時間序列計量經濟學模型

時間序列計量經濟學模型第1頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.1時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典回歸模型二、時間序列數據的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第2頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典回歸模型

第3頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒈常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：時間序列數據（time-seriesdata)截面數據(cross-sectionaldata)平行/面板數據（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據第4頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒉經典回歸模型與數據的平穩(wěn)性經典回歸分析暗含著一個重要假設：數據是平穩(wěn)的。數據非平穩(wěn)，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量第5頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月依概率收斂：(2)放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項不相關∶Cov(X,)=0

第（2）條是為了滿足統計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計的需要第6頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月▲如果X是非平穩(wěn)數據（如表現出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：第7頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。⒊數據非平穩(wěn)，往往導致出現“虛假回歸”問題第8頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月在現實經濟生活中，實際的時間序列數據往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。第9頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經濟學方法論。時間序列分析已組成現代計量經濟學的重要內容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中。第10頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月二、時間序列數據的平穩(wěn)性第11頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：

假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關的常數；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關的常數；3）協方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationarystochasticprocess）。

第12頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.1.1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：

E(Xt)=0，方差Var(Xt)=2,Cov(Xt,Xt+k)=0該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。符合古典回歸假定的隨機擾動項序列是白噪聲序列

由于Xt具有相同的均值與方差，且協方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。第13頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.1.2．另一個簡單的隨機時間序列被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：Xt=Xt-1+t這里，t是一個白噪聲。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)為了檢驗該序列是否具有相同的方差，假設Xt的初值為X0，則易知:第14頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2X3=X2+3=X0+1+2+3

……Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數，t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t2即Xt的方差與時間t有關而非常數，它是一非平穩(wěn)序列。第15頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月然而，對X取一階差分（firstdifference）:

Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。第16頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。第17頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2中將證明:只有當-1<<1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。

1階自回歸過程AR(1)又是如下k階自回歸AR(k)過程的特例：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。

第18頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷第19頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月給出一個隨機時間序列，可利用該序列的時間路徑圖粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩(wěn)序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第20頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月利用樣本自相關函數圖判斷時間序列的平穩(wěn)性

定義隨機時間序列的（總體）自相關函數（autocorrelationfunction,ACF）如下：

k=k/0

自相關函數是關于滯后期k的遞減函數(Why?)。

實際上,對一個隨機過程只有一個實現（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數（Sampleautocorrelationfunction）。第22頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一個時間序列的樣本自相關函數定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關函數下降且趨于零。但，從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第23頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月ACFandPACFforaNon-stationaryModel

(i.e.aunitcoefficient):yt=yt-1+ut第25頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月ACFandPACFforaslowlydecayingAR(1)Model:yt=0.9yt-1+ut第26頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月ACFandPACFforamorerapidlydecayingAR(1)Model:yt=0.5yt-1+ut第27頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月ACFandPACFforamorerapidlydecayingAR(1)ModelwithNegativeCoefficient:yt=-0.5yt-1+ut第28頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月注意:

確定樣本自相關函數rk某一數值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應的自相關函數k的真值是否為0的假設。

Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關系數近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數。即rk

approximatelyN(0,1/n

)

第29頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月檢驗對所有k>0自相關系數都為0的聯合假設，可通過如下Ljung（楊）-Box

統計量QLB進行：該統計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。即因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設。第30頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.1.3（P325）:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數）生成的有19個樣本的隨機時間序列。

第31頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。第34頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此該序列為一白噪聲。

根據Bartlett的理論：k~N(0,1/19)，因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是:第35頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出:k>0時，rk的值確實落在了該區(qū)間內，因此可以接受k(k>0)為0的假設。同樣地，從QLB統計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數k(k>0)都為0的假設。因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。

第36頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

序列Random2是由一隨機游走過程Xt=Xt-1+t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項即X0,取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第37頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。

樣本自相關系數顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設。

該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。第39頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.4檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

第40頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖形：表現出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關系數：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

第42頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

從滯后18期的QLB統計量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05

拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為0的假設。

結論:1978—2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。第43頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.5

檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。原圖樣本自相關圖第44頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。

從滯后14期的QLB統計量看：CPC與GDPPC序列的統計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。第45頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月就此來說，運用傳統的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。不過，§9.3中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是協整的，則傳統的回歸結果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協整的。

第46頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月四、平穩(wěn)性的單位根檢驗

（unitroottest）第47頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

1、DF檢驗

隨機游走序列:

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型:Xt=Xt-1+t中參數=1時的情形。第48頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

（*）式可變形為差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。對式：

Xt=Xt-1+t（*）

進行回歸，如果確實發(fā)現=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。第49頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型：Xt=+Xt-1+t（*）中的參數是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式：

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數是否小于0。第50頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;

對應于（**）式，則是>0或=0。

因此，針對式：

Xt=+Xt-1+t

我們關心的檢驗為：零假設H0：=0。

備擇假設H1：<0第51頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為統計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第52頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，可通過OLS法估計：

Xt=+Xt-1+t并計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：第53頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月如果：t<臨界值，則拒絕零假設H0：=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。例如：“如果計算得到的t統計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕=0”的原假設，表明原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第54頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

問題的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。

2、ADF檢驗第55頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。

為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。第56頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：第57頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。

檢驗的假設都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。第58頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。第59頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統計量模型表：9.1.4不同模型使用的ADF分布臨界值表ststat第60頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統計量模型續(xù)表：9.1.4不同模型使用的ADF分布臨界值表statbt第61頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型的適當形式指在每個模型中選取適當的滯后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（保證不存在自相關）。一個簡單的檢驗過程：第62頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.6檢驗1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。1）經過償試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數檢驗（Lagrangemultipliertest）對隨機誤差項的自相關性進行檢驗：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，第63頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從的系數看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。時間T的t統計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2。第64頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

2）經試驗，模型2中滯后項取2階：LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。常數項的t統計量小于ADF分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數項的零假設。需進一步檢驗模型1。第65頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月3)經試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設?？蓴喽ㄖ袊С龇℅DP時間序列是非平穩(wěn)的。第66頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.7

檢驗§2.10中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。

1)對中國人均國內生產總值GDPPC來說，經過償試，三個模型的適當形式分別為：第67頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

三個模型中GDPPCt-1的參數的估計值的t統計量均大于各自ADF分布的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設。

結論：人均國內生產總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。第69頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

2）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當形式為：第70頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

三個模型中CPCt-1的參數估計量的t統計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單位根的零假設。因此,可判斷人均居民消費序列CPC是非平穩(wěn)的。第72頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第73頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機游走序列Xt=Xt-1+t經差分后等價地變形為Xt=t，由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個時間序列經過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。⒈單整第74頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列?，F實經濟生活中:1)只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現為1階單整。第75頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月大多數非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。第76頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.8中國支出法GDP的單整性。經過試算，發(fā)現中國支出法GDP是1階單整的，適當的檢驗模型為：第77頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.1.9中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性。經過試算，發(fā)現中國人均國內生產總值GDPPC是2階單整的，適當的檢驗模型為：

第78頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣地，CPC也是2階單整的，適當的檢驗模型為：第79頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程

前文已指出，一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。第80頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月如：用中國的勞動力時間序列數據與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2，但不能認為兩者有直接的關聯關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。

為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。第81頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。換言之，一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，將確定性趨勢分離出來。第82頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程：Xt=+Xt-1+t（**）

根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）。考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。第83頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：Xt=+t+t（***）

根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。3)

如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。第84頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此：

(1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。第85頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機性趨勢可通過差分的方法消除例如：對式：Xt=+Xt-1+t可通過差分變換為：

Xt=+t該時間序列稱為差分平穩(wěn)過程（differencestationaryprocess）；第86頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除例如：對式：Xt=+t+t可通過除去t變換為：Xt-t

