工學115-小結與習題課課件

無窮級數一、數項級數的審斂法二、冪級數第十一章無窮級數暨南大學珠海學院蘇保河主講小結與習題課一、數項級數的審斂法定義：給定一個數列將各項依稱上式為無窮級數，其中第

n

項叫做級數的一般項,該級數的前

n

項和稱為級數的部分和.次相加,記為收斂,則稱無窮級數并稱S

為級數的和,記作暨南大學珠海學院蘇保河主講1無窮級數的基本性質性質1.

若級數收斂于S,則各項乘以常數

c

所得級數也收斂,說明:級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.暨南大學珠海學院蘇保河主講說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或相減.暨南大學珠海學院蘇保河主講性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為(3)若二級數都發(fā)散,不一定發(fā)散.性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.暨南大學珠海學院蘇保河主講性質4.收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.推論:

若加括弧后的級數發(fā)散,則原級數必發(fā)散.注意:

收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.2級數收斂的必要條件

定理

如果級數收斂,則必有注:

若級數的一般項不趨于0,則級數必發(fā)散.暨南大學珠海學院蘇保河主講定理

(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若級數則級數(2)若級數則級數收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數,3比較審斂法暨南大學珠海學院蘇保河主講正項級數:大的收斂,小的也收斂;

小的發(fā)散,大的也發(fā)散.定理.

兩個級數同時收斂或發(fā)散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

設兩正項級數滿足(1)當

0<l<∞

時,暨南大學珠海學院蘇保河主講4比值審斂法定理

.比值審斂法(D’alembert

判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當時,級數收斂;或時,級數發(fā)散.暨南大學珠海學院蘇保河主講定理.

根值審斂法(Cauchy判別法)設為正項則級數,且暨南大學珠海學院蘇保河主講5根值審斂法

滿足6數項級數審斂法1.利用級數性質和必要條件判別斂散性2.利用正項級數審斂法必要條件不滿足發(fā)散比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限暨南大學珠海學院蘇保河主講易找“尺子”3.任意項級數審斂法Leibniz判別法:則交錯級數收斂絕對收斂條件收斂暨南大學珠海學院蘇保河主講絕對收斂與條件收斂:收斂

)7例題例1.判別下列級數的斂散性:解:

暨南大學珠海學院蘇保河主講∴原級數發(fā)散.發(fā)散,用比值判別法:時級數收斂

,與p

級數比較可知:時級數收斂,時級數發(fā)散

.時級數發(fā)散

;暨南大學珠海學院蘇保河主講例1.判別下列級數的斂散性:解:(2)例2.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:解:

(1)取絕對值后得正項級數故原級數絕對收斂.暨南大學珠海學院蘇保河主講為公比為的等比級數,收斂,因為所以原級數絕對收斂.例2.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:解:(2)暨南大學珠海學院蘇保河主講例3.若級數均收斂

,且證明級數收斂.證:收斂.暨南大學珠海學院蘇保河主講例4.

設和也收斂.證:由比較審斂法,都收斂,暨南大學珠海學院蘇保河主講證明級數例5.

設級數收斂,且是否也收斂？說明理由.對任意項級數不一定收斂

.問級數解:

級數收斂,級數發(fā)散.例如,暨南大學珠海學院蘇保河主講[注:

對正項級數,由比較判別法可知:二、冪級數暨南大學珠海學院蘇保河主講1冪級數的收斂半徑收斂區(qū)間收斂域

冪級數在(－R,R)絕對收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]級數可能收斂也可能發(fā)散.外級數發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.冪級數在(－∞,+∞)絕對收斂.R=0時,冪級數僅在x=0收斂;R=

時,對于冪級數1)求收斂半徑(加絕對值后用比值法)2)討論端點的收斂性暨南大學珠海學院蘇保河主講2.

求冪級數收斂域的方法3冪級數的運算定理

設冪級數及的收斂半徑分別為令則有:暨南大學珠海學院蘇保河主講定理

若冪級數的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分:注1

逐項求導或積分后,區(qū)間端點處的斂散性可能改變.注2

利用逐項求導或積分可以計算某些冪級數的和.4函數的冪級數展開法1)函數的泰勒級數暨南大學珠海學院蘇保河主講定理:各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是

f(x)的泰勒公式中的余項滿足:設函數f(x)在點x0的某一鄰域

內具有開成泰勒級數.則稱f(x)能展暨南大學珠海學院蘇保河主講

2)常用函數的冪級數展開式

暨南大學珠海學院蘇保河主講注:

利用已知的函數展開式及冪級數的運算性質(包括積分求導)可將某些函數展開成冪級數,也可求某些冪級數的和函數.例1.求冪級數解

暨南大學珠海學院蘇保河主講求級數的收斂域:例2.

設,將f(x)展開成x

的冪級數

.

(01考研)解:于是暨南大學珠海學院蘇保河主講收斂,P257*1;2(1,2,3);5(1,3);7(2,4);8(1,4)9(2);10作業(yè)*第十二章

微分方程(1-3節(jié))下次課內容暨南大學珠海學院蘇保河主講T11-1,3(3).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解根據定義判別級數的收斂性.

在,所以該級數發(fā)散.

T11-2,1(5).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解.用比較審斂法判別的收斂性.

所以原級數發(fā)散.所以原級數發(fā)散.

所以原級數收斂.收斂，

T11-2,2(4).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解.用比值審斂法判別的收斂性.～～所以原級數收斂.T11-2,3(3).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解.用根值審斂法判別的收斂性.所以原級數收斂.T11-2,5(4).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解.判別級數收斂?如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂?

是否原級數為故該級數收斂.

因為它是交錯級數,滿足:故原級數條件收斂.

T11-2,5(5).

暨南大學珠海學院蘇保河主講解.判別級數收斂,是絕對收斂還是條件收斂?

是否收斂?如果

從