個零件參數(shù)標定值的容許范圍，及不同容差等級零件的成本（元）如下表（符號“/”表示無此等級零件）。標定容許范圍C等B等A等X1[0.075,0.125]/25/X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100X7[0.5625,0.935]/25100第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)成批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)1000個。在原設(shè)計中，7個零件參數(shù)的標定值為：x1=0.1、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、x6=16、x7=0.75;容差均選最便宜的等級。請你綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括標定值和容差），并與原設(shè)計比較，總費用降低了多少。第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月問題分析

本題是一個最優(yōu)化問題，目的是要通過模型求出單個零件的最小費用，而找到最優(yōu)解，也就是問題中所提到的標定值和容差，因此，該模型，我決定建立標定值，容差和單個零件費用之間的函數(shù)關(guān)系，通過matlab數(shù)學(xué)軟件求解有約束的非線性規(guī)劃問題，因而可以得到所要的最優(yōu)解。第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月模型建立1、先來討論質(zhì)量損失的計算。由題目中所給的“如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標值，就會造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大?！边@說明質(zhì)量損失的計算應(yīng)具有兩個特點:只要y不等于y0那麼就有質(zhì)量損失;損失值與|y-y0|成正比。因此,給出如下函數(shù)其中，k是常數(shù)第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

將題目中所給的兩組損失數(shù)值代入上式,求得k=100000因此

上式符合上述的兩個特點，稱為表征質(zhì)量損失的函數(shù)。第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2、本題要求的是使總費用最少的設(shè)計方案。總費用由兩部分組成：零件成本和y偏離y0造成的質(zhì)量損失。零件成本只取決于零件的相對容差，設(shè)第i種零件的成本為，則七種零件總成本為第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月y是由零件參數(shù)X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)決定的，即經(jīng)驗公式y(tǒng)=f（X0），由假設(shè)xi可視為相互獨立的隨機變量，那麼y也是隨機變量。大量生產(chǎn)時，平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用應(yīng)該用表征質(zhì)量損失的函數(shù)F(y)的期望來度量。而該期望又由各種零件參數(shù)的標定值X0和相對容差決定。設(shè)總費用函數(shù)為P,那麼第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月3、下面討論(2)的具體表達式。

由其中是y的期望值,是的y方差?，F(xiàn)在來推導(dǎo)與

將y=f(X0)在X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)處進行Taylar展開,并略去二階以上各項。則第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月那么其中，是的均方差=第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月從題目中以知,零件的容差,

相對容差,將這些代入上式(3),則目標函數(shù)的最終表達式為第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月模型求解由于所求解中,包含連續(xù)變量標定值X0,也包括離散變量相對容差mi,因此給求解帶來困難，我們采用分離方法求解。從容差表中可知,七種零件的容差共有1×2×3×3×1×3×2=108種組合,可以采用窮舉法,求出每種容差組合m0=(m1,m2,…m7)下的最優(yōu)解X0和P1,此時求P1的表達式為:第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月而此種組合下的總成本為P=P1+C(m0)再對108個總費用