=+t該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢平穩(wěn)過程（trendstationaryprocess）。需要說明的是，趨勢平穩(wěn)過程代表了一個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進行長期預測更為可靠。第87頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2隨機時間序列分析模型一、時間序列模型的基本概念及其適用性二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機時間序列模型的識別四、隨機時間序列模型的估計五、隨機時間序列模型的檢驗第88頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月說明經典計量經濟學模型與時間序列模型確定性時間序列模型與隨機性時間序列模型第89頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一、時間序列模型的基本概念及其適用性第90頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月1、時間序列模型的基本概念時間序列模型（timeseriesmodel）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為:

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)

建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題：

第91頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)模型的具體形式(2)時序變量的滯后期(3)隨機擾動項的結構

例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（t=t），模型將是一個1階自回歸過程AR(1)：Xt=Xt-1+t，這里，t特指一白噪聲。

第92頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一般的p階自回歸過程AR(p)是

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)

(1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pureAR(p)process），記為:

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t

第93頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均（movingaverage）過程MA(q)：

t=t-1t-1-2t-2--qt-q該式給出了一個純MA(q)過程（pureMA(q)process）。第94頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（autoregressivemovingaverage）過程ARMA（p,q）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q

該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。第95頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。

這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。第96頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月經典回歸模型的問題：迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因此也常稱為結構式模型（structuralmodel）。

2、時間序列分析模型的適用性第97頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應的量化數據，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。有時，即使能估計出一個較為滿意的因果關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常困難，甚至比預測應變量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型及其預測技術就不適用了。第98頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導地位？或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。

另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數據，得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。第99頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月使用時間序列分析模型的另一個原因在于：如果經濟理論正確地闡釋了現實經濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。第100頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月使用時間序列分析模型的另一個原因：如果經濟理論正確地闡釋了現實經濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)的形式。

例如，對于如下最簡單的宏觀經濟模型：Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收入。Ct與Yt作為內生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資It的運動及隨機擾動項t的變化決定的。第101頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月上述模型可作變形如下：兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項It的行為。如果It是一個白噪聲，則Ct就成為一個AR(1)過程，而Yt就成為一個ARMA(1,1)過程。第102頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件第103頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。關于這幾類模型的研究，是時間序列分析的重點內容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模型的估計。

1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件第104頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的。否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。第105頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

考慮p階自回歸模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子（lagoperator）L：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變換為：

Xt=1LXt+2L2Xt+…+pLpXt+t

(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t

第106頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多項式方程：

(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristicequation)。

可以證明，如果該特征方程的所有根均在單位圓之外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。

第107頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.2.1AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數學期望，得到Xt的方差：由于Xt僅與t相關，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：第108頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負的常數，從而有

||<1。

而AR(1)的特征方程：的根為：z=1/

AR(1)穩(wěn)定，即||<1，意味著特征根的絕對值大于1，即特征根在單位圓之外。第109頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.2.2AR(2)模型的平穩(wěn)性條件。對AR(2)模型：

方程(1)兩邊同乘以Xt，再取期望得：

方程(1)兩邊同乘以εt，再取期望得：(1)(2)(3)第110頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)代入（2）得：

方程（1）兩邊分別同乘以Xt-1、Xt-2，再取期望得從（5）、（6）中解出γ1

、γ2，代入（4）得方差為：（4）（5）（6）（7）第111頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。

第112頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月對應的特征方程1-1z-2z2=0的兩個根z1、z2滿足：z1z2=-1/2,

z1+z2=-1/2AR(2)模型：解出1，2：第113頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/(|z1||z2|)<1，則至少有一個根的模大于1，不妨設|z1|>1，有：于是|z2|>1。由2

-

1

<1可推出同樣的結果。第114頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

對高階自回模型AR(p)來說，多數情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性：

(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：

1+2++p<1

(2)由于i(i=1,2,p)可正可負，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是：

|1|+|2|++|p|<1

第115頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月對于移動平均模型MA(q)：Xt=t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q

其中t是一個白噪聲，于是：2、MA(q)模型的平穩(wěn)性

第116頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月當滯后期大于q時，Xt的自協方差系數為0。綜上，有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。

