2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬試卷含答案（二十四）

2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬題（二十四）

（滿分100分，測(cè)試時(shí)間：60分鐘）

一、填空題（每小題10分）

1.若正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛%?｝滿足1+a4-a6+A（a5-a7）=0（2eR）,則。8+4a9的最

小值為-

2.不等式Vx2-2x+2+Vx2-2V2x+4＜遍的解集為.

3.設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2滿足區(qū)|=區(qū)+22|,z1z2=a（l-V3i）,其中i是虛數(shù)單位，a是非零

實(shí)數(shù)，則,=.

4.已知方程xe-2*+k=0在（-2,2）內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)根，貝?味的取值范圍是.

5.設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，a,c。0,方程a/+故+c=0的兩個(gè)虛數(shù)根打滿足"為

x2

實(shí)數(shù)，則2四仔（自）k等于.

6.已知存在正整數(shù)a,b,c滿足a+b+c=407,10n\abc,貝ijn的最大值為

二、解答題（每小題20分）

7.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為4連的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng),

則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是多少?

8.求單位圓內(nèi)接正n邊形的任意一頂點(diǎn)到其他各頂點(diǎn)距離的乘積.

答案

1.【答案】4

【解析】解：設(shè)正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛an｝的公比為q,貝叼＞1.

因?yàn)?+—。6+”（。5—。7）=°，

1

所以1+%-◎6+羽(。4一。6)=0,即1+(1+陽(yáng))(04一。6)=。，也即。6-。4=強(qiáng)荷，

2

故。8+Aag=a8(l+4q)=-q-1++2>4.

2.【答案】{x|x=4—2&}

(解析】解：設(shè)「=Vx2-2x+2+y/x2-2V2x+4=7(%-I)2+(0-I)2+

則P可看成x軸上的點(diǎn)(無(wú),0)到兩點(diǎn)4(1,1)，8(魚，夜)間的距離之和，

則4關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(1,一1),此時(shí)P>\A'B\=V6.

而不等式為PW伉，因此「=乃，此時(shí)X為直線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

又直線的方程為y+1=強(qiáng)詈(X-1)>令y=0有X=4—2夜，

故不等式的解集為{x|x=4-2V2}.

3.【答案】匚注

【解析】解:由怙1|=憶1+Z2\,得Z/1=(Z1+Z2)(Z1+z2),整理得Z1，2+2逐2+z2z2=0.

又=a(l—V3i))ztz2—a(l+V3i)>

-1+倔

所以Z2?2=-2a,￡2=zz%_-2a__2

z7-~a(l+V3i)——1+癡-2-

4.【答案】(一親一命

5.【解析】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

直接對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，從而得出k的取值范圍.

【解答】

解：設(shè)函數(shù)f(%)=xe-2x+k,則問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f(x)在(—2,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

又/'(%)=(1-2x)e~2x,

則易知函數(shù)f(x)在(-2，)上單調(diào)遞增，在?,2)上單調(diào)遞減.

要使函數(shù)人乃在(-2,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

7(j)>0'，+k>0,

517

則其充要條件為《八―2)<0,即《-2e4+k<0，則一五<k<一7

/⑵<0S+k<0,

故答案為(一力，一捺)

5.【答案】0

【解析】注意正為實(shí)數(shù)，且^=芬=￥=￡婢€乩再轉(zhuǎn)化利用1的虛立方根特點(diǎn)即可求

xXX

x2221-C

得.

6.【答案】6

（解析］當(dāng)a,b,c的值為250,123,32時(shí)可滿足條件,故n>6.又由不等式abc<（2若尸

可得n<7.

7.【答案】

通過(guò)空間想象不難發(fā)現(xiàn)，在正四面體的一個(gè)面上，小球最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為一正三角

形，考查切點(diǎn)為該正三角形頂點(diǎn)的情況，此時(shí)小球恰與對(duì)應(yīng)三面角的三個(gè)面均相切，如圖所

示，作平面&B1G〃平面4BC,與小球相切于點(diǎn)D.則小球球心。為正四面體P-A/iG的中

心，POJMMiG，垂足。為△41B1Q的中心.因?yàn)?/p>

1.1

5-4遇遙1=§SA4IBIQ,|PD|=4?-1℃|，

所以|PD|=4|。。|=4,從而|PO|=|PD|-|OD|=3.記此時(shí)小球與面P4B的切點(diǎn)為Pi，連

接。Pi，則

IPPil=JiPOF-|PO/2=V32-I2=2V2.

現(xiàn)在考查小球在正四面體一個(gè)面上所有切點(diǎn)組成的平面區(qū)域，記為PiEF,如圖/2所示（陰影

部分）.過(guò)Pi作PiM1PA于點(diǎn)M,由NMPPi=得

\PM\=IPPJcoszMPPj=2V2.y=V6>

P

故小三角形的邊長(zhǎng)

\PrE\=\PA\-2\PM\=4>/6-2A/6=2遍.

因此平面區(qū)域PiEF的面積

SAPTEF=Y?(2俑2=6V3>

從而小球與面P4B不能接觸到的部分的面積

S=ShPAB-SM]"=24V3-6V3=18-73.

由對(duì)稱性且四面體共4個(gè)面，知小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為18遍X4=72?

8.【答案】

如圖所示，設(shè)圓內(nèi)接正n邊形的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)為Zi，Z2,…，Z",且由于為單位

圓，故內(nèi)接正n邊形所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為〃=1的n個(gè)方根zi，Z2,…，Zn，且必有一根為1，不

妨設(shè)為Zj=1(即x軸與圓的正交點(diǎn))，于是有

Z”-1=(Z—Zj)(Z-Z2)…(z-Zn),

即(由Z1=1)

nn-1n2

z-1=(Z-l)(z+z~-\----Fz+1)=(z-l)(z-z2)(z—zn),

nn2

所以ZT+z~+---f-Z+1=(z—Z2)(z-Zn).

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知|Z1-