第117頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性

而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。

當AR(p)部分平穩(wěn)時，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，ARMA(p,q)模型不是平穩(wěn)的。第118頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

4、總結

（1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型；（2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通常可以通過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。

第119頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則說原時間序列是一個自回歸單整移動平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。第120頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型。

當然，一個ARIMA(p,0,0)過程表示一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個ARIMA(0,0,q)表示一個純MA(q)平穩(wěn)過程。第121頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機時間序列模型的識別第122頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

所謂隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、純MA過程或ARMA過程。

所使用的工具主要是時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關函數（partialautocorrelationfunction，PACF）。第123頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

1、AR(p)過程

(1)自相關函數ACF

1階自回歸模型AR(1)：Xt=Xt-1+t

的k階滯后自協方差為：k=1,2,…第124頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，AR(1)模型的自相關函數為：

k=1,2,…

由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時，呈指數形衰減，直到零。這種現象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，<0時，呈振蕩衰減狀。

第125頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

Xt=1Xt-1+2Xt-2+t

該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協方差1,2分別為：

２階自回歸模型AR(2)

類似地,可寫出一般的k期滯后自協方差：

(k=2,3,…)第126頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月于是,AR(2)的k階自相關函數為：

(K=2,3,…)其中:0=1，1=1/(1-2)

如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+2<1知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，若為實根，則呈單調或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。

第127頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，p階自回歸模型AR(p)：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…

pXt-p+

tk期滯后協方差為:

從而有自相關函數:第128頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，無論k有多大，k的計算均與其１到p階滯后的自相關函數有關，因此呈拖尾狀。

如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。

事實上，自相關函數：是一p階廣義差分方程，其通解為：第129頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|<1;

因此，

當1/zi均為實數根時，k呈幾何型衰減（單調或振蕩）；當存在虛數根時，則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項，k呈正弦波衰減。第130頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）偏自相關函數

自相關函數ACF(k)給出了Xt與Xt-k的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。

例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:第131頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月即自相關函數中包含了這種所有的“間接”相關。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(partialautocorrelation，簡記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。第132頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項t，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數為零，記為：在AR(1)中，第133頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

同樣地，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關系數為零。

AR(p)的一個主要特征是:k>p時，

k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即k*在p以后是截尾的。一隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數在p以后截尾，即k>p時，k*=0，而它的自相關函數k是拖尾的，則此序列是AR(p)序列。第134頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

在實際識別時，由于樣本偏自相關函數rk*是總體偏自相關函數k*的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>p時，rk*不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>p時，rk*服從如下漸近正態(tài)分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。需指出的是，第135頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在p之后截尾。因此，如果計算的rk*滿足：第136頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

對MA(1)過程：2、MA(q)過程

可容易地推導出它的自協方差系數：

于是，MA(1)過程的自相關函數為：第137頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，當k>1時，k=0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數是截尾的。

MA(1)過程可以等價地寫成t關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：或：（*）

(*)是一個AR()過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。

第138頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

注意:

(*)式只有當||<1時才有意義，否則意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆域。

第139頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月其自協方差系數為：

一般地，q階移動平均過程MA(q)

相應的自相關函數為：

第140頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，當k>q時，Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現象，因此，當k>q時，k=0是MA(q)的一個特征。于是：可以根據自相關系數是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。

與MA(1)相仿，可以驗證MA(q)過程的偏自相關函數是非截尾但趨于零的。第141頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的自相關函數截尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相關函數是拖尾的，則此序列是MA(q)序列。

同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數rk是總體自相關函數k的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>q時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>q時，rk服從如下漸近正態(tài)分布:第142頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾。第143頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

ARMA(p,q)的自相關函數，可以看作MA(q)的自相關函數和AR(p)的自相關函數的混合物。

當p=0時，它具有截尾性質；

當q=0時，它具有拖尾性質；當p、q都不為0時，它具有拖尾性質3、ARMA(p,q)過程

第144頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月從識別上看，通常：

ARMA(p，q)過程的偏自相關函數（PACF）可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關函數（ACF）則是在q階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。

第145頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第146頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第147頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第148頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第149頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月四、隨機時間序列模型的估計第150頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：

（1）最小二乘估計；（2）矩估計；（3）利用自相關函數的直接估計。

下面有選擇地加以介紹。結構階數模型識別確定估計參數第151頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒈AR(p)模型的YuleWalker方程估計在AR(p)模型的識別中，曾得到：

利用k=-k，得到如下方程組：

第152頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的參數1,2,,p與自相關函數1,2,,p的關系，

利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關函數的估計值：

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數的估計值：第153頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月由于：

于是,

從而可得2的估計值

在具體計算時，可用樣本自相關函數rk替代。第154頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒉MA(q)模型的矩估計

將MA(q)模型的自協方差函數中的各個量用估計量代替，得到：

(*)第155頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

首先求得自協方差函數的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數

的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第156頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1）MA(1)模型的直接算法對于MA(1)模型，（*）式相應地寫成：于是：

或：有：第157頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月于是有解：

由于參數估計有兩組解，可根據可逆性條件|1|<1來判斷選取一組。

第158頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）MA(q)模型的迭代算法

對于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數：由（*）式得（**）第159頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步，給出的一組初值，比如,代入（**）式，計算出第一次迭代值，第160頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

第二步，將第一次迭代值代入（**）式，計算出第二次迭代值

按此反復迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結果作為（**）的近似解。

第161頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒊ARMA(p,q)模型的矩估計

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計量計算步驟及公式如下：

第一步，估計1,2,,p

第162頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月是總體自相關函數的估計值，可用樣本自相關函數rk代替。

第二步，改寫模型，求1,2,,q以及2的估計值

將模型：

第163頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月改寫為：

令，

于是(*)可以寫成：

(*)

構成一個MA模型。按照估計MA模型參數的方法，可以得到1,2,,q以及2的估計值。

第164頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月⒋

AR(p)的最小二乘估計

假設模型AR(p)的參數估計值已經得到，即有，

殘差的平方和為：

(*)第165頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

根據最小二乘原理，所要求的參數估計值是下列方程組的解：

即，j=1,2,…,p(**)解該方程組，就可得到待估參數的估計值。

第166頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計進行比較，將(**)改寫成：

j=1,2,…,p由自協方差函數的定義，并用自協方差函數的估計值第167頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月代入，上式表示的方程組即為：

或，j=1,2,…,pj=1,2,…,p第168頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月解該方程組，得到：

即為參數的最小二乘估計。YuleWalker方程組的解：第169頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月比較發(fā)現，當n足夠大時，二者是相似的。2的估計值為：

需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數項。如果包含常數項，該常數項并不影響模型的原有性質，因為通過適當的變形，可將包含常數項的模型轉換為不含常數項的模型。第170頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。對含有常數項的模型：方程兩邊同減/(1-1--p)，則可得到：

其中，第171頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月五、模型的檢驗第172頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于ARMA(p,q)模型的識別與估計是在假設隨機擾動項是一白噪聲的基礎上進行的，因此，如果估計的模型確認正確的話，殘差應代表一白噪聲序列。

如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。

在實際檢驗時，主要檢驗殘差序列是否存在自相關。1、殘差項的白噪聲檢驗

第173頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

可用QLB的統計量進行2檢驗：在給定顯著性水平下，可計算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設。若大于相應臨界值，則應拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。第174頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月2、AIC與SBC模型選擇標準另外一個遇到的問題是，在實際識別ARMA(p,q)模型時，需多次反復嘗試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識別檢驗。顯然，增加p與q的階數，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。因此，對可能的適當的模型，存在著模型的“簡潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。第175頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中，n為待估參數個數（p+q+可能存在的常數項），T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residualsumofsquares）。

常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息法（Akaikeinformationcriterion，簡記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（SchwartzBayesiancriterion，簡記為SBC）：第176頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023年2月在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好

顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數的個數，因此使得AIC或SBC的值增加。

需注意的是：在不同模型間進行比較時，必須選取相同的時間段。第177頁，課件共268頁，創(chuàng)作于2023